Chào mừng các em học sinh đến với đề thi thử vào lớp 10 môn Toán số 29. Đề thi này được thiết kế để giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự đánh giá năng lực của bản thân.
Đề thi bao gồm các dạng bài tập khác nhau, từ trắc nghiệm đến tự luận, bao phủ các kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 9.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán - Đề số 29 có đáp án và lời giải chi tiết
Đề bài
Câu 1 (2 điểm):
a) Tính \(E = 2\sqrt {48} + 3\sqrt {75} - 2\sqrt {108} .\)
b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \(P\left( x \right) = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} - x}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right):\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}.\)
Câu 2 (2 điểm):
a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số \(y = 2{x^2}\) trên hệ trục tọa độ \(Oxy.\)
b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right):\;\;y = \left( {{m^2} + m - 4} \right)x + m - 7\) song song với đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = 2x - 5.\)
Câu 3 (2 điểm):
a) Gọi \({x_1},\;{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 2m - 7 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Bạn Nam mua hai món hàng và phải trả tổng cộng 480000 đồng, trong đó đã tính cả 40000 đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là thuế VAT). Biết rằng thuế VAT đối với mặt hàng thứ nhất là 10%, thuế VAT đối với mặt hàng thứ hai là 8%. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì bạn Nam phải trả mỗi món hàng là bao nhiêu tiền?
(Trong đó: Thuế VAT là thuế mà người mua hàng phải trả, người bán hàng thu và nộp cho Nhà nước. Giả sử thuế VAT đối với mặt hàng A được quy là 10%. Khi đó nếu giá bán của mặt hàng A là x đồng thì kể cả thuế VAT, người mua phải trả tổng cộng là \(x + 10\% x\) đồng).
Câu 4 (0,5 điểm):
Cho biểu thức \(Q\left( x \right) = \dfrac{{5{x^2} + 6x + 2018}}{{x + 1}}.\) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(Q\left( x \right)\) là số nguyên.
Câu 5 (1 điểm):
Cho đường tròn \(\left( O \right),\) từ điểm \(A\) ngoài đường tròn vẽ đường thẳng \(AO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B,\;\;C\;\left( {AB < AC} \right).\) Qua \(A\) vẽ đường thẳng không đi qua \(O\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D,\;E\;\;\left( {AD < AE} \right).\) Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(A\) cắt đường thẳng \(CE\) tại \(F.\)
a) Chứng minh tứ giác \(ABEF\) nội tiếp.
b) Gọi \(M\) là giao điểm thứ hai của \(FB\) với đường tròn \(\left( O \right).\) Chứng minh \(DM \bot AC.\)
c) Chứng minh \(CE.CF + AD.AE = A{C^2}.\)
Lời giải chi tiết
Câu 1:
a) Tính \(E = 2\sqrt {48} + 3\sqrt {75} - 2\sqrt {108} .\)
\(\begin{array}{l}E = 2\sqrt {48} + 3\sqrt {75} - 2\sqrt {108} \\\;\;\; = 2\sqrt {{4^2}.3} + 3\sqrt {{5^2}.3} - 2\sqrt {{6^2}.3} \\\;\;\; = 2.4\sqrt 3 + 3.5\sqrt 3 - 2.6\sqrt 3 \\\;\;\; = 8\sqrt 3 + 15\sqrt 3 - 12\sqrt 3 \\\;\;\; = 11\sqrt 3 .\end{array}\)
Vậy \(E = 11\sqrt 3 .\)
b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \(P\left( x \right) = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} - x}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right):\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}.\)
Ta có \(P\left( x \right)\) xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x \ne 0\\x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\{x^2} - 2x + 1 \ne 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 1} \right) \ne 0\\x \ne \pm 1\\{\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \pm 1\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} - x}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right):\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {\dfrac{1}{{x\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right):\dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{{x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}}.\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x + 1}}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{{x - 1}}{x}.\end{array}\)
Câu 2:
