Chương 3. Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục - SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 3 trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào hai khái niệm nền tảng của giải tích: giới hạn và tính liên tục của hàm số. Đây là những kiến thức then chốt, không chỉ quan trọng cho việc học Toán 11 mà còn là bước đệm vững chắc cho các môn học liên quan đến toán cao cấp sau này.

I. Giới hạn của hàm số

1. Khái niệm giới hạn: Giới hạn của hàm số tại một điểm là giá trị mà hàm số tiến tới khi biến số độc lập tiến tới điểm đó. Khái niệm này được biểu diễn bằng ký hiệu lim_x→a f(x) = L, trong đó f(x) là hàm số, a là điểm tiến tới, và L là giới hạn của hàm số tại điểm a.

2. Các loại giới hạn:

• Giới hạn hữu hạn: Khi x tiến tới a, f(x) tiến tới một giá trị hữu hạn L.
• Giới hạn vô cực: Khi x tiến tới a, f(x) tiến tới vô cực (+∞ hoặc -∞).

3. Tính chất của giới hạn:

• lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x)
• lim_x→a [f(x) - g(x)] = lim_x→a f(x) - lim_x→a g(x)
• lim_x→a [f(x) * g(x)] = lim_x→a f(x) * lim_x→a g(x)
• lim_x→a [f(x) / g(x)] = lim_x→a f(x) / lim_x→a g(x) (với lim_x→a g(x) ≠ 0)

II. Hàm số liên tục

1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm: Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

• f(x₀) xác định.
• lim_x→x0 f(x) tồn tại.
• lim_x→x0 f(x) = f(x₀)

2. Hàm số liên tục trên một khoảng: Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

3. Các hàm số liên tục:

• Hàm đa thức là hàm liên tục trên R.
• Hàm phân thức là hàm liên tục trên tập xác định của nó.
• Hàm lượng giác (sin, cos) là hàm liên tục trên R.

III. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính lim_x→2 (x² + 3x - 1)

Giải: Áp dụng tính chất của giới hạn, ta có:

lim_x→2 (x² + 3x - 1) = lim_x→2 x² + lim_x→2 3x - lim_x→2 1 = 2² + 3*2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = (x² - 1) / (x - 1) tại x = 1

Giải: Hàm số f(x) không xác định tại x = 1. Tuy nhiên, ta có thể rút gọn hàm số như sau:

f(x) = (x² - 1) / (x - 1) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = x + 1 (với x ≠ 1)

lim_x→1 f(x) = lim_x→1 (x + 1) = 1 + 1 = 2

Vì f(1) không xác định, nên hàm số f(x) không liên tục tại x = 1.

IV. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về giới hạn và hàm số liên tục, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo cung cấp một lượng lớn bài tập với nhiều mức độ khó khác nhau, giúp bạn rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức đã học.

Ngoài ra, bạn có thể tìm kiếm thêm các tài liệu tham khảo khác trên internet hoặc tại các thư viện để mở rộng kiến thức và hiểu sâu hơn về chủ đề này.