Chào mừng các em học sinh đến với bài học về Dạng 2: Đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng, thuộc Chủ đề 10 Ôn hè Toán 6 trên toan11.edu.vn. Đây là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất trong chương trình Hình học lớp 6.
Bài học này sẽ giúp các em nắm vững định nghĩa, tính chất của đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng, và cách áp dụng vào giải các bài tập thực tế. Chúng tôi cung cấp lý thuyết dễ hiểu, bài tập đa dạng và lời giải chi tiết để các em có thể tự học hiệu quả.
1. Hai đoạn thẳng bằng nhau Đoạn thẳng AB là hình gồm hai điểm A, B và tất cả các điểm nằm giữa giữa A và B.
1. Hai đoạn thẳng bằng nhau
Đoạn thẳng AB là hình gồm hai điểm A, B và tất cả các điểm nằm giữa giữa A và B.
Đoạn thẳng AB còn gọi là đoạn thẳng BA.
Hai điểm A, B gọi là hai đầu mút (hoặc hai mút) của đoạn thẳng AB.
2. Độ dài đoạn thẳng
- Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương.
- Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
- Nếu hai điểm trùng nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Ví dụ: Đoạn thẳng CD dài 4 cm
*So sánh hai đoạn thẳng
Ta so sánh hai đoạn thẳng bằng cách so sánh độ dài của chúng.
+ Ta có thể dùng mệnh đề: “Nếu \(AM + MB \ne AB\) thì điểm \(M\) không nằm giữa \(A\) và \(B\)”
+ Nếu điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\); điểm \(N\) nằm giữa \(M\) và \(B\) thì \(AM + MN + NB = AB.\)
3. Trung điểm của đoạn thẳng
Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa và cách đều hai đầu đoạn thẳng. Trung điểm của đoạn thẳng còn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng.
Tóm tắt:
\(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB\( \Leftrightarrow \)\({\rm{IA\; = \;IB}}.\) và \(I\) nằm giữa hai điểm A;B.
hoặc \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AI + IB = AB}\\{{\rm{IA\; = \;IB}}}\end{array}} \right.\)
hoặc \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow {\rm{AI\; = \;BI\; = }}\dfrac{1}{2}AB\)
Bài 1:
Cho hình vẽ sau:
a) Kể tên các đoạn thẳng trên hình vẽ.
b) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
c) Tia nào cắt đoạn thẳng tại điểm nằm giữa hai đầu của đoạn thẳng đó?
Bài 2:
Cho\(n\) điểm phân biệt \(\left( {n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}} \right)\), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong số các điểm đã cho. Biết vẽ được tất cả \(120\) đoạn thẳng. Tìm giá trị của \(\,n.\)
Bài 3:
Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(OA = 3cm;\,\,OB = 6cm\).
a) Điểm \(A\) có nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) không?
b) So sánh \(OA\) và \(AB\).
c) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) không? Vì sao?
Bài 4:
Trên đường thẳng \(xy\) lấy một điểm \(O\). Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = 2cm\). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(N\) và \(P\) sao cho \(ON = 2cm\) và \(OP = a > 2cm\).
a) Chứng tỏ rằng \(O\) là trung điểm của \(MN\).
b) Tìm giá trị của \(a\) để \(N\) là trung điểm của \(OP\).
Bài 5:
Trên tia \(Ox\) lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(OA = 2cm\), \(OB = 5cm\) và \(OC = 8cm\).
a) Trong ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) điểm nào là trung điểm của đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm còn lại?
b) Gọi \(H,\,\,I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(OA,\,\,AB,\,\,BC\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(HI,\,\,HK\) và \(IK\).
Lời giải chi tiết:
Bài 1:
Cho hình vẽ sau:
a) Kể tên các đoạn thẳng trên hình vẽ.
b) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
c) Tia nào cắt đoạn thẳng tại điểm nằm giữa hai đầu của đoạn thẳng đó?
Phương pháp
+ Đoạn thẳng \(AB\) là hình gồm điểm \(A,\,B\) và tất cả các điểm nằm giữa \(AB\).
+ Hai đoạn thẳng cắt nhau có một điểm chung.
Lời giải
a) Các đoạn thẳng có trên hình vẽ là: \(AB,\,\,AD,\,\,AC,\,\,BD,\,\,BC,\,\,DC\)
b) Các cặp đoạn thẳng không cắt nhau là: \(AB\) và \(DC\), \(AC\) và \(BD\)
c) Tia \(Ay\) cắt đoạn thẳng \(BC\) tại điểm \(D\) nằm giữa \(B\) và \(C\).
