Chào mừng các em học sinh đến với Đề số 5 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán. Đây là một trong những đề thi thử quan trọng, được thiết kế để giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi chính thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề thi này bao gồm các dạng bài tập đa dạng, từ đại số đến hình học, giúp các em củng cố kiến thức đã học và phát triển tư duy logic.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán - Đề số 5 có đáp án và lời giải chi tiết
Đề bài
Câu 1. (2,5 điểm)
1. Thực hiện phép tính \(\dfrac{{\sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }}\)
2. Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{9 + x}}{{9 - x}}} \right).\left( {3\sqrt x - x} \right)\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\)
3. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 3;2} \right)\)
Câu 2. (1.5 điểm)
1. Giải phương trình \({x^2} - 4x + 4 = 0\)
2. Tìm giá trị của m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 10.\)
Câu 3. (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một xe ô tô đi từ A đến B theo đường quốc lộ cũ dài 156 km với vận tốc không đổi. Khi từ B về A, xe đi đường cao tốc mới nên quãng đường giảm được 36 km so với lúc đi và vận tốc tăng so với lúc đi là 32 km/h. Tính vận tốc ô tô khi đi từ A đến B, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1 giờ 45 phút.
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên đường tròn (O) lấy điểm C bất kì (C không trùng với A và B). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BC ở điểm D. Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng DO. Tia AH cắt đường tròn (O) tại điểm F (không trùng với A). Chứng minh
a) \(D{A^2} = DC.DB\)
b) Tứ giác AHCD nội tiếp.
c) \(CH \bot CF\)
d) \(\dfrac{{BH.BC}}{{BF}} = 2R\)
Câu 5 (0,5 điểm)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(xy + 1 \le x\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{x + y}}{{\sqrt {3{x^2} - xy + {y^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
Câu 1.
1. Thực hiện phép tính \(\dfrac{{\sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }}\)
\(\dfrac{{\sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {\dfrac{{27}}{3}} = \sqrt 9 = 3.\)
2. Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{9 + x}}{{9 - x}}} \right).\left( {3\sqrt x - x} \right)\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\)
Điều kiện: \(x \ge 0,\;\;x \ne 9.\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{9 + x}}{{9 - x}}} \right).\left( {3\sqrt x - x} \right)\\\;\;\; = \left( {\dfrac{{\sqrt x .\left( {3 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}} + \dfrac{{9 + x}}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}} \right).\left( {3\sqrt x - x} \right)\\\;\;\; = \dfrac{{9 + 3\sqrt x }}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}.\left( {3\sqrt x - x} \right)\\\;\;\; = \dfrac{{3\left( {3 + \sqrt x } \right)}}{{3 + \sqrt x }}.\sqrt x \\\;\;\; = 3\sqrt x .\end{array}\)
3. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 3;2} \right)\)
Đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 3;2} \right)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 2\\ - 3a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a = - 4\\b = 2 + 3a\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{4}{5}\\b = - \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\)
Vậy ta có \(a = - \dfrac{4}{5};\;\;b = - \dfrac{2}{5}.\)
Câu 2.
1. Giải phương trình \({x^2} - 4x + 4 = 0\)
\({x^2} - 4x + 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\{2\}\)
2. Tìm giá trị của m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3 = 0\) (*) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 10\)
+) Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 3 \ge 0\)
\(\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 3 \ge 0 \)
\(\Leftrightarrow 2m \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 1.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Từ đề bài ta có: \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 10 \)
\(\Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 100\)
\(\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 100\)
Lại có \({x_1}{x_2} = {m^2} + 3 > 0\;\forall m \) \(\Rightarrow \left| {{x_1}{x_2}} \right| = {x_1}{x_2} = {m^2} + 3.\)
Khi đó ta có: \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 10\)
\(\Leftrightarrow {\left( {\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|} \right)^2} = 100\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^2 + 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| + x_2^2 = 100\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2{x_1}{x_2} = 100\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = \pm 10.\end{array}\)
+) TH1: \({x_1} + {x_2} = 10\) kết hợp với (2) ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 10\\{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\end{array} \right. \)\(\,\Leftrightarrow 2\left( {m + 1} \right) = 10 \Leftrightarrow m = 4\left( {tm} \right)\)
+)TH2: \({x_1} + {x_2} = 10\) kết hợp với (2) ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 10\\{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\end{array} \right. \)\(\,\Leftrightarrow 2\left( {m + 1} \right) = - 10 \Leftrightarrow m = - 6\;\left( {ktm} \right)\)
Vậy \(m = 4\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 3:
Một xe ô tô đi từ A đến B theo đường quốc lộ cũ dài 156 km với vận tốc không đổi. Khi từ B về A, xe đi đường cao tốc mới nên quãng đường giảm được 36 km so với lúc đi và vận tốc tăng so với lúc đi là 32 km/h. Tính vận tốc ô tô khi đi từ A đến B, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1 giờ 45 phút.
