Chuyên đề 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Chuyên đề 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc - Toán 12 Cánh Diều

I. Giới thiệu chung về biến ngẫu nhiên

Trong thực tế, nhiều hiện tượng có kết quả không xác định trước, phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên. Để mô tả và phân tích các hiện tượng này, chúng ta sử dụng khái niệm biến ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên là một hàm số ánh xạ từ không gian mẫu (tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra) vào tập số thực.

Có hai loại biến ngẫu nhiên chính: biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục. Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ tập trung vào biến ngẫu nhiên rời rạc.

II. Biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn đếm được các giá trị. Ví dụ:

• Số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa.
• Số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
• Số con trong một gia đình.

1. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc mô tả xác suất mà biến ngẫu nhiên nhận mỗi giá trị có thể. Hàm phân phối xác suất (PMF) được ký hiệu là P(X = x), trong đó X là biến ngẫu nhiên và x là một giá trị có thể của X.

Các tính chất của hàm phân phối xác suất:

• 0 ≤ P(X = x) ≤ 1 với mọi x.
• ∑ P(X = x) = 1 (tổng xác suất của tất cả các giá trị có thể bằng 1).

2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc giúp chúng ta mô tả và so sánh các phân phối xác suất khác nhau.

a. Kỳ vọng (Mean)

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc, ký hiệu là E(X), là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên. Nó được tính bằng công thức:

E(X) = ∑ x * P(X = x)

b. Phương sai (Variance)

Phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc, ký hiệu là Var(X), đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng. Nó được tính bằng công thức:

Var(X) = ∑ (x - E(X))^2 * P(X = x)

c. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc, ký hiệu là σ(X), là căn bậc hai của phương sai. Nó đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên theo đơn vị của biến ngẫu nhiên.

σ(X) = √Var(X)

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tung một đồng xu hai lần. Gọi X là số lần xuất hiện mặt ngửa. Tìm phân phối xác suất, kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

Không gian mẫu: S = {HH, HT, TH, TT}

X có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2

P(X = 0) = P(TT) = 1/4

P(X = 1) = P(HT) + P(TH) = 2/4 = 1/2

P(X = 2) = P(HH) = 1/4

E(X) = 0 * (1/4) + 1 * (1/2) + 2 * (1/4) = 1

Var(X) = (0 - 1)^2 * (1/4) + (1 - 1)^2 * (1/2) + (2 - 1)^2 * (1/4) = 1/2

σ(X) = √(1/2) ≈ 0.707

IV. Bài tập áp dụng

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Gọi X là số quả bóng đỏ được lấy ra. Tìm phân phối xác suất của X.
2. Một người chơi xổ số mua 10 vé số. Xác suất trúng thưởng của mỗi vé là 0.1. Gọi X là số vé trúng thưởng. Tìm kỳ vọng và phương sai của X.

V. Kết luận

Chuyên đề 1 đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng của chúng. Việc nắm vững những kiến thức này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến thống kê và xác suất. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng của bạn.