Bài 2:
Cho\(n\) điểm phân biệt \(\left( {n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}} \right)\), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong số các điểm đã cho. Biết vẽ được tất cả \(120\) đoạn thẳng. Tìm giá trị của \(\,n.\)
Phương pháp
Từ \(n\) điểm \(\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 2} \right)\) ta có thể kẻ được \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\) đoạn thẳng.
Lời giải
Qua một điểm và \(\left( {n - 1} \right)\) điểm còn lại ta kẻ được \(n - 1\) đoạn thẳng.
Với \(n\) điểm ta kẻ được \(n\left( {n - 1} \right)\) đoạn thẳng.
Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính hai lần, số đoạn thẳng kẻ được là \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\) đoạn thẳng.
Theo đề bài, ta có: \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 120\)
\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = 120.2\)
\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = 240\)
Mà \(240 = 16.15\) nên \(n = 16\).
Vậy \(n = 16\).
Bài 3:
Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(OA = 3cm;\,\,OB = 6cm\).
a) Điểm \(A\) có nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) không?
b) So sánh \(OA\) và \(AB\).
c) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) không? Vì sao?
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
Lời giải
a) Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB\) (vì \(3cm < 6cm\)) nên điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
b) Vì điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) nên ta có:
\(OA + AB = OB\)
\( \Rightarrow AB = OB - OA\)\( = 6cm - 3cm = 3cm\)
\( \Rightarrow OA = AB = 3cm\).
Vậy \(OA = AB\).
c) Ta có:
+) Điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
+) \(OA = AB\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(A\) là trung điểm của \(OB\).
Bài 4:
Trên đường thẳng \(xy\) lấy một điểm \(O\). Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = 2cm\). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(N\) và \(P\) sao cho \(ON = 2cm\) và \(OP = a > 2cm\).
a) Chứng tỏ rằng \(O\) là trung điểm của \(MN\).
b) Tìm giá trị của \(a\) để \(N\) là trung điểm của \(OP\).
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
+) Định nghĩa hai tia đối nhau.
Lời giải
a) Vì điểm \(O\) nằm trên đường thẳng \(xy\) nên \(Ox\) và \(Oy\) là hai tia đối nhau.
Vì \(M \in Ox\), \(N \in Oy\) mà \(Ox\) và \(Oy\) là hai tia đối nhau nên điểm \(O\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(N\).
Ta lại có: \(OM = 2cm,\,\,ON = 2cm\)\( \Rightarrow OM = ON\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\).
b) Trên tia \(Oy\) ta có \(ON < OP\,\,\left( {2\,cm < a\,cm} \right)\) nên điểm \(N\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(P\).
Khi đó, ta có: \(ON + NP = OP\) \( \Rightarrow NP = OP - ON = a - 2\,\,\left( {cm} \right)\)
Để \(N\) là trung điểm của \(OP\) thì \(NP = ON\)\( \Rightarrow a - 2 = 2\)\( \Rightarrow a = 4\,\,\left( {cm} \right)\).
Vậy \(a = 4\,\,\left( {cm} \right)\).
Bài 5:
Trên tia \(Ox\) lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(OA = 2cm\), \(OB = 5cm\) và \(OC = 8cm\).
a) Trong ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) điểm nào là trung điểm của đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm còn lại?
b) Gọi \(H,\,\,I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(OA,\,\,AB,\,\,BC\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(HI,\,\,HK\) và \(IK\).
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
Lời giải
a) Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB\,\,\left( {2\,cm < 5\,cm} \right)\) nên điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
Ta có: \(OA + AB = OB\)\( \Rightarrow AB = OB - OA\)\( = 5cm - 2cm = 3cm\)
Trên tia \(Ox\) ta có \(OB < OC\,\,\left( {5\,cm < 8\,cm} \right)\) nên điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(C\).
Ta có: \(OB + BC = OC\)\( \Rightarrow BC = OC - OB\)\( = 8cm - 5cm = 3cm\)
\( \Rightarrow AB = BC = 3cm\)
Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB < OC\) \(\left( {2cm < 5cm < 8cm} \right)\) nên điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(C\).
Ta có: điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A,\,\,C\) và \(AB = BC = 3cm\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\).
b) Ta có hình vẽ:
Vì:
+ Điểm \(H\) là trung điểm của \(OA\) nên \(OH = HA = \dfrac{{OA}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\,\,\left( {cm} \right)\).