a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số \(y = 2{x^2}\) trên hệ trục tọa độ \(Oxy.\)
+) Vẽ đồ thị hàm số \(\left( P \right):\)
\(x\) | \( - 1\) | \( - \dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(1\) |
\(y = 2{x^2}\) | \(2\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(2\) |
Đồ thị \(\left( P \right)\) là parabol đi qua các điểm \(\left( { - 1;\;2} \right),\;\;\left( { - \dfrac{1}{2};\;\dfrac{1}{2}} \right),\;\left( {0;\;0} \right),\;\left( {\dfrac{1}{2};\;\dfrac{1}{2}} \right),\;\;\left( {1;\;2} \right).\)
b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right):\;\;y = \left( {{m^2} + m - 4} \right)x + m - 7\) song song với đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = 2x - 5.\)
Đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)//d \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 4 = 2\\m - 7 \ne - 5\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 6 = 0\\m \ne 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 2} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\m \ne 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 3\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 3.\end{array}\)
Vậy \(m = - 3\)
Câu 3:
a) Gọi \({x_1},\;{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 2m - 7 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương trình có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 2m + 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 2m + 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 8 \ge 0\;\;\;\forall m.\end{array}\)
Hay phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\) với mọi \(m.\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = - 2m - 7\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}A = x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2}\\\;\;\; = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {2m + 7} \right)\\\;\;\; = 4\left( {{m^2} - 2m + 1 - 2m - 7} \right)\\\;\;\; = 4\left( {{m^2} - 4m + 4 - 10} \right)\\\;\;\; = 4\left[ {{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 10} \right]\\\;\;\; = 4{\left( {m - 2} \right)^2} - 40.\end{array}\)
Vì \({\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\) \( \Rightarrow 4{\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0 \) \(\Rightarrow 4{\left( {m - 2} \right)^2} - 40 \ge - 40.\)
\( \Rightarrow A \ge - 40\) hay \(Min\;A = - 40\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2.\)
Vậy \(m = 2.\)
b) Bạn Nam mua hai món hàng và phải trả tổng cộng 480000 đồng, trong đó đã tính cả 40000 đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là thuế VAT). Biết rằng thuế VAT đối với mặt hàng thứ nhất là 10%, thuế VAT đối với mặt hàng thứ hai là 8%. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì bạn Nam phải trả mỗi món hàng là bao nhiêu tiền?
Gọi số phải trả cho món hàng thứ nhất không kể thuế VAT là \(x\) đồng, \(\left( {0 < x < 480000} \right).\)
Gọi số phải trả cho món hàng thứ nhất không kể thuế VAT là \(y\) đồng, \(\left( {0 < y < 480000} \right).\)
Số tiền phải trả cho hai món hàng không mất thuế là: \(x + y = 480000 - 40000 = 440000.\;\;\;\;\left( 1 \right)\)
Số tiền thuế phải trả cho món hàng thứ nhất là: \(x.10\% = \dfrac{x}{{10}}\) (đồng)
Số tiền thuế phải trả cho món hàng thứ hai là: \(y.8\% = \dfrac{{2y}}{{25}}\) (đồng).
Số tiền thuế phải trả cho hai món hàng là: \(\dfrac{x}{{10}} + \dfrac{{2y}}{{25}} = 40000 \)
\(\Leftrightarrow 5x + 4y = 2000000\;\;\;\;\;\left( 2 \right).\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 440000\\5x + 4y = 2000000\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 4y = 1760000\\5x + 4y = 2000000\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 240000\;\;\;\left( {tm} \right)\\y = 200000\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy số tiền phải trả cho món hàng thứ nhất không phải thuế là 240 000 đồng, món hàng thứ hai là 200 000 đồng.
Câu 4:
Cho biểu thức \(Q\left( x \right) = \dfrac{{5{x^2} + 6x + 2018}}{{x + 1}}.\) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(Q\left( x \right)\) là số nguyên.
