Chào mừng các em học sinh đến với bài kiểm tra năng lực Toán học, Đề số 1 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán. Đây là một trong những đề thi thử quan trọng, được thiết kế để giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi chính thức và đánh giá khả năng giải quyết bài toán.
Đề thi này bao gồm các dạng bài tập đa dạng, từ đại số đến hình học, giúp các em ôn luyện toàn diện kiến thức đã học.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán - Đề số 1 có đáp án và lời giải chi tiết
Đề bài
Bài 1 (1,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức \(A = {\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)^2} + \sqrt {40} \)
2) Rút gọn biểu thức \(B = \left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 1\)
Tính giá trị của B khi \(x = 12 + 8\sqrt 2 \)
Bài 2 (1,5 điểm)
Cho Parabol \(\left( P \right):\;\;y = - {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = 2\sqrt 3 x + m + 1\) (m là tham số).
1) Vẽ đồ thị hàm số (P).
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Bài 3(2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}9x + y = 11\\5x + 2y = 9\end{array} \right.\)
2) Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 3m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\), (m là tham số)
a. Giải phương trình (1) khi m = 3.
b. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 (1,5 điểm)
Một người dự định đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 90 km trong một thời gian đã định. Sau khi đi được 1 giờ, người đó nghỉ 9 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hẹn, người ấy phải tăng vận tốc thêm 4 km/h. Tính vận tốc lúc đấy của người đó.
Bài 5 (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính \(R = 3cm\). Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại D.
1) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp đường tròn.
2) Gọi M là giao điểm của BC và OD. Biết \(OD = 5cm\). Tính diện tích của tam giác BCD.
3) Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh \(AB.AP = AQ.AC\)
4) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC.
Lời giải chi tiết
Bài 1.
\(\begin{array}{l}1)\,\,A = {\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)^2} + \sqrt {40} \\\,\,\,\,\,\;\;\; = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 2\sqrt 5 .\sqrt 2 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + \sqrt {{2^2}.10} \\\,\,\,\,\,\;\;\; = 5 - 2\sqrt {10} + 2 + 2\sqrt {10} \\\,\,\,\,\,\;\;\; = 7.\\2)\,\,B = \left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\,\,\,\left( {x > 0,\,\,x \ne 1} \right)\\\;\;\;\;\;\;\; = \left( {\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\\\;\;\;\;\;\;\; = \left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right).\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\\\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\\\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt x - 1\,\,\end{array}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}x = 12 + 8\sqrt 2 = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + 2.2\sqrt 2 .2 + {2^2} = {\left( {2\sqrt 2 + 2} \right)^2}\\ \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 + 2} \right)}^2}} = \left| {2\sqrt 2 + 2} \right| = 2\sqrt 2 + 2\\\left( {Do\,\,2\sqrt 2 + 2 > 0} \right)\end{array}\)
Thay \(\sqrt x = 2\sqrt 2 + 2\) vào B ta có \(B = \sqrt x - 1 = 2\sqrt 2 + 2 - 1 = 2\sqrt 2 + 1\).
Vậy khi \(x = 12 + 8\sqrt 2 \) thì \(B = 2\sqrt 2 + 1\)
Bài 2:
1) Vẽ đồ thị hàm số \(\left( P \right):\;\;y = - {x^2}\):
Ta có bảng giá trị:
\(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
\(\;y = - {x^2}\) | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 |
Đồ thị hàm số:
2) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \( - {x^2} = 2\sqrt 3 x + m + 1\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2\sqrt 3 x + m + 1 = 0\;\;\;\left( * \right)\)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - m - 1 > 0\\ \Leftrightarrow 2 - m > 0\\ \Leftrightarrow m < 2.\end{array}\)
Vậy với \(m < 2\) thì đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Bài 3
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}9x + y = 11\\5x + 2y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\5x + 2y = 9\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\5x + 2\left( {11 - 9x} \right) = 9\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\5x + 22 - 18x - 9 = 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\)
1) Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 3m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\), ( m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 3.
