Chào mừng các em học sinh đến với đề tham khảo thi vào 10 môn Toán Hà Nội năm 2025 - Đề số 11 của toan11.edu.vn. Đề thi này được biên soạn dựa trên cấu trúc đề thi tuyển sinh vào 10 của các trường THPT chuyên hàng đầu tại Hà Nội.
Mục tiêu của đề thi là giúp các em làm quen với dạng đề, rèn luyện kỹ năng giải toán và đánh giá năng lực bản thân trước kỳ thi quan trọng. Đề thi đi kèm với đáp án chi tiết và lời giải dễ hiểu, giúp các em tự học hiệu quả.
Câu 1: (1,5 điểm) 1) Cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kilogam) có kết quả như sau:
Câu 1:(1,5 điểm)
1) Cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kilogam) có kết quả như sau:
Mẫu số liệu thống kê ở trên đã được ghép thành năm nhóm ứng với năm nửa khoảng: [50;55), [55;60), [60;65), [65;70), [70;75). Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên và tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [50;55).
2) Một hộp đựng 20 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: “Số ghi trên tấm thẻ là bội của 4”.
Câu 2:(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(P = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x }}{{x - 4}}\) và \(Q = \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\) (với \(x \ge 0\), \(x \ne 4\)).
1) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 9.
2) Rút gọn biểu thức P.
3) Biết \(M = \frac{P}{Q}\). Tìm các giá trị của x để M = 18.
Câu 3:(2,5 điểm)
1) Mai mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 165 000 đồng, trong đó đã tính 15 000 đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là VAT). Biết rằng thuế VAT với loại hàng thứ nhất là 12%, thuế VAT với loại hàng thứ hai là 9%. Hỏi nếu không kể thuế thì Mai phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?
2) Hưởng ứng phong trào thi đua “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”, lớp 9A trường THCS Hoàng Hoa Thám dự định trồng 300 cây xanh. Đến ngày lao động, có 5 bạn được Liên Đội triệu tập tham gia chiến dịch an toàn giao thông nên mỗi bạn còn lại phải trồng thêm 2 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh?
3) Phương trình \({x^2} - 2x - m + 1 = 0\) (m là tham số) có một nghiệm là \(x = 1 + \sqrt 7 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = {x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1}\).
Câu 4:(4 điểm)
1) Trong truyện ngụ ngôn La Phông ten, Cò mời Cáo đến ăn tiệc với món súp hảo hạng. Món súp đó Cò thường cho vào một cái bình hình trụ, có bán kính đáy là 4 cm, chiều cao 30 cm. Nhưng khi Cáo đến, Cò chỉ đổ súp sao cho phần súp trong bình đó cao 10 cm và mới Cáo dùng bữa.
a) Tính thể tích của phần súp mà Cò mời Cáo ăn.
b) Cổ của Cáo quá ngắn nên không thể lấy được súp, Cáo nhìn quanh và phát hiện ra nhà Cò có những viên sỏi hình cầu giống hệt nhau, bán kính 2 cm. Cáo bèn cho từng viên sỏi vào bình súp đến khi súp dâng lên vừa đầy đến miệng bình rồi Cáo thảnh thơi ăn súp. Hỏi Cáo đã cho vào bình bao nhiêu viên sỏi?
2) Cho đường tròn (O;R) và dây MN cố định (MN < 2R). Kẻ đường kính AB vuông góc với dây MN tại E (điểm A thuộc cung nhỏ MN). Lấy điểm C thuộc dây MN (C khác M, N, E). Đường thẳng BC cắt (O;R) tại điểm K (K khác B).
a) Chứng minh AKCE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(B{M^2} = BK.BC\).
c) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AK và MN; D là giao điểm của hai đường thẳng AC và BI. Chứng minh C cách đều ba cạnh của \(\Delta DEK\).
Câu 5:(0,5 điểm) Công ty sản xuất thùng gỗ muốn thiết kế số lượng lớn thùng đựng hàng hóa bên trong, dang hình lăng trụ tứ giác đều không nắp với thể tích là 62,5 \(d{m^3}\). Để tiết kiệm vật gỗ làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Hỏi S có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Câu 1:(1,5 điểm)
1) Cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kilogam) có kết quả như sau:
Mẫu số liệu thống kê ở trên đã được ghép thành năm nhóm ứng với năm nửa khoảng: [50;55), [55;60), [60;65), [65;70), [70;75). Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên và tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [50;55).
2) Một hộp đựng 20 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: “Số ghi trên tấm thẻ là bội của 4”.
