Bài 4. Khoảng cách trong không gian

Bài 4. Khoảng cách trong không gian - Giải Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trong chương VIII của sách Toán 11 tập 2, Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc tính toán khoảng cách giữa các đối tượng hình học trong không gian ba chiều. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, đặt nền móng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các chương sau.

I. Khái niệm cơ bản về khoảng cách trong không gian

Khoảng cách trong không gian là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm. Để tính khoảng cách giữa hai điểm A(x₁, y₁, z₁) và B(x₂, y₂, z₂) trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

II. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Để tính khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0, ta sử dụng công thức:

d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Nếu hai đường thẳng d₁ và d₂ song song, khoảng cách giữa chúng được tính bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên d₁ đến d₂.

Để tính khoảng cách này, ta có thể chọn một điểm M thuộc d₁, sau đó tính khoảng cách từ M đến d₂ bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

IV. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Đây là phần khó nhất của bài học. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa d₁ và song song với d₂.
2. Tìm một điểm thuộc d₁.
3. Tính khoảng cách từ điểm đó đến d₂.

V. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6).

Giải:

AB = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²) = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M(0, 0, 0) đến mặt phẳng 2x + 3y - z + 1 = 0.

Giải:

d(M, (P)) = |2(0) + 3(0) - (0) + 1| / √(2² + 3² + (-1)²) = 1 / √14 = √14 / 14

VI. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về khoảng cách trong không gian, các em nên làm thêm nhiều bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ công thức và cách áp dụng chúng vào từng bài toán cụ thể.

VII. Kết luận

Bài 4. Khoảng cách trong không gian là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức về khoảng cách trong không gian sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và chính xác. Chúc các em học tốt!