Dạng bài tập về dãy phân số viết theo quy luật là một phần quan trọng trong chương trình Toán 6, đặc biệt trong giai đoạn ôn hè. Nắm vững kiến thức về dãy số, quy luật và cách xác định số hạng tổng quát sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác.
Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp các bài giảng chi tiết, bài tập đa dạng và phương pháp giải bài tập hiệu quả để giúp học sinh tự tin chinh phục dạng toán này.
Phát hiện quy luật của dãy số
Phát hiện quy luật của dãy số
Dạng tổng quát: \(\dfrac{k}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{{n - \left( {n - k} \right)}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{n}{{\left( {n - k} \right).n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\)
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Bài 1:
Tính:
a) A = \(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Bài 2:
Tính các tổng sau:
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\)
Bài 3:
a) Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 1:
Tính:
a) A = \(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
b) b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Phương pháp
Nhận xét: Tử số bằng hiệu của các thừa số ở mẫu.
Dạng tổng quát: \(\dfrac{k}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{{n - \left( {n - k} \right)}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{n}{{\left( {n - k} \right).n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\)
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Lời giải
\(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ = 2017:\left( {1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2018}}} \right)}\\{ = 2017:\left( {1 - \dfrac{1}{{2018}}} \right)}\\{ = 2017:\dfrac{{2017}}{{2018}}}\\{ = 2017.\dfrac{{2018}}{{2017}} = 2018.}\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{{ - 2}}{3}\)
b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{5 - 2}}{{2.5}} + \dfrac{{8 - 5}}{{5.8}} + \dfrac{{11 - 8}}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019 - 2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{5}{{2.5}} - \dfrac{2}{{2.5}} + \dfrac{8}{{5.8}} - \dfrac{5}{{5.8}} + \dfrac{{11}}{{8.11}} - \dfrac{8}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019}}{{2016.2019}} - \dfrac{{2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{{11}} + \ldots + \dfrac{1}{{2016}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{{2019 - 2}}{{2.2019}}\\\, = \dfrac{{2017}}{{4038}}.\end{array}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
Xét từng phân số ta thấy: Hiệu 2 thừa số ở mẫu bằng \(6\) \( \Rightarrow \) Nhân cả 2 vế của biểu thức với \(3\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3C = 3 \cdot \left( {\dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{6}{{1.7}} + \dfrac{6}{{7.13}} + \dfrac{6}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{6}{{2013.2019}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{7}} \right) + \left( {\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{13}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{13}} - \dfrac{1}{{19}}} \right) + \ldots + \left( {\dfrac{1}{{2013}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{13}} - \dfrac{1}{{19}} + \ldots + \dfrac{1}{{2013}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{{2019}} = \dfrac{{2018}}{{2019}}\end{array}\)
\( \Rightarrow 3C = \dfrac{{2018}}{{2019}} \Rightarrow C = \dfrac{{2018}}{{2019}}:3 = \dfrac{{2018}}{{2019}} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{{2018}}{{6057}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow D = 7 \cdot \dfrac{8}{8} \cdot \left( {\dfrac{1}{{1.9}} + \dfrac{1}{{9.17}} + \dfrac{1}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{1}{{2011.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {\dfrac{8}{{1.9}} + \dfrac{8}{{9.17}} + \dfrac{8}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{8}{{2011.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{{17}} + \dfrac{1}{{17}} - \dfrac{1}{{25}} + \ldots + \dfrac{1}{{2011}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{{2019}}} \right) = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {\dfrac{{2019}}{{2019}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{{2018}}{{2019}} = \dfrac{{7.1009}}{{4.2019}} = \dfrac{{7063}}{{8076}}\end{array}\)
Vậy \(D = \dfrac{{7063}}{{8076}}.\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{3.3}}{{1.4}} + \dfrac{{3.3}}{{4.7}} + \dfrac{{3.3}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{3.3}}{{2017.2020}}\\ = 3 \cdot \left( {\dfrac{3}{{1.4}} + \dfrac{3}{{4.7}} + \dfrac{3}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{3}{{2017.2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{10}} + \ldots + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{{2020}}} \right) = 3 \cdot \left( {\dfrac{{2020}}{{2020}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \dfrac{{2019}}{{2020}} = \dfrac{{6057}}{{2020}}\end{array}\)
Vậy \(E = \dfrac{{6057}}{{2020}} \cdot \)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Ta xét:
\(\dfrac{2}{{1.2.3}} = \dfrac{{3 - 1}}{{1.2.3}} = \dfrac{3}{{1.2.3}} - \dfrac{1}{{1.2.3}} = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}}\)