Phương pháp
1) Xác định tần số cho các nhóm để lập bảng tần số ghép nhóm.
Tần số tương đối của nhóm bằng: tần số của nhóm : tổng . 100%.
2) Xác định không gian mẫu của phép thử, tính số phần tử của không gian mẫu.
Tính số kết quả thuận lợi của biến cố.
Xác suất của biến cố = số kết quả thuận lợi của biến cố : số phần tử của không gian mẫu.
Lời giải
1) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên:
Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [50;55) là \(\frac{5}{{40}}.100\% = 12,5\% \).
2) Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 20\).
Kết quả thuận lợi cho biến cố A là {4; 8; 12; 16; 20}, suy ra n(A) = 5.
Vậy xác suất của biến cố A là \(P(A) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}\).
Câu 2:(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(P = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x }}{{x - 4}}\) và \(Q = \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\) (với \(x \ge 0\), \(x \ne 4\)).
1) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 9.
2) Rút gọn biểu thức P.
3) Biết \(M = \frac{P}{Q}\). Tìm các giá trị của x để M = 18.
Phương pháp
1) Kiểm tra điều kiện của x. Nếu thỏa mãn, thay x = 9 vào Q.
2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.
3) Rút gọn \(M = \frac{P}{Q}\) rồi giải phương trình M = 18.
Lời giải
1) Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào Q, ta được:
\(Q = \frac{1}{{\sqrt 9 + 2}} = \frac{1}{{3 + 2}} = \frac{1}{5}\).
Vậy khi x = 9 thì \(Q = \frac{1}{5}\).
2) \(P = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x }}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0\), \(x \ne 4\))
\( = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{3x - 6\sqrt x - x - 2\sqrt x + 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\).
3) \(M = \frac{P}{Q} = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\frac{1}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}.\left( {\sqrt x + 2} \right) = \frac{{2x}}{{\sqrt x - 2}}\).
Để M = 18 thì \(\frac{{2x}}{{\sqrt x - 2}} = 18\)
\(2x = 18\left( {\sqrt x - 2} \right)\)
\(2x - 18\sqrt x + 36 = 0\)
\(x - 9\sqrt x + 18 = 0\).
Giải phương trình trên, ta được \(\sqrt x = 3\) hoặc \(\sqrt x = 6\).
Suy ra x = 9 hoặc x = 36 (cả hai nghiệm đều thỏa mãn).
Vậy để M = 18 thì \(x \in \{ 9;36\} \).
Câu 3:(2,5 điểm)
1) Mai mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 165 000 đồng, trong đó đã tính 15 000 đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là VAT). Biết rằng thuế VAT với loại hàng thứ nhất là 12%, thuế VAT với loại hàng thứ hai là 9%. Hỏi nếu không kể thuế thì Mai phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?
2) Hưởng ứng phong trào thi đua “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”, lớp 9A trường THCS Hoàng Hoa Thám dự định trồng 300 cây xanh. Đến ngày lao động, có 5 bạn được Liên Đội triệu tập tham gia chiến dịch an toàn giao thông nên mỗi bạn còn lại phải trồng thêm 2 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh?
3) Phương trình \({x^2} - 2x - m + 1 = 0\) (m là tham số) có một nghiệm là \(x = 1 + \sqrt 7 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = {x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1}\).
Phương pháp
1) Gọi x, y lần lượt là số tiền của loại hàng thứ nhất và loại hàng thứ hai không kể thuế VAT mà Mai đã mua (đồng; x , y > 0).
Biểu diễn tổng số tiền Mai phải trả và tổng số tiền thuế theo x, y.
Lập hệ phương trình, giải hệ tìm x, y.
2) Gọi số học sinh lớp 9A là x (học sinh; \(x \in {\mathbb{N}^*}\), x > 5).
Biểu diễn số cây mỗi học sinh phải trồng theo kế hoạch và thực tế.
Vì thực tế mỗi học sinh phải trồng thêm 2 cây so với kế hoạch nên ta lập được phương trình.
Giải phương trình và kết luận.
3) Thay nghiệm vào phương trình, tính m.
Biến đổi biểu thức và áp dụng định lí Viète: \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\); \(P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).
Lời giải
1) Gọi x, y lần lượt là số tiền của loại hàng thứ nhất và loại hàng thứ hai không kể thuế VAT mà Mai đã mua (đồng; x , y > 0).
Số tiền thuế của hai loại hàng lần lượt là 12%x = 0,12x (đồng) và 9%y = 0,09y (đồng).