Điều kiện: \(x \ne - 1.\)
Ta có: \(Q\left( x \right) = \dfrac{{5{x^2} + 6x + 2018}}{{x + 1}} \)
\(= \dfrac{{5{x^2} + 5x + x + 1 + 2017}}{{x + 1}}\)
\( = \dfrac{{5x\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 1}} + \dfrac{{2017}}{{x + 1}} \)
\(= 5x + 1 + \dfrac{{2017}}{{x + 1}}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow Q\left( x \right) \in Z \\\Leftrightarrow \left( {5x + 1 + \dfrac{{2017}}{{x + 1}}} \right) \in Z \\\Leftrightarrow \dfrac{{2017}}{{x + 1}} \in Z\;\;\left( {do\;\;x \in Z} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right) \in U\left( {2017} \right).\end{array}\)
Mà \(U\left( {2017} \right) = \left\{ { - 2017; - 1;\;1;\;2017} \right\}.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = - 2017\\x + 1 = - 1\\x + 1 = 1\\x + 1 = 2017\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2018\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = - 2\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = 0\;\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = 2016\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy \(x \in \left\{ { - 2018;\; - 2;\;0;\;\;2016} \right\}.\)
Câu 5:
Cho đường tròn \(\left( O \right),\) từ điểm \(A\) ngoài đường tròn vẽ đường thẳng \(AO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B,\;\;C\;\left( {AB < AC} \right).\) Qua \(A\) vẽ đường thẳng không đi qua \(O\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D,\;E\;\;\left( {AD < AE} \right).\) Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(A\) cắt đường thẳng \(CE\) tại \(F.\)
a) Chứng minh tứ giác \(ABEF\) nội tiếp.
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \(\widehat {BEC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét tứ giác \(ABEF\) ta có: \(\widehat {FAB} + \widehat {BEF} = {90^0} + {90^0} = {180^0}.\)
\( \Rightarrow ABEF\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\)).
b) Gọi \(M\) là giao điểm thứ hai của \(FB\) với đường tròn \(\left( O \right).\) Chứng minh \(DM \bot AC.\)
Vì tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {AEB} = \widehat {AFB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).
Lại có \(\widehat {AEB} = \widehat {BMD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD của đường tròn (O))
\( \Rightarrow \widehat {AFB} = \widehat {BMD}\). Mà hai góc này ở vị trí so le trong \( \Rightarrow AF//DM\).
Mà \(AF \bot AC \Rightarrow DM \bot AC\).
c) Chứng minh \(CE.CF + AD.AE = A{C^2}.\)
Xét tam giác ACD và tam giác ABE có
\(\widehat {CAE}\) chung;
\(\widehat {ACD} = \widehat {AEB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
\( \Rightarrow \Delta ACD \sim \Delta AEB\,\left( {g.g} \right) \)
\(\Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\)
\(\Rightarrow AD.AE = AC.AB\,\,\left( 1 \right)\)
Xét tam giác CBE và tam giác CFA có:
\(\widehat {ACB}\) chung;
\(\widehat {CEB} = \widehat {CAF} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta CBE \sim \Delta CFA\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{CA}} = \dfrac{{CB}}{{CF}} \\\Rightarrow CE.CF = CA.CB\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow CE.CF + AD.AE = CA.CB + AC.AB \)\(\;= AC\left( {AB + BC} \right) = A{C^2}\,\,\left( {dpcm} \right)\)
Đề số 29 là một trong những đề thi thử vào lớp 10 môn Toán được nhiều học sinh lựa chọn để ôn luyện. Đề thi này không chỉ đánh giá kiến thức mà còn kiểm tra khả năng vận dụng và giải quyết vấn đề của học sinh. Dưới đây là phân tích chi tiết về cấu trúc đề thi và hướng dẫn giải một số bài tập tiêu biểu.
Đề thi thường bao gồm hai phần chính: trắc nghiệm và tự luận. Phần trắc nghiệm thường chiếm khoảng 30-40% tổng số điểm, tập trung vào các kiến thức cơ bản và các công thức quan trọng. Phần tự luận chiếm khoảng 60-70% tổng số điểm, yêu cầu học sinh trình bày lời giải chi tiết và rõ ràng.
Để giải phương trình này, ta thực hiện các bước sau:
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
Ta có: AB2 + AC2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
BC2 = 52 = 25
Vì AB2 + AC2 = BC2, theo định lý Pytago đảo, tam giác ABC vuông tại A.
Luyện đề là một phần quan trọng trong quá trình chuẩn bị cho kỳ thi vào lớp 10. Việc luyện đề thường xuyên giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán, và tự đánh giá năng lực của bản thân. Đồng thời, luyện đề còn giúp học sinh phát hiện ra những kiến thức còn yếu và tập trung ôn tập để cải thiện.
Ngoài đề số 29, các em có thể tham khảo thêm các nguồn tài liệu luyện thi khác như:
Đề số 29 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán là một công cụ hữu ích để giúp các em học sinh ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Hãy luyện tập chăm chỉ và tự tin vào khả năng của bản thân. Chúc các em thành công!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
