Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 3 trang 60, 61, 62, 63, 64 SGK Toán 12 tập 1 trên toan11.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em những lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, đáp ứng nhu cầu của học sinh. Hãy cùng khám phá và chinh phục những bài toán Toán 12 ngay bây giờ!
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có \(\widehat {BAC} = \alpha \). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh bên AA' (Hình 2.18). a) Vẽ hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) lần lượt bằng \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \). ABC.MPQ có phải là hình lăng trụ không? Vì sao? b) Trong mặt phẳng (MPQ), hãy xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \), \(\overrightarrow {MQ} \) và so sánh góc đó với \(\alpha \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 61 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lập phương \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và
a) vecto \(\overrightarrow {AB} \);
b) vectơ \(\overrightarrow {AD} \);
c) vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }B} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất của hình lập phương để xác định góc của các vectơ.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là \(a\).
a) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {AB} \):
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Mà góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} \) là \(\widehat {BAC}\) và vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {BAC} = 45^\circ \).
Suy ra \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AB} )} = 45^\circ \).
b) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {AD} \):
Tương tự như câu a ta có: \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Mà góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \) là \(\widehat {DAC}\) và vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {DAC} = 45^\circ \).
Suy ra \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'}, \overrightarrow {AD} )} = 45^\circ \).
c) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }B} \):
Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
Vì O và O’ lần lượt là trung điểm của cạnh BD và B’D’ nên OO’ là đường trung bình của BB’D’D, suy ra \(\overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {O'O} \).
Mà \(O'O \bot AC\) nên \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'}, \overrightarrow {B'B} )} = 90^\circ \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy tính:
a) \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {A'C'} ;\)
b) \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BD} ;\)
c) \(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {BB'} .\)
Phương pháp giải:
- Xác định độ dài của các vectơ và góc giữa chúng dựa vào tính chất của hình lập phương.
- Sử dụng công thức tích vô hướng \(\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos \theta \) để tính.
Lời giải chi tiết:
Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
a) Tính \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {A'C'} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {AB'} | = |\overrightarrow {A'C'} | = a\sqrt 2 \) (vì AB' và A'C' là các cạnh đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Góc giữa \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là \({60^^\circ }\) vì chúng là hai cạnh của tam giác đều AB’C.
Do đó: \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {A'C'} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|.\cos 60^\circ = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\frac{1}{2} = {a^2}\).
b) Tính \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {BD} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {AB'} | = a\sqrt 2 \) và \(|\overrightarrow {BD} | = a\sqrt 2 \) (cả hai đều là đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).
Từ B vẽ một vectơ \(\overrightarrow {BE} \) bằng với vectơ \(\overrightarrow {AB'} \).
Vì D đối xứng với E qua tâm của hình vuông BB’C’C nên đường trung tuyến của tam giác cân BED có độ dài là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra: \(\widehat {DBE} = 2\arccos \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}:a\sqrt 2 } \right) = 2\arccos \left( {\frac{1}{2}} \right) = 2.60^\circ = 120^\circ \).
Góc giữa \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {BD} \) cũng là góc giữa \(\overrightarrow {BE} \)và \(\overrightarrow {BD} \) là \(\widehat {DBE}\).
Do đó: \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos 120^\circ = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - {a^2}\).
c) Tính \(\overrightarrow {A'C'} \cdot \overrightarrow {BB'} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {A'C'} | = a\sqrt 2 \) và \(|\overrightarrow {BB'} | = a\).
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} \).
Do \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AA'} \) vuông góc với nhau nên góc giữa \(\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {BB'} \) Là 90°.
Suy ra: \(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {BB'} = \left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BB'} } \right|.\cos 90^\circ = a\sqrt 2 .a.0 = 0\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian, cho hai vectơ \(\vec a,\vec b\) khác \(\vec 0\). Từ một điểm \(O\) tuỳ ý trong không gian, vẽ các vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} ,\overrightarrow {{b^\prime }} \) sao cho \(\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a\), \(\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b\). (P) là mặt phẳng chứa giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) (Hình 2.21).
a) Trong mặt phẳng \((P)\), hãy viết biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \).
b) Hãy so sánh \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) với \(|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\).
