Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 1 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo trên toan11.edu.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải bài tập và nắm vững kiến thức trọng tâm của chuyên đề.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những nội dung chất lượng, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 10 hiện hành.
Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi (n in mathbb{N}*).
Đề bài
Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
a) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}\)
b) \(1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n(3n + 1) = n{(n + 1)^2}\)
c) \(\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}} = \frac{n}{{2n + 1}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({1^3} = \frac{{{1^2}{{(1 + 1)}^2}}}{4}\)
Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} = \frac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4}\)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} + {(k + 1)^3} = \frac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có
\(\begin{array}{l}{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} + {(k + 1)^3} = \frac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4} + {(k + 1)^3}\\ = {(k + 1)^2}\left( {\frac{{{k^2}}}{4} + k + 1} \right) = \frac{{{{(k + 1)}^2}({k^2} + 4k + 4)}}{4}\\ = \frac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1.4 = 1.{(1 + 1)^2}\)
Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\(1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + k(3k + 1) = k{(k + 1)^2}\)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\(1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + k(3k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) + 1) = (k + 1){(k + 2)^2}\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có
\(\begin{array}{l}1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + k(3k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) + 1)\\ = k{(k + 1)^2} + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)\left[ {k(k + 1) + 3k + 4} \right]\\ = (k + 1)({k^2} + 4k + 4) = (k + 1){(k + 2)^2}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
c) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({S_1} = \frac{1}{3}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Giải sử đẳng thức đúng với \(n = k\) tức là ta có \({S_k} = \frac{k}{{2k + 1}}\)
Ta chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{2(k + 1) + 1}}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + ... + \frac{1}{{(2k - 1)(2k + 1)}} + \frac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}}\\ = \frac{k}{{2k + 1}} + \frac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{k(2k + 3) + 1}}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{2{k^2} + 3k + 1}}{{(2k + 1)(2k + 3)}}\\ = \frac{{(k + 1)(2k + 1)}}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{k + 1}}{{2k + 3}}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).
Bài 1 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học. Bài tập này yêu cầu học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản như vectơ, phép cộng, phép trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và các tính chất của chúng.
Bài 1 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài 1 trang 40, chúng ta sẽ đi vào phân tích từng phần của bài tập.
Trong phần này, các em cần chú ý đến chiều và hướng của các vectơ. Sử dụng ký hiệu vectơ để biểu diễn các vectơ một cách chính xác.
Khi thực hiện các phép toán vectơ, các em cần tuân thủ các quy tắc về phép cộng, phép trừ vectơ, tích của một số với vectơ. Chú ý đến thứ tự thực hiện các phép toán.
Để chứng minh đẳng thức vectơ, các em có thể sử dụng các phương pháp sau:
Khi ứng dụng vectơ vào giải quyết bài toán hình học, các em cần xác định được mối liên hệ giữa các vectơ và các yếu tố hình học. Sử dụng vectơ để biểu diễn các yếu tố hình học và giải quyết bài toán.
Để giải bài tập vectơ hiệu quả, các em có thể tham khảo một số mẹo sau:
Bài 1 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về vectơ và rèn luyện kỹ năng giải bài tập hình học. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập hiệu quả mà toan11.edu.vn cung cấp, các em sẽ tự tin hơn trong việc học tập môn Toán 10.
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Vectơ | Một đoạn thẳng có hướng. |
| Phép cộng vectơ | Quy tắc hình bình hành. |
| Tích của một số với vectơ | Làm thay đổi độ dài của vectơ. |
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