Vì tổng số tiền thuế là 15 000 đồng nên ta có phương trình \(0,12x + 0,09y = 15000\) (1)
Số tiền mua loại hàng thứ nhất sau tính thuế là x + 0,12x = 1,12x (đồng), số tiền mua loại hàng thứ hai sau tính thuế là y + 0,09y = 1,09y (đồng).
Vì số tiền phải trả tổng cộng là 165 000 cả thuế nên ta có phương trình \(1,12x + 1,09y = 165000\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0,12x + 0,09 = 15000\\1,12x + 1,09y = 165000\end{array} \right.\)
Giải hệ trên, ta được x = 50 000 (thỏa mãn) và y = 100 000 (thỏa mãn).
Vậy giá tiền không kể thuế của loại hàng thứ nhất là 50 000 đồng, giá tiền không kể thuế của loại hàng thứ hai là 100 000 đồng.
2) Gọi số học sinh lớp 9A là x (học sinh; \(x \in {\mathbb{N}^*}\), x > 5).
Số học sinh thực tế tham gia trồng cây là x – 5 (học sinh).
Theo kế hoạch, mỗi học sinh phải trồng \(\frac{{300}}{x}\) (cây).
Thực tế, mỗi học sinh phải trồng \(\frac{{300}}{{x - 5}}\) (cây).
Vì thực tế, mỗi học sinh phải trồng thêm 2 cây so với kế hoạch nên ta có phương trình:
\(\frac{{300}}{{x - 5}} - \frac{{300}}{x} = 2\)
\(\frac{{300x}}{{x(x - 5)}} - \frac{{300(x - 5)}}{{x(x - 5)}} = \frac{{2x(x - 5)}}{{x(x - 5)}}\)
\(300x - 300(x - 5) = 2x(x - 5)\)
\(300x - 300x + 1500 = 2{x^2} - 10x\)
\(2{x^2} - 10x - 1500 = 0\)
\({x^2} - 5x - 750 = 0\).
Giải phương trình trên, được x = 30 (thỏa mãn) và x = -25 (loại).
Vậy lớp 9A có 30 học sinh.
3) Thay \(x = 1 + \sqrt 7 \) vào phương trình, ta có: \({\left( {1 + \sqrt 7 } \right)^2} - 2\left( {1 + \sqrt 7 } \right) - m + 1 = 0\)
\(8 + 2\sqrt 7 - 2 - 2\sqrt 7 - m + 1 = 0\)
\(m = 7\).
Vậy phương trình đã cho là \({x^2} - 2x - 6 = 0\).
Gọi \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.
Áp dụng hệ thức Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 2}}{1} = 2\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 6}}{1} = - 6\end{array} \right.\)
Ta có \(A = {x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1} = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 6.2 = - 12\).
Vậy A = -12.
Câu 4:(4 điểm)
1) Trong truyện ngụ ngôn La Phông ten, Cò mời Cáo đến ăn tiệc với món súp hảo hạng. Món súp đó Cò thường cho vào một cái bình hình trụ, có bán kính đáy là 4 cm, chiều cao 30 cm. Nhưng khi Cáo đến, Cò chỉ đổ súp sao cho phần súp trong bình đó cao 10 cm và mới Cáo dùng bữa.
a) Tính thể tích của phần súp mà Cò mời Cáo ăn.
b) Cổ của Cáo quá ngắn nên không thể lấy được súp, Cáo nhìn quanh và phát hiện ra nhà Cò có những viên sỏi hình cầu giống hệt nhau, bán kính 2 cm. Cáo bèn cho từng viên sỏi vào bình súp đến khi súp dâng lên vừa đầy đến miệng bình rồi Cáo thảnh thơi ăn súp. Hỏi Cáo đã cho vào bình bao nhiêu viên sỏi?
2) Cho đường tròn (O;R) và dây MN cố định (MN < 2R). Kẻ đường kính AB vuông góc với dây MN tại E (điểm A thuộc cung nhỏ MN). Lấy điểm C thuộc dây MN (C khác M, N, E). Đường thẳng BC cắt (O;R) tại điểm K (K khác B).
a) Chứng minh AKCE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(B{M^2} = BK.BC\).
c) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AK và MN; D là giao điểm của hai đường thẳng AC và BI. Chứng minh C cách đều ba cạnh của \(\Delta DEK\).
Phương pháp
1)
a) Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ \(V = \pi {r^2}h\).
b) Thể tích các viên sỏi = Thể tích bình – Thể tích lượng nước ban đầu.
Tính thể tích mỗi viên sỏi áp dụng công thức \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\).
Số viên sỏi = Thể tích các viên sỏi : Thể tích mỗi viên sỏi.
