toan11.edu.vn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Hà Tĩnh năm 2020 chính thức. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Bộ đề thi này được biên soạn dựa trên đề thi chính thức của kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên và không chuyên tại Hà Tĩnh năm 2020, đảm bảo tính chính xác và độ tin cậy cao.
Câu 1 (2 điểm): Rút gọn các biểu thức sau:
Câu 1 (2 điểm):
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(P = \left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)
b) \(Q = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt x }} + 1} \right)\) với \(x > 0\)
Câu 2 (2,5 điểm):
a) Giải phương trình \({x^4} + 5{x^2} - 36 = 0\)
b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {a - 1} \right)x + b\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) và song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x - 1.\) Tìm các số \(a\) và \(b\).
Câu 3 (1,5 điểm):
Trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm. Trong quý II, số sản phẩm tổ A tăng thêm 10%, tổ B tăng thêm 14% so với quý I, do đó cả hai tổ sản xuất được 681 sản phẩm. Hỏi trong quý I, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Câu 4 (1 điểm):
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\)(\(H\)thuộc \(BC\)). Biết độ dài đoạn \(AB\) bằng \(5cm\), đoạn \(BH\) bằng \(3cm\). Tính độ dài các cạnh \(AC\) và \(BC\).
Câu 5 (2 điểm):
Cho đường tròn tâm O, đường kính MN, điểm I thay đổi trên đoạn OM (I khác M). Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt (O) tại P và Q. Trên tia đối của tia NM lấy điểm S cố định. Đoạn PS cắt (O) tại E, gọi H là giao điểm của EQ và MN.
a) Chứng minh tam giác SPN và tam giác SME đồng dạng.
b) Chứng minh độ dài OH không phụ thuộc vào vị trí điểm I.
Câu 6 (1 điểm):
Cho \(a,\,\,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(a\left( {2a - 1} \right) + b\left( {2b - 1} \right) = 2ab.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(F = \dfrac{{{a^3} + 2020}}{b} + \dfrac{{{b^3} + 2020}}{a}.\)
Câu 1 - Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba
Phương pháp:
a) Đặt nhân tử chung, rút gọn biểu thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu các phân thức, rút gọn biểu thức đã cho.
Cách giải:
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(P = \left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\ = \left( {\dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\ = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\ = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - {1^2}\\ = 2 - 1 = 1\end{array}\)
b) \(Q = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt x }} + 1} \right)\) với \(x > 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}Q = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt x }} + 1} \right)\\ = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}} \right).\left( {\dfrac{{3 + \sqrt x }}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt x - \sqrt x - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 3}}{x}\end{array}\)
Vậy \(Q = - \dfrac{3}{x}\) với \(x > 0\).
Câu 2 - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số
Phương pháp:
a) Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình: \({t^2} + 5t - 36 = 0.\)
Giải phương trình tìm ẩn \(t.\) Đối chiếu với điều kiện để loại nghiệm rồi tìm \(x.\)
b) Hai đường thẳng \(d:\,\,\,y = {a_1}x + {b_1}\) và \(d':\,\,\,y = {a_2}x + {b_2}\) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right..\)
Thay tọa độ điểm \(M\) vào công thức hàm số \(d\).
Từ đó giải hệ phương trình tìm \(a,\,\,b.\)
Cách giải:
a) Giải phương trình \({x^4} + 5{x^2} - 36 = 0\)
Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}{t^2} + 5t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 9t - 4t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 9} \right) - 4\left( {t + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 4} \right)\left( {t + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 4 = 0\\t + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 9\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(t = 4 \Rightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 2;x = - 2.\)
b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {a - 1} \right)x + b\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) và song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x - 1.\) Tìm các số \(a\) và \(b\).
Vì hai đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) song song với nhau nên \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 3\\b \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b \ne - 1\end{array} \right.\)
Suy ra đường thẳng \(\left( d \right):y = 3x + b\) \(\left( {b \ne - 1} \right)\)
Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) nên thay \(x = - 1;y = - 2\) vào hàm số \(y = 3x + b\) ta được:
\( - 2 = 3.\left( { - 1} \right) + b \Leftrightarrow b = 1\) (thỏa mãn)
Vậy \(a = 4;b = 1.\)
Câu 3 - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Phương pháp:
Gọi số sản phẩm tổ A và tổ B sản xuất được trong quý I lần lượt là \(x;y\) (sản phẩm) \(\left( {0 < x;y < 610} \right)\)
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn \(x,\,\,y\) vừa gọi rồi giải hệ phương trình.
Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Cách giải:
Trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm. Trong quý II, số sản phẩm tổ A tăng thêm 10%, tổ B tăng thêm 14% so với quý I, do đó cả hai tổ sản xuất được 681 sản phẩm. Hỏi trong quý I, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Gọi số sản phẩm tổ A và tổ B sản xuất được trong quý I lần lượt là \(x;y\) (sản phẩm) \(\left( {0 < x;y < 610} \right)\)
Vì trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm nên ta có phương trình \(x + y = 610\) (sản phẩm)
Trong quý II:
Tổ A tăng thêm 10% so với quý I nên tổ A sản xuất được \(\left( {1 + 10\% } \right)x = 1,1x\) sản phẩm
Tổ B tăng thêm 14% so với quý I nên tổ B sản xuất được \(\left( {1 + 14\% } \right)x = 1,14y\) sản phẩm
Và cả 2 tổ sản xuất được 681 sản phẩm nên ta có phương trình \(1,1x + 1,14y = 681\) (sản phẩm)
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 610\\1,1x + 1,14y = 681\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,1y = 671\\1,1x + 1,14y = 681\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,04y = 10\\x + y = 610\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 250\\250 + x = 610\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 250\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 360\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy trong quý I, tổ A sản xuất được 360 sản phẩm, tổ B sản xuất được 250 sản phẩm.
Câu 4 - Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Phương pháp:
Sử dụng định lý Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.
Cách giải:
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\)(\(H\)thuộc \(BC\)). Biết độ dài đoạn \(AB\) bằng \(5cm\), đoạn \(BH\) bằng \(3cm\). Tính độ dài các cạnh \(AC\) và \(BC\).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH,\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(A{B^2} = BH.BC \Leftrightarrow BC = \dfrac{{A{B^2}}}{{BH}} = \dfrac{{{5^2}}}{3} = \dfrac{{25}}{3}\) cm
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định lý Pytago ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {\left( {\dfrac{{25}}{3}} \right)^2} - {5^2} = \dfrac{{400}}{9}\\ \Rightarrow AC = \dfrac{{20}}{3}cm\end{array}\)
Vậy \(BC = \dfrac{{25}}{3}cm,AC = \dfrac{{20}}{3}cm.\)
Câu 5 - Ôn tập chương 3: Góc với đường tròn
Cách giải:
Cho đường tròn tâm O, đường kính MN, điểm I thay đổi trên đoạn OM (I khác M). Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt (O) tại P và Q. Trên tia đối của tia NM lấy điểm S cố định. Đoạn PS cắt (O) tại E, gọi H là giao điểm của EQ và MN.
a) Chứng minh tam giác SPN và tam giác SME đồng dạng.
Ta có: bốn điểm \(P,E,N,M\) cùng thuộc \(\left( O \right)\) nên tứ giác \(PENM\) nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle EPN = \angle EMN\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(EN\))
Xét \(\Delta SPN\) và \(\Delta SME\) có:
\(\angle S\) chung
\(\angle EPN = \angle EMS\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta SPN \sim \Delta SME\left( {g - g} \right)\) (đpcm)
b) Chứng minh độ dài OH không phụ thuộc vào vị trí điểm I.
Từ câu a, \(\Delta SPN \sim \Delta SME \Rightarrow \dfrac{{SP}}{{SM}} = \dfrac{{SN}}{{SE}}\) (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow SP.SE = SM.SN\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\angle PEH = \angle PEQ = \dfrac{1}{2}sdPQ = sdPM = \angle POM\)
\(\begin{array}{l}\angle PEH + \angle SEH = {180^0}\\\angle POM + \angle POS = {180^0}\\ \Rightarrow \angle SEH = \angle POS\end{array}\)
Xét \(\Delta SEH\) và \(\Delta SOP\) có:
\(\begin{array}{l}\angle SEH = \angle POS\left( {cmt} \right)\\\angle S\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta SEH \sim \Delta SOP\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SO}} = \dfrac{{SH}}{{SP}}\) (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow SE.SP = SO.SH\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(SO.SH = SM.SN\)\( \Rightarrow SH = \dfrac{{SM.SN}}{{SO}}\)
Mà \(S,M,N,O\) cố định nên \(SM,SN,SO\) không đổi
\( \Rightarrow SH\) không đổi
\( \Rightarrow OH = SO - SH\) không đổi.