\(\dfrac{2}{{2.3.4}} = \dfrac{{4 - 2}}{{2.3.4}} = \dfrac{4}{{2.3.4}} - \dfrac{2}{{2.3.4}} = \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}}\)
\(........\)
\(\dfrac{2}{{18.19.20}} = \dfrac{{20 - 18}}{{18.19.20}}\)\( = \dfrac{{20}}{{18.19.20}} - \dfrac{{18}}{{18.19.20}}\)\( = \dfrac{1}{{18.19}} - \dfrac{1}{{19.20}}\)
Tổng quát: \(\dfrac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{2}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
\( \Rightarrow F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
\( \Rightarrow 2F = \dfrac{2}{{1.2.3}} + \dfrac{2}{{2.3.4}} + \dfrac{2}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{2}{{18.19.20}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}} + \dfrac{1}{{3.4}} - \dfrac{1}{{4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19}} - \dfrac{1}{{19.20}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{19.20}} = \dfrac{{19.10 - 1}}{{19.20}} = \dfrac{{190 - 1}}{{380}} = \dfrac{{189}}{{380}}\)
\( \Rightarrow F = \dfrac{{189}}{{380}}:2 = \dfrac{{189}}{{380}} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{189}}{{760}}\)
Vậy \(F = \dfrac{{189}}{{760}} \cdot \)
Bài 2:
Tính các tổng sau:
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\)
Phương pháp
Xét các phân số có tử bằng nhau và có mẫu là lũy thừa tăng dần của cùng 1 cơ số thì ta nhân cả 2 vế với đúng cơ số đó. Trường hợp tổng quát:
\(A = \dfrac{1}{{{a^1}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^n}}}\)\( \Rightarrow A.a = a\left( {\dfrac{1}{{{a^1}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^n}}}} \right)\)\( = 1 + \dfrac{1}{a} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^{n - 1}}}}\)
Lời giải
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A = 2 \cdot \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow 2A = 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^2}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^3}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A - A = \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{{2^2}}} - \dfrac{1}{{{2^3}}} - \dfrac{1}{{{2^4}}} - \ldots - \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow A = 1 - \dfrac{1}{{{2^{2020}}}} = \dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{{2^{2020}}}}\)
Vậy \(A = \dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{{2^{2020}}}}\).
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\) \( = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 2 \cdot \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow 2B = 2.1 + 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^2}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^3}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{10}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 3 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{10}}}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B - B = 2 - \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)\( \Rightarrow B = \dfrac{{{2^{12}} - 1}}{{{2^{11}}}}\);
Vậy \(B = \dfrac{{{2^{12}} - 1}}{{{2^{11}}}} \cdot \)
Bài 3:
a) Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Phương pháp
+) Áp dụng quy tắc dấu ngoặc, nhóm các hạng tử.
+) Áp dụng công thức tính tổng của 1 dãy các số tự nhiên liên tiếp: \(1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{{n + 1}}{2} \cdot n = \dfrac{{n.\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Lời giải
a) \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + \ldots + 1 + 2 + 3 + \ldots 2020}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {1 + 1 + 1 + \ldots + 1} \right) + \left( {2 + 2 + \ldots 2} \right) + \left( {3 + 3 + 3 + 3 \ldots } \right) + \ldots + 2020}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\, = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = 1\end{array}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Với biểu thức \(B\), xét tử số ta có:
\(\,\,\,\,1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1\)
\( = 1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)\)
\( = \dfrac{{0 + 1}}{2} \cdot 2 + \dfrac{{1 + 2}}{2} \cdot 2 + \dfrac{{1 + 3}}{2} \cdot 3 + \ldots + \dfrac{{1 + 2020}}{2} \cdot 2020\)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot 2 + \dfrac{3}{2} \cdot 2 + \dfrac{4}{2} \cdot 3 + \ldots + \dfrac{{2021}}{2} \cdot 2020\)
\( = \dfrac{{1.2}}{2} + \dfrac{{2.3}}{2} + \dfrac{{3.4}}{2} + \ldots + \dfrac{{2020.2021}}{2}\)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}} = \dfrac{1}{2}.\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{2} \cdot \)
Phát hiện quy luật của dãy số
Dạng tổng quát: \(\dfrac{k}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{{n - \left( {n - k} \right)}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{n}{{\left( {n - k} \right).n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\)
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Bài 1:
Tính:
a) A = \(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Bài 2:
Tính các tổng sau:
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\)
Bài 3:
a) Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 1:
Tính:
a) A = \(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
b) b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Phương pháp
Nhận xét: Tử số bằng hiệu của các thừa số ở mẫu.