Phương pháp giải:
1. Sử dụng định nghĩa của tích vô hướng trong mặt phẳng \((P)\).
2. Sử dụng công thức của tích vô hướng để so sánh các biểu thức.
Lời giải chi tiết:
a) Trong mặt phẳng \((P)\), biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) được tính như sau:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\overrightarrow {{a^\prime }} | \cdot |\overrightarrow {{b^\prime }} | \cdot \cos \theta \)
trong đó \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \).
b) Vì \(\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a\) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b\), nên:
\(|\overrightarrow {{a^\prime }} | = |\vec a|,|\overrightarrow {{b^\prime }} | = |\vec b|\)
Do đó, ta có:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \theta \)
trong đó \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \).
Biểu thức này cho thấy rằng tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) trong mặt phẳng \((P)\) là bằng tích của độ lớn của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) với cosin của góc giữa chúng. Vì vậy:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\)
Điều này chứng minh rằng tích vô hướng của \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) trong mặt phẳng \((P)\) bằng tích vô hướng của \(\vec a\) và \(\vec b\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 60 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có \(\widehat {BAC} = \alpha \). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh bên AA' (Hình 2.18).
a) Vẽ hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) lần lượt bằng \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \). ABC.MPQ có phải là hình lăng trụ không? Vì sao?
b) Trong mặt phẳng (MPQ), hãy xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \), \(\overrightarrow {MQ} \) và so sánh góc đó với \(\alpha \).
Phương pháp giải:
- Sử dụng định nghĩa và tính chất của vectơ kết hợp với khái niệm và các tính chất của hình lăng trụ.
- Hình lăng trụ là hình đa diện bao gồm 2 đáy nằm trên hai mặt phẳng song song và là hai đa giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AB} \) suy ra MP = AB và MP // AB (1)
Tương tự: \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {A'C'} \) suy ra MQ = A’C’ = AC và MQ // A’C’ // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta MPQ = \Delta ABC\).
ABC.MPQ có hai đáy song song và bằng nhau nên ABC.MPQ là hình lăng trụ.
b) Vì \(\Delta MPQ = \Delta ABC\) nên \(\widehat {PMQ} = \widehat {BAC} = \alpha \).
Mà góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) là góc\(\widehat {PMQ}\).
Vậy \(\widehat {(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MQ} )} = \alpha \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 64 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một chất điểm ở vị trí đỉnh \(A\) của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chất điểm chịu tác động bởi ba lực \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) lần lượt cùng hướng với \(\overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC'} \) như Hình 2.25. Cường độ của các lực \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) tương ứng là \(10{\rm{ N}}\), \(10{\rm{ N}}\) và \(20{\rm{ N}}\). Tính cường độ hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức quy tắc hình bình hành để tính tổng hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\).
\(F{}^\text{2}=\text{}{{F}_{1}}{}^\text{2}+{{F}_{2}}{}^\text{2}+2.{{}_{1}}.{{F}_{2}}.\cos \alpha \).
- Sau đó sử dụng kết quả vừa tính để tính tổng hợp lực với \(\vec c\).
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên góc giữa \(\overrightarrow {AD} \)và \(\overrightarrow {AB} \) là 90°.
Suy ra lực \(\vec a\) vuông góc với \(\vec b\). Vậy hợp lực của hai lực \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
\(\overrightarrow {{F_{ab}}} = \overrightarrow {{F_a}} + \overrightarrow {{F_b}} \Rightarrow {F_{ab}} = \sqrt {{F_a}^2 + {F_b}^2} = \sqrt {{{10}^2} + {{10}^2}} = 10\sqrt 2 N\).
