Chào mừng bạn đến với toan11.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cùng nhau giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 25 và 26 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*,{(1 + \sqrt 2 )^n},{(1 - \sqrt 2 )^n}\) lần lượt viết được ở dạng \({a_n} + {b_n}\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\sqrt 2 ,\) trong đó \({a_n},{b_n}\) là các số nguyên dương.
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*,{(1 + \sqrt 2 )^n},{(1 - \sqrt 2 )^n}\) lần lượt viết được ở dạng \({a_n} + {b_n}\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\sqrt 2 ,\) trong đó \({a_n},{b_n}\) là các số nguyên dương.
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^1} = 1 + \sqrt 2 ;{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^1} = 1 - \sqrt 2 \) có dạng \({a_1} + {b_1}\sqrt 2 ,{a_1} - {b_1}\sqrt 2 \) với \({a_1} = 1;{b_1} = 1\) là các số nguyên dương
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}};{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^{k + 1}}\) có dạng \({a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 ;{a_{k + 1}} - {b_{k + 1}}\sqrt 2 \) với \({a_{k + 1}};{b_{k + 1}}\) là các số nguyên dương.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 ;{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} - {b_k}\sqrt 2 \) với \({a_k};{b_k}\) là các số nguyên dương.
Suy ra
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}} = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\\ = \left( {{a_k} + {b_k}\sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 + {a_k}\sqrt 2 + {b_k}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\\ = \left( {{a_k} + 2{b_k}} \right) + \left( {{a_k} + {b_k}} \right)\sqrt 2 \\ = {a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 \end{array}\)
Trong đó \({a_{k + 1}} = {a_k} + 2{b_k} \in \mathbb{N}*;{b_{k + 1}} = {a_k} + {b_k} \in \mathbb{N}*\)
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*,{(1 + \sqrt 2 )^n},{(1 - \sqrt 2 )^n}\) lần lượt viết được ở dạng \({a_n} + {b_n}\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\sqrt 2 ,\) trong đó \({a_n},{b_n}\) là các số nguyên dương.
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^1} = 1 + \sqrt 2 ;{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^1} = 1 - \sqrt 2 \) có dạng \({a_1} + {b_1}\sqrt 2 ,{a_1} - {b_1}\sqrt 2 \) với \({a_1} = 1;{b_1} = 1\) là các số nguyên dương
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}};{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^{k + 1}}\) có dạng \({a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 ;{a_{k + 1}} - {b_{k + 1}}\sqrt 2 \) với \({a_{k + 1}};{b_{k + 1}}\) là các số nguyên dương.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 ;{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} - {b_k}\sqrt 2 \) với \({a_k};{b_k}\) là các số nguyên dương.
Suy ra
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}} = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\\ = \left( {{a_k} + {b_k}\sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 + {a_k}\sqrt 2 + {b_k}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\\ = \left( {{a_k} + 2{b_k}} \right) + \left( {{a_k} + {b_k}} \right)\sqrt 2 \\ = {a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 \end{array}\)
Trong đó \({a_{k + 1}} = {a_k} + 2{b_k} \in \mathbb{N}*;{b_{k + 1}} = {a_k} + {b_k} \in \mathbb{N}*\)
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh \({16^n} - 15n - 1\) chia hết cho 225 với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({16^1} - 15.1 - 1 = 0\) chia hết cho 225.
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1\) chia hết cho 225.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({16^k} - 15k - 1\) chia hết cho 225.
Suy ra
\(\begin{array}{l}{16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 = {16.16^k} - 15k - 16\\ = 16\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \right) + 16(15k + 1) - 15k - 16\\ = 16\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \right) + 225k\end{array}\)
Chia hết cho 225
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh \({16^n} - 15n - 1\) chia hết cho 225 với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({16^1} - 15.1 - 1 = 0\) chia hết cho 225.
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
\({16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1\) chia hết cho 225.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({16^k} - 15k - 1\) chia hết cho 225.
Suy ra
\(\begin{array}{l}{16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 = {16.16^k} - 15k - 16\\ = 16\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \right) + 16(15k + 1) - 15k - 16\\ = 16\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \right) + 225k\end{array}\)
Chia hết cho 225
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều tập trung vào việc ôn tập và mở rộng kiến thức về vectơ trong mặt phẳng. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng các định lý, tính chất của vectơ để giải quyết các bài toán hình học và đại số. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải toán là rất quan trọng để hoàn thành tốt các bài tập này.
Bài 1 thường bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm và bài tập tự luận về khái niệm vectơ, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số), và các tính chất của vectơ. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa vectơ, hiểu rõ các phép toán và tính chất của vectơ, và biết cách áp dụng chúng vào các bài toán cụ thể.
Bài 2 thường tập trung vào việc sử dụng vectơ để chứng minh các tính chất hình học, giải các bài toán về hình bình hành, hình thang, và các hình đa giác khác. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần biết cách biểu diễn các điểm và vectơ trong hệ tọa độ, sử dụng các công thức tính độ dài vectơ, tích vô hướng của hai vectơ, và các định lý hình học liên quan.
Bài 3 thường tập trung vào việc sử dụng vectơ để giải các bài toán về hệ phương trình tuyến tính, tìm tọa độ của các điểm, và chứng minh các đẳng thức vectơ. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần biết cách biểu diễn các vectơ dưới dạng tọa độ, sử dụng các phép toán trên vectơ trong hệ tọa độ, và áp dụng các phương pháp đại số để giải quyết các bài toán.
Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bài tập trong mục 2 trang 25 và 26 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều:
(Lưu ý: Nội dung giải chi tiết cho từng bài tập sẽ được trình bày đầy đủ và rõ ràng, bao gồm các bước giải, các công thức sử dụng, và các giải thích cần thiết.)
Để hiểu sâu hơn về vectơ và các ứng dụng của nó, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng rằng với hướng dẫn giải chi tiết và các mẹo hữu ích trên đây, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập trong mục 2 trang 25 và 26 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
