Trắc nghiệm Bài 3: Hình thang cân Toán 8 Cánh diều

Dựa vào tính chất hình thang cân: Tứ giác có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân là khẳng định sai, vì tứ giác có hai cạnh bên bằng nhau có thể là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang

Tứ giác ABCD có \(\widehat A + \widehat D = {110^o} + {70^o} = {180^o}\) nên AB // CD suy ra ABCD là hình thang.

Mặt khác ta có: \(\widehat {ABC} = {180^o} - {70^o} = {110^o}\)

Hình thang ABCD có \(\widehat A = \widehat B = {110^o}\) . Suy ra ABCD là hình thang cân

Suy ra: \(\widehat C = \widehat D = {70^o}\)

Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau.

Vì ABCD là hình thang cân có hai đáy là AB và CD nên \(\widehat C = \widehat D\)

Mặt khác xét tam giác MCD có \(\widehat C = \widehat D\) . Suy ra tam giác MCD là tam giác cân.

Ta có: \(OA = OB;OC = O{{D}} \Rightarrow OA + OC = OB + O{{D}} \Rightarrow AC = B{{D}}\)

Hình thang ABCD (AB //CD) có AC = BD nên ABCD là hình thang cân

Suy ra: BC = AD

Hình thang ABCD có AB // CD thì \(\widehat A\) và \(\widehat D\) ; \(\widehat B\) và \(\widehat C\) là các cặp góc trong cùng phía nên \(\widehat A + \widehat D = {180^o};\widehat B + \widehat D = {180^o}\)

Giả sử ABCD là hình thang có đáy lớn là DC; đáy nhỏ là AB; \(\widehat C = \widehat D = {50^o}\) . Khi đó:

\(\widehat A = \widehat B = \frac{{{{360}^o} - \widehat C - \widehat D}}{2} = \frac{{{{360}^o} - {{50}^o} - {{50}^o}}}{2} = {130^o}\)

\( \Rightarrow \widehat B - \widehat C = \widehat A - \widehat D = {130^o} - {50^o} = {80^o}\)

Mà \(\widehat A = {58^o}\) nên \({58^o} + \widehat D = {180^o} \Rightarrow \widehat D = {180^o} - {58^o} = {122^o}\)

Ta có: \(\widehat A + \widehat B = {126^o} + {55^o} = {181^o}\) nên Bc và AD không song song

Lại có: \(\widehat B \ne \widehat {BC{C_1}}\) nên AB và CD không song song với nhau

Vậy tứ giác ABCD ở hình D không phải là hình thang.

Xét hình thang ABCD có AB // CD nên \(\widehat A + \widehat D = {180^o}\) (2 góc trong cùng phía) suy ra hai góc đó có nhiều nhất một góc nhọn, có nhiều nhất một góc tù.

Tương tự \(\widehat B\) và \(\widehat C\) cũng vậy.

Do đó trong bốn góc A, B, C, D có hai góc tù thì hai góc còn lại là hai góc nhọn.

Xét tam giác ABC và tam giác BAD có:

AB là cạnh chung

\(\widehat {ABC} = \widehat {BAC}\) (hai góc kề một đáy của hình thang cân)

BC = AD (hai cạnh bên của hình thang cân)

Suy ra: \(\Delta ABC = \Delta BA{{D}}\) (c – g – c). Suy ra: \(\widehat {CAB} = \widehat {DBA}\) (hai góc tương ứng)

Tam giác ABE có \(\widehat {E{{A}}B} = \widehat {EBA}\) nên suy ra tam giác ABE là tam giác cân.

Tứ giác BDEC có DE // BC nên BDEC là hình thang . Để BDEC là hình thang cân thì \(\widehat B = \widehat C\) nên suy ra ABC là tam giác cân tại A.

Ta có tam giác AHD vuông cân tại H vì \(\widehat D = {45^o}\) . Do đó DH = AH = 5 cm

Mà CD = AB + 2DH \( \Rightarrow C{{D}} = 3 + 2.5 = 13cm\)

Xét hình thang cân ABCD có đáy lớn CD và đáy nhỏ AB đường cao AH ta có:

\(C{{D}} = AB + 2.DH \Rightarrow DH = \frac{{C{{D}} - AB}}{2} \Rightarrow DH = \frac{{22 - 12}}{2} = 5cm\)

Áp dụng định lí Pythago cho tam giác AHD vuông tại H có AD = BC = 13 cm và

DH = 5 cm ta có:

\(A{H^2} = A{{{D}}^2} - D{H^2} = {13^2} - {5^2} = 144 \Rightarrow AH = \sqrt {144} = 12cm\)

Hình thang ABCD có AB // CD nên \(\widehat A = \widehat {A{{D}}E} = {130^o};\widehat C = \widehat {ABF} = {111^o}\)

Hình thang ABCD (AB // CD) có các tia phân giác của \(\widehat A{,^{}}\widehat D\) cắt nhau tại M nên

\(\widehat {DAM} + \widehat {ADM} = \frac{1}{2}\left( {\widehat A + \widehat D} \right) = \frac{1}{2}{.180^o} = {90^o}\)

Vậy \(\widehat {AM{{D}}} = {90^o}\)

Hình thang ABCD (AB // CD) có \(\widehat A + \widehat D = {180^o}\) mà \(\widehat A - \widehat D = {40^o}\)

\( \Rightarrow \widehat A = {220^o}:2 = {110^o}\)

Do đó: \(\widehat D = {180^o} - {110^o} = {70^o}\)

Lại có: \(\widehat B + \widehat C = {180^o}\) (2 góc trong cùng phía) mà \(\widehat B = 3\widehat C\) nên

\(4\widehat C = {180^o} \Rightarrow \widehat C = {180^o}:4 = {45^o}\)

Suy ra: \(\widehat B = 3\widehat C = {3.45^o} = {135^o}\)

Xét tam giác BCD vuông cân tại B có \(\widehat {BC{{D}}} = \widehat {B{{D}}C} = {45^o}\) (2)

Từ (10, (2) suy ra: \(\widehat {ACB} + \widehat {BC{{D}}} = {90^o} = \widehat {AC{{D}}}\)

Kẻ \(BH \bot C{{D}}\) tại H.

Xét tam giác vuông BDH, theo định lý Pytago ta có: \(B{{{D}}^2} = D{H^2} + B{H^2}\)

Xét tam giác vuông CBH, theo định lý Pytago ta có: \(B{C^2} = C{H^2} + B{H^2}\)

Suy ra: \(B{{{D}}^2} - B{C^2} = D{H^2} - C{H^2} = \left( {DH + CH} \right)\left( {DH - CH} \right) = C{{D}}.AB\)

(Do DH + CH = CD; DH – CH = AB)

Dựa vào tính chất hình thang cân: Tứ giác có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân là khẳng định sai, vì tứ giác có hai cạnh bên bằng nhau có thể là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang

Tứ giác ABCD có \(\widehat A + \widehat D = {110^o} + {70^o} = {180^o}\) nên AB // CD suy ra ABCD là hình thang.

Mặt khác ta có: \(\widehat {ABC} = {180^o} - {70^o} = {110^o}\)

Hình thang ABCD có \(\widehat A = \widehat B = {110^o}\) . Suy ra ABCD là hình thang cân

Suy ra: \(\widehat C = \widehat D = {70^o}\)

Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau.

Vì ABCD là hình thang cân có hai đáy là AB và CD nên \(\widehat C = \widehat D\)

Mặt khác xét tam giác MCD có \(\widehat C = \widehat D\) . Suy ra tam giác MCD là tam giác cân.

Ta có: \(OA = OB;OC = O{{D}} \Rightarrow OA + OC = OB + O{{D}} \Rightarrow AC = B{{D}}\)

Hình thang ABCD (AB //CD) có AC = BD nên ABCD là hình thang cân

Suy ra: BC = AD

Hình thang ABCD có AB // CD thì \(\widehat A\) và \(\widehat D\) ; \(\widehat B\) và \(\widehat C\) là các cặp góc trong cùng phía nên \(\widehat A + \widehat D = {180^o};\widehat B + \widehat D = {180^o}\)

Giả sử ABCD là hình thang có đáy lớn là DC; đáy nhỏ là AB; \(\widehat C = \widehat D = {50^o}\) . Khi đó:

\(\widehat A = \widehat B = \frac{{{{360}^o} - \widehat C - \widehat D}}{2} = \frac{{{{360}^o} - {{50}^o} - {{50}^o}}}{2} = {130^o}\)

\( \Rightarrow \widehat B - \widehat C = \widehat A - \widehat D = {130^o} - {50^o} = {80^o}\)

Mà \(\widehat A = {58^o}\) nên \({58^o} + \widehat D = {180^o} \Rightarrow \widehat D = {180^o} - {58^o} = {122^o}\)

Ta có: \(\widehat A + \widehat B = {126^o} + {55^o} = {181^o}\) nên Bc và AD không song song

Lại có: \(\widehat B \ne \widehat {BC{C_1}}\) nên AB và CD không song song với nhau

Vậy tứ giác ABCD ở hình D không phải là hình thang.