Vì tam giác ACC’ là tam giác vuông tại C nên ta có:
\(AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} = \sqrt {A{C^2} + \frac{{A{C^2}}}{2}} = AC\sqrt {\frac{3}{2}} \) (vì CC’ là cạnh bên của hình lập phương còn AC là đường chéo của mặt bên nên \(CC' = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }}\)).
\(\cos \widehat {CAC'} = \frac{{AC}}{{AC'}} = \frac{{AC}}{{AC\sqrt {\frac{3}{2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) là:
\(F = \sqrt {{F_{ab}}^2 + F_c^2 + 2.{F_{ab}}.{F_c}.\cos \widehat {CAC'}} = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2} + {{20}^2} + 2.10\sqrt 2 .20.\frac{{\sqrt 6 }}{3}} = 32,6N\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho tứ diện ABCD có \(DA = DB = a\), \(BC = \frac{a}{2}\), \(AB \bot BC\) và \(\widehat {CBD} = {45^^\circ }\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
Phương pháp giải:
- Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} \), từ đó suy ra mối liên hệ với tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
- Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {AD} | \times |\overrightarrow {BC} |}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = BC.DB.\cos 45^\circ = \frac{a}{2}.a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\).
Mà: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} \).
Suy ra: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4} + 0 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\)(vì \(AB \bot BC\) nên \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} = 0\)).
Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {AD} | \times |\overrightarrow {BC} |}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}}}{{a.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là \(\arccos \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 45^\circ \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 60 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có \(\widehat {BAC} = \alpha \). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh bên AA' (Hình 2.18).
a) Vẽ hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) lần lượt bằng \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \). ABC.MPQ có phải là hình lăng trụ không? Vì sao?
b) Trong mặt phẳng (MPQ), hãy xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \), \(\overrightarrow {MQ} \) và so sánh góc đó với \(\alpha \).
Phương pháp giải:
- Sử dụng định nghĩa và tính chất của vectơ kết hợp với khái niệm và các tính chất của hình lăng trụ.
- Hình lăng trụ là hình đa diện bao gồm 2 đáy nằm trên hai mặt phẳng song song và là hai đa giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AB} \) suy ra MP = AB và MP // AB (1)
Tương tự: \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {A'C'} \) suy ra MQ = A’C’ = AC và MQ // A’C’ // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta MPQ = \Delta ABC\).
ABC.MPQ có hai đáy song song và bằng nhau nên ABC.MPQ là hình lăng trụ.
b) Vì \(\Delta MPQ = \Delta ABC\) nên \(\widehat {PMQ} = \widehat {BAC} = \alpha \).
Mà góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) là góc\(\widehat {PMQ}\).
Vậy \(\widehat {(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MQ} )} = \alpha \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 61 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lập phương \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và
a) vecto \(\overrightarrow {AB} \);
b) vectơ \(\overrightarrow {AD} \);
c) vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }B} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất của hình lập phương để xác định góc của các vectơ.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là \(a\).
a) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {AB} \):
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Mà góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} \) là \(\widehat {BAC}\) và vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {BAC} = 45^\circ \).
Suy ra \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AB} )} = 45^\circ \).
b) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {AD} \):
Tương tự như câu a ta có: \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Mà góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \) là \(\widehat {DAC}\) và vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {DAC} = 45^\circ \).
Suy ra \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'}, \overrightarrow {AD} )} = 45^\circ \).
c) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }B} \):
Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
Vì O và O’ lần lượt là trung điểm của cạnh BD và B’D’ nên OO’ là đường trung bình của BB’D’D, suy ra \(\overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {O'O} \).