+ Điểm \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AI = IB = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,\,\left( {cm} \right)\).
+ Điểm \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BK = KC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,\,\left( {cm} \right)\).
Do \(H\) và \(I\) thuộc hai tia đối nhau gốc \(A\) nên điểm \(A\) nằm giữa \(H\) và \(I\). Ta có:
\(HA + AI = HI\) \( \Rightarrow HI = 1cm + 1,5cm = 2,5cm\)
Do \(K\) và \(I\) thuộc hai tia đối nhau gốc \(B\) nên điểm \(B\) nằm giữa \(K\) và \(I\). Ta có:
\(IB + BK = IK\) \( \Rightarrow KI = 1,5cm + 1,5cm = 3cm\)
Ta có:
+ Điểm \(A\) nằm giữa \(H\) và \(I\) nên \(H\) và \(A\) nằm cùng phía so với điểm \(I\).
+ Điểm \(B\) nằm giữa \(K\) và \(I\) nên \(K\) và \(B\) nằm cùng phía so với điểm \(I\).
+ Điểm \(I\) nằm giữa \(A\) và \(B\) nên \(B\) và \(A\) nằm khác phía so với điểm \(I\).
Suy ra, \(H\) và \(K\) nằm khác phía so với điểm \(I\).
Suy ra, điểm \(I\) nằm giữa hai điểm \(H\) và \(K\).
Ta có: \(IH + IK = HK\)\( \Rightarrow HK = 2,5cm + 3cm = 5,5cm\).
1. Hai đoạn thẳng bằng nhau
Đoạn thẳng AB là hình gồm hai điểm A, B và tất cả các điểm nằm giữa giữa A và B.
Đoạn thẳng AB còn gọi là đoạn thẳng BA.
Hai điểm A, B gọi là hai đầu mút (hoặc hai mút) của đoạn thẳng AB.
2. Độ dài đoạn thẳng
- Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương.
- Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
- Nếu hai điểm trùng nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Ví dụ: Đoạn thẳng CD dài 4 cm
*So sánh hai đoạn thẳng
Ta so sánh hai đoạn thẳng bằng cách so sánh độ dài của chúng.
+ Ta có thể dùng mệnh đề: “Nếu \(AM + MB \ne AB\) thì điểm \(M\) không nằm giữa \(A\) và \(B\)”
+ Nếu điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\); điểm \(N\) nằm giữa \(M\) và \(B\) thì \(AM + MN + NB = AB.\)
3. Trung điểm của đoạn thẳng
Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa và cách đều hai đầu đoạn thẳng. Trung điểm của đoạn thẳng còn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng.
Tóm tắt:
\(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB\( \Leftrightarrow \)\({\rm{IA\; = \;IB}}.\) và \(I\) nằm giữa hai điểm A;B.
hoặc \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AI + IB = AB}\\{{\rm{IA\; = \;IB}}}\end{array}} \right.\)
hoặc \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow {\rm{AI\; = \;BI\; = }}\dfrac{1}{2}AB\)
Bài 1:
Cho hình vẽ sau:
a) Kể tên các đoạn thẳng trên hình vẽ.
b) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
c) Tia nào cắt đoạn thẳng tại điểm nằm giữa hai đầu của đoạn thẳng đó?
Bài 2:
Cho\(n\) điểm phân biệt \(\left( {n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}} \right)\), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong số các điểm đã cho. Biết vẽ được tất cả \(120\) đoạn thẳng. Tìm giá trị của \(\,n.\)
Bài 3:
Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(OA = 3cm;\,\,OB = 6cm\).
a) Điểm \(A\) có nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) không?
b) So sánh \(OA\) và \(AB\).
c) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) không? Vì sao?
Bài 4:
Trên đường thẳng \(xy\) lấy một điểm \(O\). Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = 2cm\). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(N\) và \(P\) sao cho \(ON = 2cm\) và \(OP = a > 2cm\).
a) Chứng tỏ rằng \(O\) là trung điểm của \(MN\).
b) Tìm giá trị của \(a\) để \(N\) là trung điểm của \(OP\).
Bài 5:
Trên tia \(Ox\) lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(OA = 2cm\), \(OB = 5cm\) và \(OC = 8cm\).
a) Trong ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) điểm nào là trung điểm của đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm còn lại?
b) Gọi \(H,\,\,I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(OA,\,\,AB,\,\,BC\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(HI,\,\,HK\) và \(IK\).
