Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp - SBT Toán 12 - Cánh diều

Nguyên hàm là một khái niệm quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc tính tích phân và giải quyết nhiều bài toán thực tế. Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào việc tìm hiểu nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp. Dưới đây là nội dung chi tiết và hướng dẫn giải các bài tập liên quan.

I. Lý thuyết cơ bản về Nguyên hàm

1. Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc (a, b).

2. Tính chất:

• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.
• Nguyên hàm của một hàm số không phải là duy nhất.

3. Các nguyên hàm cơ bản:

II. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:

Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = xⁿ (n ≠ -1), ta sử dụng công thức: ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x³.

Giải: ∫x³ dx = (x⁴)/4 + C

2. Nguyên hàm của hàm số nghịch đảo:

Nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/x là: ∫(1/x) dx = ln|x| + C

3. Nguyên hàm của hàm số mũ:

Nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x là: ∫e^x dx = e^x + C

4. Nguyên hàm của hàm số lượng giác:

Nguyên hàm của hàm số f(x) = sin x là: ∫sin x dx = -cos x + C

Nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x là: ∫cos x dx = sin x + C

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x⁵ - 3x² + 1.

Giải:

∫(2x⁵ - 3x² + 1) dx = 2∫x⁵ dx - 3∫x² dx + ∫1 dx

= 2(x⁶/6) - 3(x³/3) + x + C

= x⁶/3 - x³ + x + C

Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (1/x) + e^x.

Giải:

∫((1/x) + e^x) dx = ∫(1/x) dx + ∫e^x dx

= ln|x| + e^x + C

Bài 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin x - cos x.

Giải:

∫(sin x - cos x) dx = ∫sin x dx - ∫cos x dx

= -cos x - sin x + C

IV. Lưu ý khi tìm nguyên hàm

• Luôn thêm hằng số C sau khi tìm nguyên hàm.
• Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản một cách chính xác.
• Rèn luyện kỹ năng biến đổi và đơn giản hóa biểu thức trước khi tìm nguyên hàm.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp. Chúc bạn học tập tốt!