Mà \(O'O \bot AC\) nên \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'}, \overrightarrow {B'B} )} = 90^\circ \).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian, cho hai vectơ \(\vec a,\vec b\) khác \(\vec 0\). Từ một điểm \(O\) tuỳ ý trong không gian, vẽ các vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} ,\overrightarrow {{b^\prime }} \) sao cho \(\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a\), \(\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b\). (P) là mặt phẳng chứa giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) (Hình 2.21).
a) Trong mặt phẳng \((P)\), hãy viết biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \).
b) Hãy so sánh \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) với \(|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\).
Phương pháp giải:
1. Sử dụng định nghĩa của tích vô hướng trong mặt phẳng \((P)\).
2. Sử dụng công thức của tích vô hướng để so sánh các biểu thức.
Lời giải chi tiết:
a) Trong mặt phẳng \((P)\), biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) được tính như sau:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\overrightarrow {{a^\prime }} | \cdot |\overrightarrow {{b^\prime }} | \cdot \cos \theta \)
trong đó \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \).
b) Vì \(\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a\) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b\), nên:
\(|\overrightarrow {{a^\prime }} | = |\vec a|,|\overrightarrow {{b^\prime }} | = |\vec b|\)
Do đó, ta có:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \theta \)
trong đó \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \).
Biểu thức này cho thấy rằng tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) trong mặt phẳng \((P)\) là bằng tích của độ lớn của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) với cosin của góc giữa chúng. Vì vậy:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\)
Điều này chứng minh rằng tích vô hướng của \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) trong mặt phẳng \((P)\) bằng tích vô hướng của \(\vec a\) và \(\vec b\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy tính:
a) \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {A'C'} ;\)
b) \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BD} ;\)
c) \(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {BB'} .\)
Phương pháp giải:
- Xác định độ dài của các vectơ và góc giữa chúng dựa vào tính chất của hình lập phương.
- Sử dụng công thức tích vô hướng \(\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos \theta \) để tính.
Lời giải chi tiết:
Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
a) Tính \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {A'C'} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {AB'} | = |\overrightarrow {A'C'} | = a\sqrt 2 \) (vì AB' và A'C' là các cạnh đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Góc giữa \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là \({60^^\circ }\) vì chúng là hai cạnh của tam giác đều AB’C.
Do đó: \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {A'C'} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|.\cos 60^\circ = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\frac{1}{2} = {a^2}\).
b) Tính \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {BD} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {AB'} | = a\sqrt 2 \) và \(|\overrightarrow {BD} | = a\sqrt 2 \) (cả hai đều là đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).
Từ B vẽ một vectơ \(\overrightarrow {BE} \) bằng với vectơ \(\overrightarrow {AB'} \).
Vì D đối xứng với E qua tâm của hình vuông BB’C’C nên đường trung tuyến của tam giác cân BED có độ dài là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra: \(\widehat {DBE} = 2\arccos \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}:a\sqrt 2 } \right) = 2\arccos \left( {\frac{1}{2}} \right) = 2.60^\circ = 120^\circ \).
Góc giữa \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {BD} \) cũng là góc giữa \(\overrightarrow {BE} \)và \(\overrightarrow {BD} \) là \(\widehat {DBE}\).
Do đó: \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos 120^\circ = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - {a^2}\).
c) Tính \(\overrightarrow {A'C'} \cdot \overrightarrow {BB'} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {A'C'} | = a\sqrt 2 \) và \(|\overrightarrow {BB'} | = a\).
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} \).
Do \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AA'} \) vuông góc với nhau nên góc giữa \(\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {BB'} \) Là 90°.
Suy ra: \(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {BB'} = \left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BB'} } \right|.\cos 90^\circ = a\sqrt 2 .a.0 = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho tứ diện ABCD có \(DA = DB = a\), \(BC = \frac{a}{2}\), \(AB \bot BC\) và \(\widehat {CBD} = {45^^\circ }\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
Phương pháp giải:
- Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} \), từ đó suy ra mối liên hệ với tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
- Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {AD} | \times |\overrightarrow {BC} |}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = BC.DB.\cos 45^\circ = \frac{a}{2}.a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\).
