Bài tập cuối chuyên đề 3

Bài tập cuối chuyên đề 3 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Chuyên đề 3 trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào lý thuyết xác suất, đặc biệt là biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng thống kê của chúng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế và chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia.

I. Biến ngẫu nhiên rời rạc

1. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn đếm được các giá trị.

2. Phân phối xác suất: Mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc được gán một xác suất, tạo thành phân phối xác suất. Tổng các xác suất của tất cả các giá trị phải bằng 1.

3. Ví dụ: Số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa, số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng, số học sinh đạt điểm giỏi trong một lớp.

II. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

1. Kỳ vọng (Giá trị trung bình): Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu E(X), là giá trị trung bình của tất cả các giá trị mà X có thể nhận, được tính theo công thức:

E(X) = Σ (x_i * P(X = x_i))

Trong đó:

• x_i là các giá trị mà X có thể nhận
• P(X = x_i) là xác suất để X nhận giá trị x_i

2. Phương sai: Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu Var(X), đo lường mức độ phân tán của các giá trị của X xung quanh kỳ vọng. Công thức tính phương sai:

Var(X) = E[(X - E(X))²] = Σ [(x_i - E(X))² * P(X = x_i)]

3. Độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu σ(X), là căn bậc hai của phương sai. Độ lệch chuẩn cho biết mức độ biến động của các giá trị của X.

σ(X) = √Var(X)

III. Bài tập minh họa

Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Gọi X là số quả bóng đỏ được lấy ra. Tìm phân phối xác suất, kỳ vọng và phương sai của X.

Giải:

• Các giá trị có thể của X: 0, 1, 2
• Tính xác suất cho mỗi giá trị:
• P(X = 0) = C(3,2) / C(8,2) = 3/28
• P(X = 1) = C(5,1) * C(3,1) / C(8,2) = 15/28
• P(X = 2) = C(5,2) / C(8,2) = 10/28
• Tính kỳ vọng: E(X) = 0 * (3/28) + 1 * (15/28) + 2 * (10/28) = 35/28 = 1.25
• Tính phương sai: Var(X) = ... (tính toán tương tự)

Bài 2: (Tương tự, đưa ra một bài tập khác và giải chi tiết)

IV. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng của chúng, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. toan11.edu.vn cung cấp một bộ sưu tập bài tập đa dạng, được phân loại theo mức độ khó, giúp bạn tự tin đối mặt với các bài toán trong kỳ thi THPT Quốc gia.

Hãy truy cập toan11.edu.vn để bắt đầu luyện tập ngay hôm nay!