Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều trên toan11.edu.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức trọng tâm của bài học.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 10 hiện hành. Hãy cùng toan11.edu.vn khám phá lời giải bài 3 này nhé!
Cho \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
Đề bài
Cho \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
a) Tính \({S_1}\); \({S_2}\);\({S_3}\); \({S_4}\).
b) Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\)
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) \(n = 1 \Rightarrow 4n - 3 = 1;4n + 1 = 5 \Rightarrow {S_1} = \frac{1}{{1.5}} = \frac{1}{5}\);
\({S_2} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} = \frac{2}{9}\);
\({S_3} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} = \frac{3}{{13}}\);
b) Ta có:
\({S_1} = \frac{1}{5} = \frac{1}{{4.1 + 1}};\)\({S_2} = \frac{2}{{4.2 + 1}};\)\({S_3} = \frac{3}{{4.3 + 1}};\)
Dự doán: \({S_n} = \frac{n}{{4.n + 1}}\)
Chứng minh:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({S_1} = \frac{1}{{4.1 + 1}}\) đúng
Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
\({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{4.(k + 1) + 1}}\) hay \({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{4k + 5}}\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({S_k} = \frac{k}{{4.k + 1}}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4k - 3)(4k + 1)}} + \frac{1}{{[4(k + 1) - 3][4(k + 1) + 1]}}\\ = {S_k} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{k}{{4k + 1}} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}}\\ = \frac{{k(4k + 5)}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}}\\ = \frac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{{(4k + 1)(k + 1)}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{{k + 1}}{{4k + 5}}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ, phép toán vectơ và ứng dụng trong hình học phẳng. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các định lý liên quan.
Bài 3 yêu cầu học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:
Để giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài 3, chúng ta sẽ đi vào phân tích từng phần của bài tập.
Trong hình vẽ, ta có thể xác định các vectơ sau:
Việc xác định đúng các vectơ là bước đầu tiên quan trọng để giải quyết bài toán.
Ví dụ, để tính vectơ AB + AC, ta có thể sử dụng quy tắc cộng vectơ:
AB + AC = AD
Tương tự, để tính vectơ AB - AC, ta có thể sử dụng quy tắc trừ vectơ:
AB - AC = CB
Để chứng minh đẳng thức vectơ, ta có thể sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ, chẳng hạn như quy tắc cộng vectơ, quy tắc trừ vectơ, quy tắc nhân vectơ với một số.
Ví dụ, để chứng minh AB + BC = AC, ta có thể sử dụng quy tắc cộng vectơ:
Vectơ AB + BC là tổng của hai vectơ AB và BC. Theo quy tắc cộng vectơ, vectơ tổng AB + BC có điểm đầu là điểm đầu của vectơ AB và điểm cuối là điểm cuối của vectơ BC. Do đó, vectơ AB + BC chính là vectơ AC.
Các bài toán ứng dụng của vectơ trong hình học thường liên quan đến việc chứng minh các tính chất của hình học, chẳng hạn như chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh hai tam giác đồng dạng, chứng minh một điểm nằm trên một đường thẳng.
Để giải các bài toán này, ta cần sử dụng các kiến thức về vectơ và các định lý hình học.
Bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em sẽ giải bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc các em học tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