Vậy độ dài \(OH\) không phụ thuộc vào vị trí điểm \(I\). (đpcm)
Câu 6 - Bất đẳng thức
Cách giải:
\(\begin{array}{l}a\left( {2a - 1} \right) + b\left( {2b - 1} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} - \left( {a + b} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \left( {a + b} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right) - \left( {a + b} \right) = 6ab\\ \Leftrightarrow 2{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) = 6ab \le 6.\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{3}{2}{\left( {a + b} \right)^2}\\ \Rightarrow 2{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) - \dfrac{3}{2}{\left( {a + b} \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le a + b \le 2\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}F = \dfrac{{{a^3} + 2020}}{b} + \dfrac{{{b^3} + 2020}}{a}\\ = \dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{2020}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{a} + \dfrac{{2020}}{a}\\ = \left( {\dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{a}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{{a^4}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^4}}}{{ab}}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\end{array}\)
Áp dụng các BĐT cơ bản \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\) và \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{{a^4}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^4}}}{{ab}}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{2ab}} + 2020.\dfrac{4}{{a + b}}\\ \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{8080}}{{a + b}} = {a^2} + {b^2} + \dfrac{{8080}}{{a + b}}\\ \ge \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} + \dfrac{{8080}}{{a + b}}\\ = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} + \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{{8072}}{{a + b}}\\ \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}.\dfrac{4}{{a + b}}.\dfrac{4}{{a + b}}}} + \dfrac{{8072}}{2} = 4042\\ \Rightarrow F \ge 4042\end{array}\)
\( \Rightarrow {F_{\min }} = 4042\) khi \(a = b = 1\).
Câu 1 (2 điểm):
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(P = \left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)
b) \(Q = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt x }} + 1} \right)\) với \(x > 0\)
Câu 2 (2,5 điểm):
a) Giải phương trình \({x^4} + 5{x^2} - 36 = 0\)
b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {a - 1} \right)x + b\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) và song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x - 1.\) Tìm các số \(a\) và \(b\).
Câu 3 (1,5 điểm):
Trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm. Trong quý II, số sản phẩm tổ A tăng thêm 10%, tổ B tăng thêm 14% so với quý I, do đó cả hai tổ sản xuất được 681 sản phẩm. Hỏi trong quý I, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Câu 4 (1 điểm):
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\)(\(H\)thuộc \(BC\)). Biết độ dài đoạn \(AB\) bằng \(5cm\), đoạn \(BH\) bằng \(3cm\). Tính độ dài các cạnh \(AC\) và \(BC\).
Câu 5 (2 điểm):
Cho đường tròn tâm O, đường kính MN, điểm I thay đổi trên đoạn OM (I khác M). Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt (O) tại P và Q. Trên tia đối của tia NM lấy điểm S cố định. Đoạn PS cắt (O) tại E, gọi H là giao điểm của EQ và MN.
a) Chứng minh tam giác SPN và tam giác SME đồng dạng.
b) Chứng minh độ dài OH không phụ thuộc vào vị trí điểm I.
Câu 6 (1 điểm):
Cho \(a,\,\,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(a\left( {2a - 1} \right) + b\left( {2b - 1} \right) = 2ab.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(F = \dfrac{{{a^3} + 2020}}{b} + \dfrac{{{b^3} + 2020}}{a}.\)
Câu 1 - Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba
Phương pháp:
a) Đặt nhân tử chung, rút gọn biểu thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu các phân thức, rút gọn biểu thức đã cho.
Cách giải:
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(P = \left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\ = \left( {\dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\ = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\ = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - {1^2}\\ = 2 - 1 = 1\end{array}\)
b) \(Q = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt x }} + 1} \right)\) với \(x > 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}Q = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt x }} + 1} \right)\\ = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}} \right).\left( {\dfrac{{3 + \sqrt x }}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt x - \sqrt x - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 3}}{x}\end{array}\)
Vậy \(Q = - \dfrac{3}{x}\) với \(x > 0\).
Câu 2 - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số
Phương pháp:
a) Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình: \({t^2} + 5t - 36 = 0.\)
Giải phương trình tìm ẩn \(t.\) Đối chiếu với điều kiện để loại nghiệm rồi tìm \(x.\)
b) Hai đường thẳng \(d:\,\,\,y = {a_1}x + {b_1}\) và \(d':\,\,\,y = {a_2}x + {b_2}\) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right..\)
Thay tọa độ điểm \(M\) vào công thức hàm số \(d\).