Dạng tổng quát: \(\dfrac{k}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{{n - \left( {n - k} \right)}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{n}{{\left( {n - k} \right).n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\)
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Lời giải
\(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ = 2017:\left( {1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2018}}} \right)}\\{ = 2017:\left( {1 - \dfrac{1}{{2018}}} \right)}\\{ = 2017:\dfrac{{2017}}{{2018}}}\\{ = 2017.\dfrac{{2018}}{{2017}} = 2018.}\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{{ - 2}}{3}\)
b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{5 - 2}}{{2.5}} + \dfrac{{8 - 5}}{{5.8}} + \dfrac{{11 - 8}}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019 - 2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{5}{{2.5}} - \dfrac{2}{{2.5}} + \dfrac{8}{{5.8}} - \dfrac{5}{{5.8}} + \dfrac{{11}}{{8.11}} - \dfrac{8}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019}}{{2016.2019}} - \dfrac{{2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{{11}} + \ldots + \dfrac{1}{{2016}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{{2019 - 2}}{{2.2019}}\\\, = \dfrac{{2017}}{{4038}}.\end{array}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
Xét từng phân số ta thấy: Hiệu 2 thừa số ở mẫu bằng \(6\) \( \Rightarrow \) Nhân cả 2 vế của biểu thức với \(3\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3C = 3 \cdot \left( {\dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{6}{{1.7}} + \dfrac{6}{{7.13}} + \dfrac{6}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{6}{{2013.2019}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{7}} \right) + \left( {\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{13}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{13}} - \dfrac{1}{{19}}} \right) + \ldots + \left( {\dfrac{1}{{2013}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{13}} - \dfrac{1}{{19}} + \ldots + \dfrac{1}{{2013}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{{2019}} = \dfrac{{2018}}{{2019}}\end{array}\)
\( \Rightarrow 3C = \dfrac{{2018}}{{2019}} \Rightarrow C = \dfrac{{2018}}{{2019}}:3 = \dfrac{{2018}}{{2019}} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{{2018}}{{6057}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow D = 7 \cdot \dfrac{8}{8} \cdot \left( {\dfrac{1}{{1.9}} + \dfrac{1}{{9.17}} + \dfrac{1}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{1}{{2011.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {\dfrac{8}{{1.9}} + \dfrac{8}{{9.17}} + \dfrac{8}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{8}{{2011.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{{17}} + \dfrac{1}{{17}} - \dfrac{1}{{25}} + \ldots + \dfrac{1}{{2011}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{{2019}}} \right) = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {\dfrac{{2019}}{{2019}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{{2018}}{{2019}} = \dfrac{{7.1009}}{{4.2019}} = \dfrac{{7063}}{{8076}}\end{array}\)
Vậy \(D = \dfrac{{7063}}{{8076}}.\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{3.3}}{{1.4}} + \dfrac{{3.3}}{{4.7}} + \dfrac{{3.3}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{3.3}}{{2017.2020}}\\ = 3 \cdot \left( {\dfrac{3}{{1.4}} + \dfrac{3}{{4.7}} + \dfrac{3}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{3}{{2017.2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{10}} + \ldots + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{{2020}}} \right) = 3 \cdot \left( {\dfrac{{2020}}{{2020}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \dfrac{{2019}}{{2020}} = \dfrac{{6057}}{{2020}}\end{array}\)
Vậy \(E = \dfrac{{6057}}{{2020}} \cdot \)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Ta xét:
\(\dfrac{2}{{1.2.3}} = \dfrac{{3 - 1}}{{1.2.3}} = \dfrac{3}{{1.2.3}} - \dfrac{1}{{1.2.3}} = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}}\)
\(\dfrac{2}{{2.3.4}} = \dfrac{{4 - 2}}{{2.3.4}} = \dfrac{4}{{2.3.4}} - \dfrac{2}{{2.3.4}} = \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}}\)
\(........\)
\(\dfrac{2}{{18.19.20}} = \dfrac{{20 - 18}}{{18.19.20}}\)\( = \dfrac{{20}}{{18.19.20}} - \dfrac{{18}}{{18.19.20}}\)\( = \dfrac{1}{{18.19}} - \dfrac{1}{{19.20}}\)
Tổng quát: \(\dfrac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{2}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
\( \Rightarrow F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