Với m = 3 ta có (1) trở thành:
\({x^2} - 10x + 16 = 0\,\,\left( 2 \right)\)
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 16 = 9 > 0\)
Khi đó phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt là:
\(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 5 - 3 = 2\\{x_2} = 5 + 3 = 8\end{array} \right.\)
Vậy với m = 3 thì phương trình (1) có tập nghiệm là: \(S = \left\{ {2;8} \right\}\)
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
+) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi \(\Delta ' > 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} + 3m - 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - {m^2} - 3m + 2 > 0\\ \Leftrightarrow m > - 6\end{array}\)
+) Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 2} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m - 2\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\\\,\,\,\,\, = 2018 + 3{x_1}{x_2} - \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\\\,\,\,\,\, = 2018 + 5{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\end{array}\)
Thay Viet vào A ta được:
\(\begin{array}{l}A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\\ = 2018 + 5\left( {{m^2} + 3m - 2} \right) - 4{\left( {m + 2} \right)^2}\\ = 2018 + 5{m^2} + 15m - 10 - 4{m^2} - 16m - 16\\ = {m^2} - m + 1992\\ = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{7967}}{4}\,\,\,\,\,\end{array}\)
Ta có: \(A \ge \dfrac{{7967}}{4}\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(m = \dfrac{1}{2}\left( {tm} \right)\)
Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 4:
Gọi vận tốc ban đầu của người đó là \(x\;\;\left( {km/h} \right),\;\;\left( {x > 0} \right).\)
Thời gian dự định người đó đi hết quãn đường là: \(\dfrac{{90}}{x}\;\;\left( h \right).\)
Quãng đường người đó đi được sau 1 giờ là: \(x\;\;\left( {km} \right).\)
Quãng đường còn lại người đó phải tăng tốc là: \(90 - x\;\;\left( {km} \right).\)
Vận tốc của người đó sau khi tăng tốc là: \(x + 4\;\;\left( {km/h} \right),\) thời gian người đó đi hết quãng đường còn lại là: \(\dfrac{{90 - x}}{{x + 4}}\;\;\left( h \right).\)
Theo đề bài ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{90}}{x} = 1 + \dfrac{9}{{60}} + \dfrac{{90 - x}}{{x + 4}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{90}}{x} = \dfrac{{23}}{{20}} + \dfrac{{90 - x}}{{x + 4}}\\ \Leftrightarrow 90.20\left( {x + 4} \right) = 23x\left( {x + 4} \right) + 20.\left( {90 - x} \right).x\\ \Leftrightarrow 1800x + 7200 = 23{x^2} + 92x + 1800x - 20{x^2}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 92x - 7200 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 36} \right)\left( {3x + 200} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 36 = 0\\3x + 200 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 36\;\;\left( {tm} \right)\\x = - \dfrac{{200}}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy vận tốc lúc đầu của người đó là \(36\;km/h.\)
Bài 5.
1) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp đường tròn.
Do DB, DC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) \( \Rightarrow \widehat {OBD} = \widehat {OCD} = {90^0}\)
Xét tứ giác OBDC có \(\widehat {OBD} + \widehat {OCD} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) \( \Rightarrow \) tứ giác OBDC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)
2) Gọi M là giao điểm của BC và OD. Biết \(OD = 5cm\). Tính diện tích của tam giác BCD.
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OBD có \(BD = \sqrt {O{D^2} - O{B^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\,\,\left( {cm} \right)\)
Ta có \(OB = OC = R;\,\,DB = DC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow O;\,\,D\) thuộc trung trực của BC \( \Rightarrow OD\) là trung trực của BC \( \Rightarrow OD \bot BC\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBD có:
\(DM.DO = D{B^2} \) \(\Rightarrow DM = \dfrac{{D{B^2}}}{{DO}} = \dfrac{{{4^2}}}{5} = \dfrac{{16}}{5}\,\,\left( {cm} \right)\)
\(BM.OD = OB.BD\) \( \Rightarrow BM = \dfrac{{OB.BD}}{{OD}} = \dfrac{{3.4}}{5} = \dfrac{{12}}{5}\,\,\left( {cm} \right)\)
Vậy \({S_{\Delta DBC}} = \dfrac{1}{2}DM.BC = DM.BM \)\(\,= \dfrac{{16}}{5}.\dfrac{{12}}{5} = \dfrac{{192}}{{25}} = 7,68\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
3) Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh \(AB.AP = AQ.AC\)
Ta có \(\widehat {APQ} = \widehat {xAB}\) ( 2 góc so le trong do đường thẳng Ax // PQ)
Mà \(\widehat {xAB} = \widehat {ACB}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB của (O)).
