Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trong chương 4 của sách Toán 12 tập 2, chương trình Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hình học. Cụ thể, chúng ta sẽ tìm hiểu cách sử dụng tích phân để tính diện tích các hình phẳng và thể tích các vật thể tròn xoay.

I. Tính diện tích hình phẳng

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b), ta sử dụng công thức:

S = ∫_a^b |f(x)| dx

Trong đó:

• f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b]
• ∫_a^b |f(x)| dx là tích phân xác định của hàm số |f(x)| từ a đến b

Nếu f(x) ≥ 0 trên [a, b] thì |f(x)| = f(x). Nếu f(x) < 0 trên [a, b] thì |f(x)| = -f(x).

Ví dụ 1:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 2.

Giải:

Vì x² ≥ 0 trên đoạn [-1, 2] nên ta có:

S = ∫_-1² x² dx = [x³/3]_-1² = (8/3) - (-1/3) = 3

Vậy diện tích hình phẳng là 3 đơn vị diện tích.

II. Tính thể tích vật thể tròn xoay

Có hai phương pháp chính để tính thể tích vật thể tròn xoay:

1. Phương pháp đĩa tròn: Sử dụng khi vật thể tròn xoay được tạo ra bằng cách quay một miền phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox. Công thức tính thể tích là:

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

2. Phương pháp vỏ trụ: Sử dụng khi vật thể tròn xoay được tạo ra bằng cách quay một miền phẳng giới hạn bởi đường cong x = g(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy. Công thức tính thể tích là:

V = π ∫_c^d [g(y)]² dy

Ví dụ 2:

Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = √x, trục Ox và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox.

Giải:

Sử dụng phương pháp đĩa tròn, ta có:

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = π (16/2) = 8π

Vậy thể tích vật thể tròn xoay là 8π đơn vị thể tích.

III. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = π.
• Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Oy và đường thẳng y = 4 quanh trục Oy.

Lưu ý: Khi giải các bài tập, các em cần xác định đúng miền tích phân và lựa chọn phương pháp phù hợp để đảm bảo tính chính xác của kết quả.

IV. Kết luận

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững các công thức và phương pháp tính diện tích, thể tích sẽ giúp các em giải quyết nhiều bài toán thực tế và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi. Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về ứng dụng của tích phân trong hình học.