Gọi vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là \(x\;\left( {km/h} \right)\;\;\left( {x > 0} \right).\)
Thời gian ô tô đi từ A đến B là: \(\dfrac{{156}}{x}\) (giờ).
Quãng đường lúc về là: \(156 - 36 = 120\left( {km} \right)\)
Vận tốc của ô tô lúc về là: \(x + 32\;\;\left( {km/h} \right).\) Thời gian của ô tô lúc về là: \(\dfrac{{120}}{{x + 32}}\) (giờ).
Đổi: 1 giờ 45 phút \( = 1 + \dfrac{{45}}{{60}} = \dfrac{7}{4}\) giờ.
Theo đề bài ta có phương trình: \(\dfrac{{156}}{x} - \dfrac{{120}}{{x + 32}} = \dfrac{7}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 156.4.\left( {x + 32} \right) - 120.4.x = 7x\left( {x + 32} \right)\\ \Leftrightarrow 624x + 19968 - 480x = 7{x^2} + 224x\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 80x - 19968 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 48} \right)\left( {7x + 416} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 48 = 0\\7x + 416 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 48\;\;\left( {tm} \right)\\x = - \dfrac{{416}}{7}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy vận tốc của ô tô lúc đi từ A đến B là \(48\;km/h.\)
Câu 4.
a) \(D{A^2} = DC.DB\)
Ta có \(\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) \( \Rightarrow AC \bot BC\,\,hay\,\,\,AC \bot BD\).
Ta có:\(\widehat {DAB} = {90^0}\) ( Do DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD vuông tại A có đường cao AC ta có \(D{A^2} = DC.DB\).
b) Tứ giác AHCD nội tiếp.
Xét tứ giác AHCD có \(\widehat {AHD} = \widehat {ACD} = {90^0} \Rightarrow \) Hai đỉnh C và H kề nhau cùng nhìn cạnh AD dưới góc 900
\( \Rightarrow \) Tứ giác AHCD nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).
c) \(CH \bot CF\)
Do tứ giác AHCD nội tiếp nên \(\widehat {FHC} = \widehat {ADC}\) (cùng bù với \(\widehat {AHC}\)).
Xét tam giác FHC và tam giác ADC có:
\(\widehat {CFH} = \widehat {DAC}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC).
\(\widehat {FHC} = \widehat {ADC}\,\,\left( {cmt} \right)\);
Suy ra, tam giác FHC đồng dạng với tam giác ADC (g.g) => góc FCH bằng góc ACD (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {ACD} = {90^0} \Rightarrow \widehat {FCH} = {90^0} \Rightarrow CH \bot CF\)
d) \(\dfrac{{BH.BC}}{{BF}} = 2R\)
Xét tam giác vuông OAD vuông tại A có OH là đường cao ta có \(O{A^2} = OD.OH\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà \(OA = OB = R \Rightarrow O{B^2} = OD.OH \)
\(\Rightarrow \dfrac{{OB}}{{OH}} = \dfrac{{OD}}{{OB}}\)
Xét tam giác OBH và ODB có:
\(\widehat {BOD}\) chung;
\(\dfrac{{OB}}{{OH}} = \dfrac{{OD}}{{OB}}\,\,\left( {cmt} \right)\);
Suy ra, tam giác OBH đồng dạng với tam giác ODB (c.g.c) => góc OBH bằng góc OBD
Mà \(\widehat {ODB} = \widehat {CAF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCD).