\( \Rightarrow \widehat {APQ} = \widehat {ACB}\)
Xét tam giác ABC và tam giác AQP có:
\(\widehat {PAQ}\) chung;
\(\widehat {APQ} = \widehat {ACB}\,\,\left( {\,cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta AQP\,\,\left( {g.g} \right) \)
\(\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AQ}} = \dfrac{{AC}}{{AP}} \)
\(\Rightarrow AB.AP = AC.AQ\)
4) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC.
Kéo dài BD cắt D tại F.
Ta có \(\widehat {DBP} = \widehat {ABF}\) (đối đỉnh)
Mà \(\widehat {ABF} = \widehat {ACB}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)
\(\widehat {ACB} = \widehat {APD}\) (do )
\( \Rightarrow \widehat {DBP} = \widehat {APD} = \widehat {BPD} \Rightarrow \Delta DBP\) cân tại D \( \Rightarrow DB = DP\)
Tương tự kéo dài DC cắt d tại G, ta chứng minh được \(\widehat {DCQ} = \widehat {ACG} = \widehat {ABC} = \widehat {DQC} \Rightarrow \Delta DCQ\) cân tại D \( \Rightarrow DC = DQ\)
Lại có \(DB = DC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow DP = DQ \Rightarrow D\) là trung điểm của PQ.
Ta có: \(\Delta ABC \sim \Delta AQP\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AQ}} = \dfrac{{AC}}{{AP}} = \dfrac{{BC}}{{PQ}} = \dfrac{{2MC}}{{2PD}} \)
\(\Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AP}} = \dfrac{{MC}}{{PD}}\)
Xét tam giác \(AMC\) và tam giác \(ADP\) có
\(\widehat {ACM} = \widehat {APD}\,\,\left( {\widehat {ACB} = \widehat {APQ}\,\,\left( {cmt} \right)} \right)\)
\(\dfrac{{AC}}{{AP}} = \dfrac{{MC}}{{PD}}\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta AMC \sim \Delta ADP\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
\(\Rightarrow \widehat {PAD} = \widehat {MAC}\,\,\left( {dpcm} \right)\)
Kỳ thi vào lớp 10 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của mỗi học sinh. Để đạt được kết quả tốt nhất, việc luyện tập thường xuyên với các đề thi thử là vô cùng cần thiết. Đề số 1 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán tại toan11.edu.vn được xây dựng với mục tiêu cung cấp một công cụ ôn tập hiệu quả, giúp học sinh tự tin bước vào kỳ thi.
Đề thi này bao gồm các dạng bài tập thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, được phân bố theo các chủ đề chính:
Phương trình bậc hai là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình đại số lớp 9. Để giải một phương trình bậc hai, học sinh cần nắm vững các công thức nghiệm và các phương pháp giải khác nhau, chẳng hạn như phương pháp phân tích thành nhân tử, phương pháp sử dụng công thức nghiệm tổng quát, và phương pháp hoàn thiện bình phương.
Ví dụ: Giải phương trình 2x2 - 5x + 2 = 0.
Ta có thể phân tích phương trình thành (2x - 1)(x - 2) = 0. Từ đó, ta tìm được hai nghiệm x = 1/2 và x = 2.
Tam giác đồng dạng là một khái niệm quan trọng trong chương trình hình học lớp 9. Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, học sinh cần nắm vững các trường hợp đồng dạng của tam giác, chẳng hạn như trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (ccc), trường hợp góc - cạnh - góc (gcg), và trường hợp cạnh - góc - cạnh (cgc).
Ví dụ: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' có góc A = góc A', cạnh AB = cạnh A'B', và cạnh AC = cạnh A'C'. Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C'.
Theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (cgc), ta có thể kết luận rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C'.
Luyện tập thường xuyên với các đề thi thử là một trong những yếu tố quan trọng nhất để đạt được kết quả tốt trong kỳ thi vào lớp 10. Việc luyện tập giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải bài, và tự tin hơn khi bước vào phòng thi.
Đề số 1 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán tại toan11.edu.vn là một công cụ hữu ích giúp học sinh ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi quan trọng này. Hãy luyện tập chăm chỉ và tự tin đạt được kết quả tốt nhất!
| Chủ đề | Mức độ khó | Số lượng câu hỏi |
|---|---|---|
| Đại số | Trung bình | 10 |
| Hình học | Khó | 8 |
| Số học | Dễ | 5 |
| Tổng cộng: 23 câu hỏi | ||
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