\( \Rightarrow 2F = \dfrac{2}{{1.2.3}} + \dfrac{2}{{2.3.4}} + \dfrac{2}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{2}{{18.19.20}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}} + \dfrac{1}{{3.4}} - \dfrac{1}{{4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19}} - \dfrac{1}{{19.20}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{19.20}} = \dfrac{{19.10 - 1}}{{19.20}} = \dfrac{{190 - 1}}{{380}} = \dfrac{{189}}{{380}}\)
\( \Rightarrow F = \dfrac{{189}}{{380}}:2 = \dfrac{{189}}{{380}} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{189}}{{760}}\)
Vậy \(F = \dfrac{{189}}{{760}} \cdot \)
Bài 2:
Tính các tổng sau:
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\)
Phương pháp
Xét các phân số có tử bằng nhau và có mẫu là lũy thừa tăng dần của cùng 1 cơ số thì ta nhân cả 2 vế với đúng cơ số đó. Trường hợp tổng quát:
\(A = \dfrac{1}{{{a^1}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^n}}}\)\( \Rightarrow A.a = a\left( {\dfrac{1}{{{a^1}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^n}}}} \right)\)\( = 1 + \dfrac{1}{a} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^{n - 1}}}}\)
Lời giải
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A = 2 \cdot \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow 2A = 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^2}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^3}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A - A = \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{{2^2}}} - \dfrac{1}{{{2^3}}} - \dfrac{1}{{{2^4}}} - \ldots - \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow A = 1 - \dfrac{1}{{{2^{2020}}}} = \dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{{2^{2020}}}}\)
Vậy \(A = \dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{{2^{2020}}}}\).
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\) \( = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 2 \cdot \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow 2B = 2.1 + 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^2}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^3}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{10}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 3 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{10}}}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B - B = 2 - \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)\( \Rightarrow B = \dfrac{{{2^{12}} - 1}}{{{2^{11}}}}\);
Vậy \(B = \dfrac{{{2^{12}} - 1}}{{{2^{11}}}} \cdot \)
Bài 3:
a) Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Phương pháp
+) Áp dụng quy tắc dấu ngoặc, nhóm các hạng tử.
+) Áp dụng công thức tính tổng của 1 dãy các số tự nhiên liên tiếp: \(1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{{n + 1}}{2} \cdot n = \dfrac{{n.\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Lời giải
a) \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + \ldots + 1 + 2 + 3 + \ldots 2020}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {1 + 1 + 1 + \ldots + 1} \right) + \left( {2 + 2 + \ldots 2} \right) + \left( {3 + 3 + 3 + 3 \ldots } \right) + \ldots + 2020}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\, = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = 1\end{array}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Với biểu thức \(B\), xét tử số ta có:
\(\,\,\,\,1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1\)
\( = 1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)\)
\( = \dfrac{{0 + 1}}{2} \cdot 2 + \dfrac{{1 + 2}}{2} \cdot 2 + \dfrac{{1 + 3}}{2} \cdot 3 + \ldots + \dfrac{{1 + 2020}}{2} \cdot 2020\)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot 2 + \dfrac{3}{2} \cdot 2 + \dfrac{4}{2} \cdot 3 + \ldots + \dfrac{{2021}}{2} \cdot 2020\)
\( = \dfrac{{1.2}}{2} + \dfrac{{2.3}}{2} + \dfrac{{3.4}}{2} + \ldots + \dfrac{{2020.2021}}{2}\)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}} = \dfrac{1}{2}.\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{2} \cdot \)
Dãy phân số viết theo quy luật là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 6, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm về dãy số, quy luật và cách xác định số hạng tổng quát. Việc hiểu rõ bản chất của các quy luật khác nhau sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.
Một dãy phân số được gọi là dãy số nếu các số hạng của nó được sắp xếp theo một thứ tự nhất định và tuân theo một quy luật nào đó. Quy luật này có thể là cộng, trừ, nhân, chia hoặc một quy luật phức tạp hơn.
Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 5 của dãy phân số: 1/3, 2/3, 3/3, 4/3,...
Giải:
Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 10 của dãy phân số: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,...
Giải:
Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với dạng bài tập về dãy phân số viết theo quy luật trong kỳ thi Toán 6. Chúc các em học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