Từ đó giải hệ phương trình tìm \(a,\,\,b.\)
Cách giải:
a) Giải phương trình \({x^4} + 5{x^2} - 36 = 0\)
Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}{t^2} + 5t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 9t - 4t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 9} \right) - 4\left( {t + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 4} \right)\left( {t + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 4 = 0\\t + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 9\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(t = 4 \Rightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 2;x = - 2.\)
b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {a - 1} \right)x + b\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) và song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x - 1.\) Tìm các số \(a\) và \(b\).
Vì hai đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) song song với nhau nên \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 3\\b \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b \ne - 1\end{array} \right.\)
Suy ra đường thẳng \(\left( d \right):y = 3x + b\) \(\left( {b \ne - 1} \right)\)
Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) nên thay \(x = - 1;y = - 2\) vào hàm số \(y = 3x + b\) ta được:
\( - 2 = 3.\left( { - 1} \right) + b \Leftrightarrow b = 1\) (thỏa mãn)
Vậy \(a = 4;b = 1.\)
Câu 3 - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Phương pháp:
Gọi số sản phẩm tổ A và tổ B sản xuất được trong quý I lần lượt là \(x;y\) (sản phẩm) \(\left( {0 < x;y < 610} \right)\)
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn \(x,\,\,y\) vừa gọi rồi giải hệ phương trình.
Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Cách giải:
Trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm. Trong quý II, số sản phẩm tổ A tăng thêm 10%, tổ B tăng thêm 14% so với quý I, do đó cả hai tổ sản xuất được 681 sản phẩm. Hỏi trong quý I, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Gọi số sản phẩm tổ A và tổ B sản xuất được trong quý I lần lượt là \(x;y\) (sản phẩm) \(\left( {0 < x;y < 610} \right)\)
Vì trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm nên ta có phương trình \(x + y = 610\) (sản phẩm)
Trong quý II:
Tổ A tăng thêm 10% so với quý I nên tổ A sản xuất được \(\left( {1 + 10\% } \right)x = 1,1x\) sản phẩm
Tổ B tăng thêm 14% so với quý I nên tổ B sản xuất được \(\left( {1 + 14\% } \right)x = 1,14y\) sản phẩm
Và cả 2 tổ sản xuất được 681 sản phẩm nên ta có phương trình \(1,1x + 1,14y = 681\) (sản phẩm)
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 610\\1,1x + 1,14y = 681\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,1y = 671\\1,1x + 1,14y = 681\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,04y = 10\\x + y = 610\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 250\\250 + x = 610\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 250\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 360\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy trong quý I, tổ A sản xuất được 360 sản phẩm, tổ B sản xuất được 250 sản phẩm.
Câu 4 - Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Phương pháp:
Sử dụng định lý Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.
Cách giải:
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\)(\(H\)thuộc \(BC\)). Biết độ dài đoạn \(AB\) bằng \(5cm\), đoạn \(BH\) bằng \(3cm\). Tính độ dài các cạnh \(AC\) và \(BC\).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH,\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(A{B^2} = BH.BC \Leftrightarrow BC = \dfrac{{A{B^2}}}{{BH}} = \dfrac{{{5^2}}}{3} = \dfrac{{25}}{3}\) cm
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định lý Pytago ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {\left( {\dfrac{{25}}{3}} \right)^2} - {5^2} = \dfrac{{400}}{9}\\ \Rightarrow AC = \dfrac{{20}}{3}cm\end{array}\)
Vậy \(BC = \dfrac{{25}}{3}cm,AC = \dfrac{{20}}{3}cm.\)
Câu 5 - Ôn tập chương 3: Góc với đường tròn
Cách giải:
Cho đường tròn tâm O, đường kính MN, điểm I thay đổi trên đoạn OM (I khác M). Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt (O) tại P và Q. Trên tia đối của tia NM lấy điểm S cố định. Đoạn PS cắt (O) tại E, gọi H là giao điểm của EQ và MN.
a) Chứng minh tam giác SPN và tam giác SME đồng dạng.
Ta có: bốn điểm \(P,E,N,M\) cùng thuộc \(\left( O \right)\) nên tứ giác \(PENM\) nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle EPN = \angle EMN\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(EN\))
Xét \(\Delta SPN\) và \(\Delta SME\) có:
\(\angle S\) chung
\(\angle EPN = \angle EMS\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta SPN \sim \Delta SME\left( {g - g} \right)\) (đpcm)
b) Chứng minh độ dài OH không phụ thuộc vào vị trí điểm I.
