Bài 1. Xác suất có điều kiện

Bài 1. Xác suất có điều kiện - SGK Toán 12 - Cánh diều

Xác suất có điều kiện là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, công thức và các ứng dụng của xác suất có điều kiện trong chương trình Toán 12 tập 2, sách Cánh diều.

1. Định nghĩa xác suất có điều kiện

Giả sử A và B là hai biến cố. Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa là:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), với P(B) > 0

Trong đó:

• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố A và B đồng thời xảy ra.
• P(B) là xác suất của biến cố B.

2. Tính chất của xác suất có điều kiện

• 0 ≤ P(A|B) ≤ 1
• P(A|B) = 1 khi và chỉ khi A ⊆ B (A là tập con của B)
• P(A|B) = 0 khi và chỉ khi A ∩ B = ∅ (A và B không có phần tử chung)

3. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

a. Công thức xác suất đầy đủ:

Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ đầy đủ các biến cố (tức là chúng đôi một rời nhau và B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω, trong đó Ω là không gian mẫu) thì:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

b. Công thức Bayes:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A), với i = 1, 2, ..., n

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “cả hai quả bóng đều màu đỏ”.

P(A) = (C₅²) / (C₈²) = 10 / 28 = 5/14

Ví dụ 2: Trong một lớp học có 60% học sinh giỏi môn Toán và 40% học sinh giỏi môn Văn. Biết rằng 20% học sinh giỏi cả hai môn. Tính xác suất một học sinh được chọn ngẫu nhiên là học sinh giỏi môn Toán, biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn.

Giải:

Gọi A là biến cố “học sinh giỏi môn Toán”.

Gọi B là biến cố “học sinh giỏi môn Văn”.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.20 / 0.40 = 0.5

5. Bài tập áp dụng

Bài 1: Một đồng xu được tung 2 lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp, biết rằng lần tung đầu tiên xuất hiện mặt ngửa.

Bài 2: Trong một cuộc khảo sát về sở thích đọc sách, có 70% người được hỏi thích đọc tiểu thuyết, 50% thích đọc truyện tranh và 30% thích đọc cả hai loại sách. Tính xác suất một người được hỏi thích đọc truyện tranh, biết rằng người đó thích đọc tiểu thuyết.

6. Kết luận

Bài học về xác suất có điều kiện cung cấp cho chúng ta một công cụ mạnh mẽ để phân tích và dự đoán các sự kiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc nắm vững các định nghĩa, công thức và ứng dụng của xác suất có điều kiện là rất quan trọng để thành công trong môn Toán 12 và các môn học liên quan.