Lời giải chi tiết:
Bài 1:
Cho hình vẽ sau:
a) Kể tên các đoạn thẳng trên hình vẽ.
b) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
c) Tia nào cắt đoạn thẳng tại điểm nằm giữa hai đầu của đoạn thẳng đó?
Phương pháp
+ Đoạn thẳng \(AB\) là hình gồm điểm \(A,\,B\) và tất cả các điểm nằm giữa \(AB\).
+ Hai đoạn thẳng cắt nhau có một điểm chung.
Lời giải
a) Các đoạn thẳng có trên hình vẽ là: \(AB,\,\,AD,\,\,AC,\,\,BD,\,\,BC,\,\,DC\)
b) Các cặp đoạn thẳng không cắt nhau là: \(AB\) và \(DC\), \(AC\) và \(BD\)
c) Tia \(Ay\) cắt đoạn thẳng \(BC\) tại điểm \(D\) nằm giữa \(B\) và \(C\).
Bài 2:
Cho\(n\) điểm phân biệt \(\left( {n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}} \right)\), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong số các điểm đã cho. Biết vẽ được tất cả \(120\) đoạn thẳng. Tìm giá trị của \(\,n.\)
Phương pháp
Từ \(n\) điểm \(\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 2} \right)\) ta có thể kẻ được \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\) đoạn thẳng.
Lời giải
Qua một điểm và \(\left( {n - 1} \right)\) điểm còn lại ta kẻ được \(n - 1\) đoạn thẳng.
Với \(n\) điểm ta kẻ được \(n\left( {n - 1} \right)\) đoạn thẳng.
Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính hai lần, số đoạn thẳng kẻ được là \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\) đoạn thẳng.
Theo đề bài, ta có: \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 120\)
\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = 120.2\)
\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = 240\)
Mà \(240 = 16.15\) nên \(n = 16\).
Vậy \(n = 16\).
Bài 3:
Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(OA = 3cm;\,\,OB = 6cm\).
a) Điểm \(A\) có nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) không?
b) So sánh \(OA\) và \(AB\).
c) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) không? Vì sao?
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
Lời giải
a) Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB\) (vì \(3cm < 6cm\)) nên điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
b) Vì điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) nên ta có:
\(OA + AB = OB\)
\( \Rightarrow AB = OB - OA\)\( = 6cm - 3cm = 3cm\)
\( \Rightarrow OA = AB = 3cm\).
Vậy \(OA = AB\).
c) Ta có:
+) Điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
+) \(OA = AB\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(A\) là trung điểm của \(OB\).
Bài 4:
Trên đường thẳng \(xy\) lấy một điểm \(O\). Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = 2cm\). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(N\) và \(P\) sao cho \(ON = 2cm\) và \(OP = a > 2cm\).
a) Chứng tỏ rằng \(O\) là trung điểm của \(MN\).
b) Tìm giá trị của \(a\) để \(N\) là trung điểm của \(OP\).
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
+) Định nghĩa hai tia đối nhau.
Lời giải
a) Vì điểm \(O\) nằm trên đường thẳng \(xy\) nên \(Ox\) và \(Oy\) là hai tia đối nhau.
Vì \(M \in Ox\), \(N \in Oy\) mà \(Ox\) và \(Oy\) là hai tia đối nhau nên điểm \(O\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(N\).
Ta lại có: \(OM = 2cm,\,\,ON = 2cm\)\( \Rightarrow OM = ON\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\).
b) Trên tia \(Oy\) ta có \(ON < OP\,\,\left( {2\,cm < a\,cm} \right)\) nên điểm \(N\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(P\).
Khi đó, ta có: \(ON + NP = OP\) \( \Rightarrow NP = OP - ON = a - 2\,\,\left( {cm} \right)\)
Để \(N\) là trung điểm của \(OP\) thì \(NP = ON\)\( \Rightarrow a - 2 = 2\)\( \Rightarrow a = 4\,\,\left( {cm} \right)\).
Vậy \(a = 4\,\,\left( {cm} \right)\).
Bài 5:
Trên tia \(Ox\) lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(OA = 2cm\), \(OB = 5cm\) và \(OC = 8cm\).
a) Trong ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) điểm nào là trung điểm của đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm còn lại?
b) Gọi \(H,\,\,I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(OA,\,\,AB,\,\,BC\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(HI,\,\,HK\) và \(IK\).