Xét hình thang ABCD có AB // CD nên \(\widehat A + \widehat D = {180^o}\) (2 góc trong cùng phía) suy ra hai góc đó có nhiều nhất một góc nhọn, có nhiều nhất một góc tù.

Tương tự \(\widehat B\) và \(\widehat C\) cũng vậy.

Do đó trong bốn góc A, B, C, D có hai góc tù thì hai góc còn lại là hai góc nhọn.

Xét tam giác ABC và tam giác BAD có:

AB là cạnh chung

\(\widehat {ABC} = \widehat {BAC}\) (hai góc kề một đáy của hình thang cân)

BC = AD (hai cạnh bên của hình thang cân)

Suy ra: \(\Delta ABC = \Delta BA{{D}}\) (c – g – c). Suy ra: \(\widehat {CAB} = \widehat {DBA}\) (hai góc tương ứng)

Tam giác ABE có \(\widehat {E{{A}}B} = \widehat {EBA}\) nên suy ra tam giác ABE là tam giác cân.

Tứ giác BDEC có DE // BC nên BDEC là hình thang . Để BDEC là hình thang cân thì \(\widehat B = \widehat C\) nên suy ra ABC là tam giác cân tại A.

Ta có tam giác AHD vuông cân tại H vì \(\widehat D = {45^o}\) . Do đó DH = AH = 5 cm

Mà CD = AB + 2DH \( \Rightarrow C{{D}} = 3 + 2.5 = 13cm\)

Xét hình thang cân ABCD có đáy lớn CD và đáy nhỏ AB đường cao AH ta có:

\(C{{D}} = AB + 2.DH \Rightarrow DH = \frac{{C{{D}} - AB}}{2} \Rightarrow DH = \frac{{22 - 12}}{2} = 5cm\)

Áp dụng định lí Pythago cho tam giác AHD vuông tại H có AD = BC = 13 cm và

DH = 5 cm ta có:

\(A{H^2} = A{{{D}}^2} - D{H^2} = {13^2} - {5^2} = 144 \Rightarrow AH = \sqrt {144} = 12cm\)

Hình thang ABCD có AB // CD nên \(\widehat A = \widehat {A{{D}}E} = {130^o};\widehat C = \widehat {ABF} = {111^o}\)

Hình thang ABCD (AB // CD) có các tia phân giác của \(\widehat A{,^{}}\widehat D\) cắt nhau tại M nên

\(\widehat {DAM} + \widehat {ADM} = \frac{1}{2}\left( {\widehat A + \widehat D} \right) = \frac{1}{2}{.180^o} = {90^o}\)

Vậy \(\widehat {AM{{D}}} = {90^o}\)

Hình thang ABCD (AB // CD) có \(\widehat A + \widehat D = {180^o}\) mà \(\widehat A - \widehat D = {40^o}\)

\( \Rightarrow \widehat A = {220^o}:2 = {110^o}\)

Do đó: \(\widehat D = {180^o} - {110^o} = {70^o}\)

Lại có: \(\widehat B + \widehat C = {180^o}\) (2 góc trong cùng phía) mà \(\widehat B = 3\widehat C\) nên

\(4\widehat C = {180^o} \Rightarrow \widehat C = {180^o}:4 = {45^o}\)

Suy ra: \(\widehat B = 3\widehat C = {3.45^o} = {135^o}\)

Xét tam giác BCD vuông cân tại B có \(\widehat {BC{{D}}} = \widehat {B{{D}}C} = {45^o}\) (2)

Từ (10, (2) suy ra: \(\widehat {ACB} + \widehat {BC{{D}}} = {90^o} = \widehat {AC{{D}}}\)

Kẻ \(BH \bot C{{D}}\) tại H.

Xét tam giác vuông BDH, theo định lý Pytago ta có: \(B{{{D}}^2} = D{H^2} + B{H^2}\)

Xét tam giác vuông CBH, theo định lý Pytago ta có: \(B{C^2} = C{H^2} + B{H^2}\)

Suy ra: \(B{{{D}}^2} - B{C^2} = D{H^2} - C{H^2} = \left( {DH + CH} \right)\left( {DH - CH} \right) = C{{D}}.AB\)

(Do DH + CH = CD; DH – CH = AB)