Bài 2. Phương trình đường thẳng

Bài 2. Phương trình đường thẳng - SGK Toán 12 - Cánh diều

Bài 2 trong chương 5 của sách Toán 12 tập 2 Cánh diều tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng phương trình đường thẳng trong không gian. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc học tập các chủ đề phức tạp hơn như phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu.

1. Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian

Có ba dạng phương trình thường được sử dụng để biểu diễn một đường thẳng trong không gian:

• Phương trình tham số: { x = x₀ + at; y = y₀ + bt; z = z₀ + ct }
• Phương trình chính tắc: (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c
• Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và một điểm: Kết hợp phương trình đường thẳng với phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng đó.

Trong đó:

• (x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc đường thẳng.
• (a, b, c) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.

2. Xác định phương trình đường thẳng

Để xác định phương trình đường thẳng, chúng ta cần biết:

• Một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương.
• Hai điểm thuộc đường thẳng.
• Một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ vuông góc với vectơ chỉ phương.

Ví dụ: Xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ chỉ phương a = (2, -1, 1).

Giải:

Sử dụng phương trình tham số:

• x = 1 + 2t
• y = 2 - t
• z = 3 + t

Hoặc sử dụng phương trình chính tắc:

(x - 1)/2 = (y - 2)/(-1) = (z - 3)/1

3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xác định vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng, ta xét:

• Đường thẳng song song với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đường thẳng cắt mặt phẳng: Đường thẳng không song song và không vuông góc với mặt phẳng. Điểm giao giữa đường thẳng và mặt phẳng được tìm bằng cách giải hệ phương trình.

4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Để xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta xét:

• Hai đường thẳng song song: Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng cùng phương.
• Hai đường thẳng trùng nhau: Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng cùng phương và một điểm thuộc đường thẳng này cũng thuộc đường thẳng kia.
• Hai đường thẳng cắt nhau: Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng không cùng phương.
• Hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng không song song, không cắt nhau và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2, -1, 0) và song song với đường thẳng (x - 1)/2 = (y + 1)/3 = (z - 2)/1.

Bài 2: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d: x = 1 + t; y = 2 - t; z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0.

Bài 3: Tìm giao điểm của đường thẳng d: x = 2 + t; y = 1 - t; z = 3t và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0.

Kết luận

Bài 2. Phương trình đường thẳng là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững các kiến thức về các dạng phương trình, cách xác định phương trình và vị trí tương đối giữa đường thẳng và các đối tượng hình học khác sẽ giúp các em giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác. Chúc các em học tốt!