Mà: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} \).
Suy ra: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4} + 0 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\)(vì \(AB \bot BC\) nên \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} = 0\)).
Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {AD} | \times |\overrightarrow {BC} |}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}}}{{a.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là \(\arccos \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 45^\circ \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 64 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một chất điểm ở vị trí đỉnh \(A\) của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chất điểm chịu tác động bởi ba lực \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) lần lượt cùng hướng với \(\overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC'} \) như Hình 2.25. Cường độ của các lực \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) tương ứng là \(10{\rm{ N}}\), \(10{\rm{ N}}\) và \(20{\rm{ N}}\). Tính cường độ hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức quy tắc hình bình hành để tính tổng hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\).
\(F{}^\text{2}=\text{}{{F}_{1}}{}^\text{2}+{{F}_{2}}{}^\text{2}+2.{{}_{1}}.{{F}_{2}}.\cos \alpha \).
- Sau đó sử dụng kết quả vừa tính để tính tổng hợp lực với \(\vec c\).
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên góc giữa \(\overrightarrow {AD} \)và \(\overrightarrow {AB} \) là 90°.
Suy ra lực \(\vec a\) vuông góc với \(\vec b\). Vậy hợp lực của hai lực \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
\(\overrightarrow {{F_{ab}}} = \overrightarrow {{F_a}} + \overrightarrow {{F_b}} \Rightarrow {F_{ab}} = \sqrt {{F_a}^2 + {F_b}^2} = \sqrt {{{10}^2} + {{10}^2}} = 10\sqrt 2 N\).
Vì tam giác ACC’ là tam giác vuông tại C nên ta có:
\(AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} = \sqrt {A{C^2} + \frac{{A{C^2}}}{2}} = AC\sqrt {\frac{3}{2}} \) (vì CC’ là cạnh bên của hình lập phương còn AC là đường chéo của mặt bên nên \(CC' = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }}\)).
\(\cos \widehat {CAC'} = \frac{{AC}}{{AC'}} = \frac{{AC}}{{AC\sqrt {\frac{3}{2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) là:
\(F = \sqrt {{F_{ab}}^2 + F_c^2 + 2.{F_{ab}}.{F_c}.\cos \widehat {CAC'}} = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2} + {{20}^2} + 2.10\sqrt 2 .20.\frac{{\sqrt 6 }}{3}} = 32,6N\).
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 1 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong mục này là rất cần thiết để các em có thể đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới. Bài viết này sẽ đi sâu vào từng bài tập trong các trang 60, 61, 62, 63, 64, cung cấp lời giải chi tiết và các lưu ý quan trọng.
Các bài tập trang 60 thường là những bài tập cơ bản để kiểm tra sự hiểu biết của học sinh về các khái niệm và định lý đã học. Ví dụ, các bài tập có thể yêu cầu học sinh:
Lời giải cho các bài tập này thường khá đơn giản, nhưng đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức nền tảng.
Các bài tập trên trang 61 và 62 thường là những bài tập vận dụng, yêu cầu học sinh phải áp dụng kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề thực tế. Các bài tập này có thể liên quan đến:
Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần phải hiểu rõ các khái niệm và định lý liên quan, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải toán.
Các bài tập trên trang 63 và 64 thường là những bài tập nâng cao, đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy logic và sáng tạo. Các bài tập này có thể liên quan đến:
Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải toán tốt.
Đề bài: Tính giới hạn lim (x->2) (x^2 - 4) / (x - 2)
Lời giải:
Ta có: lim (x->2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x->2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x->2) (x + 2) = 2 + 2 = 4
Vậy, lim (x->2) (x^2 - 4) / (x - 2) = 4
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 3 trang 60, 61, 62, 63, 64 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới!
Toan11.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục tri thức. Hãy truy cập website của chúng tôi để khám phá thêm nhiều tài liệu học tập hữu ích khác.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
