Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - SGK Toán 12

Bài 1 trong chương 1 của SGK Toán 12 tập 1 giới thiệu về một trong những chủ đề quan trọng nhất của giải tích: tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng để khảo sát hàm số, vẽ đồ thị hàm số và giải quyết nhiều bài toán thực tế.

I. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số tăng lên khi biến số tăng lên. Ngược lại, một hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số giảm xuống khi biến số tăng lên.

1. Hàm số đồng biến: Nếu với mọi x₁, x₂ thuộc khoảng (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂).
2. Hàm số nghịch biến: Nếu với mọi x₁, x₂ thuộc khoảng (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂).

II. Điều kiện để hàm số đơn điệu

Để xác định tính đơn điệu của hàm số, chúng ta sử dụng đạo hàm của hàm số. Cụ thể:

• Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a, b).
• Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a, b).

III. Khái niệm về cực trị của hàm số

Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) > f(x) với mọi x thuộc (a, b).

Điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) < f(x) với mọi x thuộc (a, b).

IV. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

Để hàm số f(x) có cực trị tại điểm x₀, cần và đủ điều kiện:

• f'(x₀) = 0
• f'(x) đổi dấu khi x đi qua x₀.

V. Quy tắc xét dấu đạo hàm và tìm cực trị

Để xét dấu đạo hàm và tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x).
2. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm tới hạn.
3. Lập bảng xét dấu f'(x) trên các khoảng xác định của hàm số.
4. Kết luận về tính đơn điệu và cực trị của hàm số dựa vào bảng xét dấu.

VI. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

f'(x) = 3x² - 6x.

Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 và x = 2.

Lập bảng xét dấu f'(x):

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số có cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2. Hàm số có cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

VII. Bài tập áp dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:

• Bài 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(x) = x² - 4x + 3.
• Bài 2: Tìm cực trị của hàm số f(x) = x³ + 3x² - 9x + 5.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Chúc bạn học tốt!