Chào mừng bạn đến với toan11.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách Giải bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những phương pháp giải toán tối ưu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Cho tứ diện ABCD có \(AB = 2a,CD = 2a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng \(MN = a\sqrt 7 \), hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Đề bài
Cho tứ diện ABCD có \(AB = 2a,CD = 2a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng \(MN = a\sqrt 7 \), hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng công thức trung điểm để biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {NM} \) qua các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
- Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {MN} \) để từ đó tìm ra tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \).
- Sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Lời giải chi tiết
- Vì \(M\) là trung điểm của BC, nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
- Vì \(N\) là trung điểm của AD, nên \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).
- Vectơ \(\overrightarrow {NM} \) có thể được viết là:
\(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {BM} \)
Với: \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} \)
Và: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {CD} } \right)\).
Suy ra:
\(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} )\)
Ta có: \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} ) \cdot (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} )\)
Biểu thức này mở rộng thành:
\(\frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CD} \cdot \overrightarrow {CD} )\)
Biết rằng \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = M{N^2} = 7{a^2}\), \(AB = 2a\), \(CD = 2a\sqrt 3 \), ta suy ra:
\(7{a^2} = \frac{1}{4}(4{a^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} + 12{a^2})\)
\(7{a^2} = \frac{1}{4}(16{a^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} )\)
\(28{a^2} = 16{a^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \)
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = - 6{a^2}\)
- Góc giữa hai vectơ được tính bởi:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {CD} |}}\)
\(\cos \theta = \frac{{ - 6{a^2}}}{{2a.2a\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Suy ra góc giữa \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là \(\theta = {150^\circ }\).
Bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình Đại số, cụ thể là phần về hàm số bậc hai. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh của parabol, trục đối xứng, và các điểm đặc biệt của parabol để giải quyết các bài toán liên quan đến tìm phương trình parabol, xác định các yếu tố của parabol, hoặc ứng dụng parabol vào các bài toán thực tế.
Thông thường, bài tập 2.10 sẽ có dạng như sau:
Để giải bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
Bài toán: Tìm tọa độ đỉnh và phương trình trục đối xứng của parabol y = x2 - 4x + 3.
Giải:
Hàm số y = x2 - 4x + 3 có dạng y = ax2 + bx + c, với a = 1, b = -4, c = 3.
Tọa độ đỉnh của parabol là:
xđỉnh = -b / (2a) = -(-4) / (2 * 1) = 2
yđỉnh = a * xđỉnh2 + b * xđỉnh + c = 1 * 22 - 4 * 2 + 3 = -1
Vậy, tọa độ đỉnh của parabol là (2; -1).
Phương trình trục đối xứng của parabol là x = xđỉnh = 2.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 1 hoặc các đề thi thử Toán 12.
Bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp bạn hiểu rõ hơn về hàm số bậc hai và các ứng dụng của nó. Hy vọng rằng, với hướng dẫn chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà toan11.edu.vn cung cấp, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán tương tự.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
