Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Cho biết AB = 10, CD = 6, MN = 7.

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\).

b) Từ kết quả câu a, hãy tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC} \).

c) Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\):

- Vì \(M\) là trung điểm của BC, nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).

- Vì \(N\) là trung điểm của AD, nên \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

- Vectơ \(\overrightarrow {NM} \) có thể được viết là: \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {BM} \).

Với: \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} \)

Và: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC} } \right)\).

Suy ra: \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\).

b) Từ kết quả câu a, tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} \):

- Từ câu a, ta có:

\(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} ) \cdot (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\).

Biểu thức này mở rộng thành:

\(\frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {DC} )\).

Biết rằng \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = M{N^2} = 49\), \(AB = 10\), \(DC = 6\), ta suy ra:

\(49 = \frac{1}{4}(100 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} + 36)\).

\(49 = \frac{1}{4}(136 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} )\).

\(196 = 136 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} \).

\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} = 30\).

c) Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right)\):

- Góc giữa hai vectơ được tính bởi:

\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {DC} |}}\).

\(\cos \theta = \frac{{30}}{{10 \cdot 6}} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(\theta = {60^\circ }\).