\(\widehat {CAF} = \widehat {CBF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CF của đường tròn (O))
\( \Rightarrow \widehat {OBH} = \widehat {CBF} \)
\(\Rightarrow \widehat {OBH} + \widehat {HBC} = \widehat {CBF} + \widehat {HBC}\)
\(\Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {HBF} = \widehat {ABC}\)
Xét tam giác BHF và tam giác BAC có:
\(\widehat {BFH} = \widehat {BCA} = {90^0}\) (góc BFC nội tiếp chắn nửa đường tròn (O));
\(\widehat {HBF} = \widehat {ABC}\,\,\left( {cmt} \right)\);
Câu 5.
Ta có: \(xy + 1 \le x,\,\,(x,y > 0) \Leftrightarrow y + \dfrac{1}{x} \le 1\)
Áp dụng BĐT Cô si, ta có: \(y + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {y.\dfrac{1}{x}} = 2\sqrt {\dfrac{y}{x}} \)
\(\Rightarrow 1 \ge 2\sqrt {\dfrac{y}{x}} \Leftrightarrow 0 < \dfrac{y}{x} \le \dfrac{1}{4}\)
\(Q = \dfrac{{x + y}}{{\sqrt {3{x^2} - xy + {y^2}} }} = \dfrac{{1 + \dfrac{y}{x}}}{{\sqrt {3 - \dfrac{y}{x} + \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}}} }}\) . Đặt \(\dfrac{y}{x} = a,\,\,0 < a \le \dfrac{1}{4}\), ta có:
\(Q = \dfrac{{1 + a}}{{\sqrt {3 - a + {a^2}} }} = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + 2a + 1}}{{{a^2} - a + 3}}} \) , \(0 < a \le \dfrac{1}{4}\)
Ta chứng minh: \(\dfrac{{{a^2} + 2a + 1}}{{{a^2} - a + 3}} \le \dfrac{5}{9}\,\,(*),\,\,\forall 0 < a \le \dfrac{1}{4}\)
\(\left( * \right) \Leftrightarrow 9({a^2} + 2a + 1) \le 5({a^2} - a + 3)\) ( do \({a^2} - a + 3 > 0,\,\,\forall a\))
\( \Leftrightarrow 4{a^2} + 23a - 6 \le 0 \)
\(\Leftrightarrow 4{a^2} - a + 24a - 6 \le 0\)
\(\Leftrightarrow a(4a - 1) + 6(4a - 1) \le 0\)
\(\Leftrightarrow (4a - 1)(a + 6) \le 0\)
Do \(0 < a \le \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow 4a - 1 \le 0,\,\,a + 6 > 0 \Rightarrow (4a - 1)(a + 6) \le 0\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{a^2} + 2a + 1}}{{{a^2} - a + 3}} \le \dfrac{5}{9}\,\,,\,\,\forall 0 < a \le \dfrac{1}{4}\)
\( \Rightarrow Q = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + 2a + 1}}{{{a^2} - a + 3}}} \le \sqrt {\dfrac{5}{9}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\),\(\forall 0 < a \le \dfrac{1}{4}\)
Vậy, \({Q_{max}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\) khi và chỉ khi \(a = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{4}\\y + \dfrac{1}{x} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Đề thi vào lớp 10 môn Toán là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của các em. Để đạt kết quả tốt nhất, việc luyện tập thường xuyên với các đề thi thử là vô cùng cần thiết. Đề số 5 mà toan11.edu.vn cung cấp được xây dựng dựa trên cấu trúc đề thi tuyển sinh của nhiều tỉnh thành trên cả nước, đảm bảo tính sát thực và hữu ích.
Đề thi Đề số 5 thường bao gồm các phần sau:
Ví dụ, xét bài toán sau:
Giải phương trình: x2 - 5x + 6 = 0
Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a
Trong trường hợp này, a = 1, b = -5, và c = 6. Thay các giá trị này vào công thức, ta được:
x = (5 ± √((-5)2 - 4 * 1 * 6)) / 2 * 1
x = (5 ± √(25 - 24)) / 2
x = (5 ± √1) / 2
x = (5 ± 1) / 2
Vậy, phương trình có hai nghiệm là:
x1 = (5 + 1) / 2 = 3
x2 = (5 - 1) / 2 = 2
Chúc các em ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi vào lớp 10 sắp tới!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