Từ câu a, \(\Delta SPN \sim \Delta SME \Rightarrow \dfrac{{SP}}{{SM}} = \dfrac{{SN}}{{SE}}\) (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow SP.SE = SM.SN\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\angle PEH = \angle PEQ = \dfrac{1}{2}sdPQ = sdPM = \angle POM\)
\(\begin{array}{l}\angle PEH + \angle SEH = {180^0}\\\angle POM + \angle POS = {180^0}\\ \Rightarrow \angle SEH = \angle POS\end{array}\)
Xét \(\Delta SEH\) và \(\Delta SOP\) có:
\(\begin{array}{l}\angle SEH = \angle POS\left( {cmt} \right)\\\angle S\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta SEH \sim \Delta SOP\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SO}} = \dfrac{{SH}}{{SP}}\) (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow SE.SP = SO.SH\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(SO.SH = SM.SN\)\( \Rightarrow SH = \dfrac{{SM.SN}}{{SO}}\)
Mà \(S,M,N,O\) cố định nên \(SM,SN,SO\) không đổi
\( \Rightarrow SH\) không đổi
\( \Rightarrow OH = SO - SH\) không đổi.
Vậy độ dài \(OH\) không phụ thuộc vào vị trí điểm \(I\). (đpcm)
Câu 6 - Bất đẳng thức
Cách giải:
\(\begin{array}{l}a\left( {2a - 1} \right) + b\left( {2b - 1} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} - \left( {a + b} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \left( {a + b} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right) - \left( {a + b} \right) = 6ab\\ \Leftrightarrow 2{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) = 6ab \le 6.\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{3}{2}{\left( {a + b} \right)^2}\\ \Rightarrow 2{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) - \dfrac{3}{2}{\left( {a + b} \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le a + b \le 2\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}F = \dfrac{{{a^3} + 2020}}{b} + \dfrac{{{b^3} + 2020}}{a}\\ = \dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{2020}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{a} + \dfrac{{2020}}{a}\\ = \left( {\dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{a}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{{a^4}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^4}}}{{ab}}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\end{array}\)
Áp dụng các BĐT cơ bản \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\) và \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{{a^4}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^4}}}{{ab}}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{2ab}} + 2020.\dfrac{4}{{a + b}}\\ \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{8080}}{{a + b}} = {a^2} + {b^2} + \dfrac{{8080}}{{a + b}}\\ \ge \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} + \dfrac{{8080}}{{a + b}}\\ = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} + \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{{8072}}{{a + b}}\\ \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}.\dfrac{4}{{a + b}}.\dfrac{4}{{a + b}}}} + \dfrac{{8072}}{2} = 4042\\ \Rightarrow F \ge 4042\end{array}\)
\( \Rightarrow {F_{\min }} = 4042\) khi \(a = b = 1\).
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của mỗi học sinh. Để đạt kết quả tốt nhất, việc chuẩn bị kỹ lưỡng là vô cùng cần thiết. Trong đó, việc làm quen với các đề thi thử và đề thi chính thức của các năm trước đóng vai trò then chốt. Bài viết này sẽ cung cấp phân tích chi tiết về Đề thi vào 10 môn Toán Hà Tĩnh năm 2020, cùng với hướng dẫn giải các bài toán khó, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.
Đề thi vào 10 môn Toán Hà Tĩnh năm 2020 thường có cấu trúc gồm các phần sau:
Để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi, các em học sinh cần nắm vững các kiến thức trọng tâm sau:
Dưới đây là phân tích một số câu hỏi điển hình thường xuất hiện trong Đề thi vào 10 môn Toán Hà Tĩnh năm 2020:
Phương pháp giải phương trình bậc hai thường được sử dụng là công thức nghiệm hoặc phương pháp phân tích thành nhân tử. Các em học sinh cần nắm vững các bước giải và kiểm tra điều kiện của nghiệm.
Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, các em học sinh có thể sử dụng các trường hợp đồng dạng: cạnh - cạnh - cạnh (ccc), góc - góc (gg), cạnh - góc - cạnh (cgc).
Các em học sinh cần nắm vững công thức tính diện tích của các hình học cơ bản như tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn.
Để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi, các em học sinh nên:
Ngoài Đề thi vào 10 môn Toán Hà Tĩnh năm 2020, các em học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu ôn thi sau:
Việc ôn luyện Toán đòi hỏi sự kiên trì và nỗ lực. Các em học sinh nên dành thời gian ôn tập đều đặn, làm nhiều bài tập và tìm kiếm sự giúp đỡ của giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Chúc các em học sinh đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10!
| Năm | Số lượng câu hỏi trắc nghiệm | Số lượng câu hỏi tự luận |
|---|---|---|
| 2020 | 20 | 5 |
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