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
Lời giải
a) Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB\,\,\left( {2\,cm < 5\,cm} \right)\) nên điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
Ta có: \(OA + AB = OB\)\( \Rightarrow AB = OB - OA\)\( = 5cm - 2cm = 3cm\)
Trên tia \(Ox\) ta có \(OB < OC\,\,\left( {5\,cm < 8\,cm} \right)\) nên điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(C\).
Ta có: \(OB + BC = OC\)\( \Rightarrow BC = OC - OB\)\( = 8cm - 5cm = 3cm\)
\( \Rightarrow AB = BC = 3cm\)
Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB < OC\) \(\left( {2cm < 5cm < 8cm} \right)\) nên điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(C\).
Ta có: điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A,\,\,C\) và \(AB = BC = 3cm\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\).
b) Ta có hình vẽ:
Vì:
+ Điểm \(H\) là trung điểm của \(OA\) nên \(OH = HA = \dfrac{{OA}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\,\,\left( {cm} \right)\).
+ Điểm \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AI = IB = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,\,\left( {cm} \right)\).
+ Điểm \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BK = KC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,\,\left( {cm} \right)\).
Do \(H\) và \(I\) thuộc hai tia đối nhau gốc \(A\) nên điểm \(A\) nằm giữa \(H\) và \(I\). Ta có:
\(HA + AI = HI\) \( \Rightarrow HI = 1cm + 1,5cm = 2,5cm\)
Do \(K\) và \(I\) thuộc hai tia đối nhau gốc \(B\) nên điểm \(B\) nằm giữa \(K\) và \(I\). Ta có:
\(IB + BK = IK\) \( \Rightarrow KI = 1,5cm + 1,5cm = 3cm\)
Ta có:
+ Điểm \(A\) nằm giữa \(H\) và \(I\) nên \(H\) và \(A\) nằm cùng phía so với điểm \(I\).
+ Điểm \(B\) nằm giữa \(K\) và \(I\) nên \(K\) và \(B\) nằm cùng phía so với điểm \(I\).
+ Điểm \(I\) nằm giữa \(A\) và \(B\) nên \(B\) và \(A\) nằm khác phía so với điểm \(I\).
Suy ra, \(H\) và \(K\) nằm khác phía so với điểm \(I\).
Suy ra, điểm \(I\) nằm giữa hai điểm \(H\) và \(K\).
Ta có: \(IH + IK = HK\)\( \Rightarrow HK = 2,5cm + 3cm = 5,5cm\).
Chào mừng các em học sinh đến với bài học quan trọng trong chương trình ôn hè Toán 6! Trong bài học này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá Dạng 2: Đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng. Đây là nền tảng kiến thức Hình học mà các em cần nắm vững để học tốt các bài học tiếp theo.
1. Đoạn thẳng là gì?
Đoạn thẳng là hình gồm hai điểm và tất cả các điểm nằm giữa hai điểm đó. Hai điểm đó gọi là hai mút của đoạn thẳng.
2. Độ dài đoạn thẳng:
Độ dài của đoạn thẳng là khoảng cách giữa hai mút của nó. Kí hiệu độ dài đoạn thẳng AB là AB.
3. So sánh độ dài hai đoạn thẳng:
Để so sánh độ dài hai đoạn thẳng, ta có thể dùng thước đo hoặc sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu AB < BC và BC < CD thì AB < CD.
1. Định nghĩa:
Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm sao cho MA = MB.
2. Tính chất:
Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB = AB/2.
3. Tìm trung điểm của đoạn thẳng:
Để tìm trung điểm của đoạn thẳng trên hình vẽ, ta có thể dùng thước đo chia đôi đoạn thẳng. Trên tia số, trung điểm của đoạn thẳng có hai mút a và b là điểm có tọa độ (a+b)/2.
Bài 1: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 8cm. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài đoạn thẳng AM và MB.
Giải:
Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên AM = MB = AB/2 = 8cm/2 = 4cm.
Bài 2: Trên tia số, cho điểm A có tọa độ -2 và điểm B có tọa độ 5. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.
Giải:
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: (-2 + 5)/2 = 3/2 = 1.5.
1. Bài tập nâng cao:
2. Liên hệ thực tế:
Kiến thức về đoạn thẳng và trung điểm của đoạn thẳng được ứng dụng rộng rãi trong thực tế, ví dụ như trong việc đo đạc, xây dựng, thiết kế, và nhiều lĩnh vực khác.
Qua bài học này, chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu về đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng và cách áp dụng vào giải các bài tập cơ bản. Hy vọng rằng bài học này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong việc học Toán 6. Chúc các em học tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
