Bài 2. Các phép toán vecto trong không gian

Bài 2. Các phép toán vecto trong không gian - SGK Toán 12

Bài 2 trong chương 2 của SGK Toán 12 tập 1 tập trung vào các phép toán cơ bản trên vecto trong không gian. Việc nắm vững các phép toán này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.

1. Phép cộng và phép trừ vecto

Trong không gian, phép cộng và phép trừ vecto được thực hiện theo quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác. Cụ thể:

• Phép cộng vecto: Cho hai vecto a và b. Vecto tổng a + b là một vecto sao cho a + b = c, với c là đường chéo của hình bình hành tạo bởi a và b.
• Phép trừ vecto: Cho hai vecto a và b. Vecto hiệu a - b là một vecto sao cho a - b = d, với d là vecto từ điểm cuối của b đến điểm cuối của a.

2. Phép nhân vecto với một số

Phép nhân vecto a với một số thực k (k ≠ 0) được định nghĩa là một vecto ka có:

• Độ dài bằng |k| lần độ dài của a.
• Cùng hướng với a nếu k > 0 và ngược hướng với a nếu k < 0.

3. Tích vô hướng của hai vecto

Tích vô hướng của hai vecto a và b, ký hiệu là a.b, được tính bằng công thức:

a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vecto a và b.

Ứng dụng của tích vô hướng:

• Tính góc giữa hai vecto.
• Kiểm tra tính vuông góc của hai vecto (a.b = 0).

4. Tích có hướng của hai vecto

Tích có hướng của hai vecto a và b, ký hiệu là [a, b], là một vecto có:

• Độ dài bằng diện tích hình bình hành tạo bởi a và b.
• Hướng vuông góc với cả hai vecto a và b, tuân theo quy tắc bàn tay phải.

Ứng dụng của tích có hướng:

• Tính diện tích hình bình hành và hình tam giác.
• Tìm vecto pháp tuyến của một mặt phẳng.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vecto a = (1, 2, 3) và b = (-2, 1, 0). Tính a + b và 2a.

Giải:

a + b = (1 - 2, 2 + 1, 3 + 0) = (-1, 3, 3)

2a = (2, 4, 6)

Ví dụ 2: Cho hai vecto a = (1, 0, 0) và b = (0, 1, 0). Tính tích vô hướng a.b.

Giải:

a.b = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về các phép toán vecto trong không gian. Chúc các em học tập tốt!