Bài 1. Vecto trong không gian

Bài 1. Vecto trong không gian - SGK Toán 12: Giải chi tiết và đầy đủ

Bài 1. Vecto trong không gian là một trong những bài học quan trọng trong chương trình Toán 12 tập 1. Bài học này giới thiệu về khái niệm vecto, các phép toán trên vecto trong không gian, và ứng dụng của vecto trong việc giải quyết các bài toán hình học.

I. Khái niệm về Vectơ trong không gian

1. Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.

2. Các yếu tố của vectơ:

• Độ dài: Độ dài của vectơ AB được ký hiệu là |AB| và được tính bằng công thức: |AB| = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)
• Hướng: Hướng của vectơ được xác định bởi góc giữa vectơ đó và các trục tọa độ.

II. Các phép toán trên Vectơ trong không gian

1. Phép cộng vectơ:

Cho hai vectơ a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂). Tổng của hai vectơ a và b được ký hiệu là a + b và được tính như sau:

a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)

2. Phép trừ vectơ:

Cho hai vectơ a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂). Hiệu của hai vectơ a và b được ký hiệu là a - b và được tính như sau:

a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂)

3. Phép nhân vectơ với một số thực:

Cho vectơ a = (x, y, z) và một số thực k. Tích của vectơ a với số thực k được ký hiệu là ka và được tính như sau:

ka = (kx, ky, kz)

III. Ứng dụng của Vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán hình học, đặc biệt là trong việc xác định vị trí của các điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian. Chúng cũng được sử dụng để tính góc giữa hai vectơ, khoảng cách giữa hai điểm, và kiểm tra tính song song, vuông góc của các vectơ.

Ví dụ minh họa:

Cho hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Hãy tính vectơ AB và độ dài của vectơ AB.

Giải:

• Vectơ AB = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)
• Độ dài của vectơ AB = |AB| = √((3)² + (3)² + (3)²) = √27 = 3√3

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về Bài 1. Vecto trong không gian - SGK Toán 12. Chúc các em học tập tốt!