Chương VIII. Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu song song

Chương VIII: Quan hệ vuông góc trong không gian - SGK Toán 11 Cánh Diều

Chương VIII trong sách giáo khoa Toán 11 tập 2 - Cánh Diều tập trung vào việc nghiên cứu các khái niệm cơ bản về quan hệ vuông góc trong không gian và phép chiếu song song. Đây là một phần quan trọng của chương trình Hình học không gian, giúp học sinh phát triển tư duy không gian và khả năng giải quyết các bài toán thực tế.

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một trong những khái niệm quan trọng nhất trong chương này là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta có thể sử dụng các định lý sau:

• Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
• Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng khác thì mặt phẳng đó vuông góc với đường thẳng đó.

2. Hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90 độ. Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta có thể sử dụng các định lý sau:

• Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc.
• Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng công thức sau:

sin(α) = d(A, (P)) / AA'

Trong đó:

• α là góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (P).
• d(A, (P)) là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
• AA' là độ dài của đường thẳng AA'.

4. Phép chiếu song song

Phép chiếu song song là một phép biến hình biến mỗi điểm của hình (H) thành điểm của hình (H') nằm trên một mặt phẳng sao cho các đường thẳng nối các điểm tương ứng song song với một đường thẳng cho trước.

Phép chiếu song song có các tính chất sau:

• Bảo toàn tính thẳng hàng của các điểm.
• Bảo toàn tỷ số độ dài của các đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng.
• Biến đường tròn thành elip.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD. Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC và SA ⊥ BD. Suy ra SC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD). Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCO.

Ta có: OC = AC/2 = (a√2)/2 = a/√2. Trong tam giác vuông SAC, ta có: SC = √(SA² + AC²) = √(a² + (a√2)²) = a√3.

sin(SCO) = SO/SC = (a√2)/(a√3) = √2/√3 = √(6)/3. Suy ra SCO = arcsin(√(6)/3).

Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo đường thẳng d. Trên (P) lấy điểm A, trên (Q) lấy điểm B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA = MB.

Lời giải:

Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Gọi A' là hình chiếu của A lên (Q) và B' là hình chiếu của B lên (P). Khi đó, AA' ⊥ (Q) và BB' ⊥ (P). Do (P) ⊥ (Q) theo d nên AA' song song với BB'.

Tập hợp các điểm M sao cho MA = MB là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Mặt phẳng này chứa đường thẳng d và vuông góc với cả (P) và (Q).

Hy vọng những kiến thức và bài tập minh họa trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Chương VIII: Quan hệ vuông góc trong không gian - SGK Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!