Bài tập cuối chương 5

Bài tập cuối chương 5 - SBT Toán 12 Cánh Diều: Tổng quan và hướng dẫn giải

Chương 5 trong sách bài tập Toán 12 Cánh Diều tập trung vào một trong những chủ đề quan trọng nhất của hình học không gian: phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải các bài tập trong chương này là vô cùng cần thiết để đạt kết quả tốt trong kỳ thi THPT Quốc gia.

I. Phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến: Một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

3. Các dạng phương trình khác: Phương trình mặt phẳng còn có thể được biểu diễn dưới dạng tham số hoặc phương trình theo đoạn chắn.

II. Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Vectơ chỉ phương: Một đường thẳng được xác định duy nhất bởi một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vectơ chỉ phương là vectơ song song với đường thẳng.

2. Phương trình tham số của đường thẳng: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct, trong đó (x0, y0, z0) là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng và (a, b, c) là tọa độ của vectơ chỉ phương.

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng: (x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c

III. Phương trình mặt cầu

1. Tâm và bán kính: Mặt cầu có tâm I(a, b, c) và bán kính R được xác định bởi phương trình: (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2

2. Điều kiện để một điểm thuộc mặt cầu: Một điểm M(x, y, z) thuộc mặt cầu khi và chỉ khi (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2

IV. Quan hệ tương giao giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng

1. Đường thẳng và mặt phẳng:

• Đường thẳng song song với mặt phẳng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đường thẳng nằm trong mặt phẳng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và một điểm thuộc đường thẳng thuộc mặt phẳng.
• Đường thẳng cắt mặt phẳng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng không vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

2. Hai mặt phẳng:

• Hai mặt phẳng song song nếu vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương.
• Hai mặt phẳng trùng nhau nếu vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương và một điểm thuộc mặt phẳng này thuộc mặt phẳng kia.
• Hai mặt phẳng cắt nhau nếu vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng không cùng phương.

V. Bài tập minh họa và lời giải

Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến n = (1, -1, 2).

Lời giải: Phương trình mặt phẳng có dạng: 1(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 3) = 0 => x - y + 2z - 5 = 0

Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): x + y - z + 1 = 0.

Lời giải: Thay phương trình đường thẳng vào phương trình mặt phẳng, ta được: (1 + t) + (2 - t) - (3 + 2t) + 1 = 0 => -2t + 1 = 0 => t = 1/2. Thay t = 1/2 vào phương trình đường thẳng, ta được giao điểm: (3/2, 3/2, 4).

VI. Lời khuyên khi giải bài tập

• Nắm vững các công thức và định lý liên quan đến phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu.
• Rèn luyện kỹ năng tìm vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương.
• Sử dụng các phương pháp tọa độ để giải quyết các bài toán hình học không gian.
• Kiểm tra lại kết quả sau khi giải bài tập.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong Bài tập cuối chương 5 - SBT Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!