2)
a) Chứng minh \(\widehat {AKC} = \widehat {AEC} = {90^o}\) suy ra K, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
b) Chứng minh $\Delta BMK\backsim \Delta BCM$ (g.g) rồi suy ra tỉ lệ thức.
c) Chứng minh C là giao điểm của hai đường phân giác trong \(\Delta DEK\).
Lời giải
1)
a) Thể tích phần súp Cò mới Cáo ăn là \({V_1} = \pi {.4^2}.10 = 160\pi \) \(\left( {c{m^3}} \right)\).
b) Thể tích bình trụ là \({V_0} = \pi {.4^2}.30 = 480\pi \) \(\left( {c{m^3}} \right)\).
Vì súp dâng đầy bình khi Cáo thả các viên sỏi vào nên thể tích các viên sỏi là:
\(V = {V_0} - {V_1} = 480\pi - 160\pi = 320\pi \) \(\left( {c{m^3}} \right)\).
Thể tích 1 viên sỏi là \({V_{soi}} = \frac{4}{3}\pi {.2^3} = \frac{{32}}{3}\pi \) \(\left( {c{m^3}} \right)\).
Số viên sỏi được thả vào bình là \(320\pi :\frac{{32}}{3}\pi = 30\) (viên).
Vậy Cáo đã cho 30 viên sỏi vào bình.
2)
a) Vì K thuộc đường tròn đường kính AB nên \(\widehat {AKC} = {90^o}\).
Theo giả thiết, \(MN \bot AB\) nên \(\widehat {AEC} = {90^o}\).
Vì \(\widehat {AKC} = \widehat {AEC} = {90^o}\) nên K, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Vậy AKCE là tứ giác nội tiếp.
b) Vì AKCE là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {KAE} + \widehat {KCE} = {180^o}\).
Mặt khác, AKMB là tứ giác nội tiếp (O;R) nên \(\widehat {KAE} + \widehat {KMB} = {180^o}\).
Suy ra \(\widehat {KCE} = \widehat {KMB}\) (cùng bù với \(\widehat {KAE}\)); mà \(\widehat {KCE} = \widehat {MCB}\) (góc đối đỉnh) nên \(\widehat {KMB} = \widehat {MCB}\left( { = \widehat {KCE}} \right)\).
Xét \(\Delta BMK\) và \(\Delta BCM\) có:
+ \(\widehat {MBC}\) chung;
+ \(\widehat {KMB} = \widehat {MCB}\) (chứng minh trên).
Do đó $\Delta BMK\backsim \Delta BCM$ (g.g), suy ra \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BM}}\), như vậy \(B{M^2} = BC.BK\).
c) Xét \(\Delta IAB\) có hai đường cao BK, IE cắt nhau tại C, do đó C là trực tâm \(\Delta IAB\).
Khi đó AD cũng là đường cao của \(\Delta IAB\), hay \(AD \bot IB\).
Vì \(\widehat {ADB} = {90^o}\) nên D thuộc đường tròn đường kính AB, hay D thuộc (O;R).
Vì tứ giác AKDB nội tiếp (O;R) nên \(\widehat {DKB} = \widehat {DAB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BD).
Mà tứ giác AKCE nội tiếp (chứng minh trên) nên \(\widehat {BKE} = \widehat {DAB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung CE).
Suy ra \(\widehat {DKB} = \widehat {BKE}\left( { = \widehat {DAB}} \right)\) hay KB là phân giác của \(\widehat {DKE}\).
Vì \(\widehat {CDB} = \widehat {CEB} = {90^o}\) nên D, E thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BDCE nội tiếp.
Khi đó \(\widehat {EBC} = \widehat {EDC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung CE).
Mà tứ giác AKDB nội tiếp nên \(\widehat {EBC} = \widehat {CDK}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AK).
Suy ra \(\widehat {EDC} = \widehat {CDK}\left( { = \widehat {EBC}} \right)\) hay DC là phân giác của \(\widehat {KDE}\).
Xét \(\Delta DEK\) có các đường phân giác góc \(\widehat {DKE}\), \(\widehat {KDE}\) cắt nhau tại C.
Do đó, C là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEK\), hay C cách đều các cạnh của \(\Delta DEK\).
Câu 5:(0,5 điểm) Công ty sản xuất thùng gỗ muốn thiết kế số lượng lớn thùng đựng hàng hóa bên trong, dang hình lăng trụ tứ giác đều không nắp với thể tích là 62,5 \(d{m^3}\). Để tiết kiệm vật gỗ làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Hỏi S có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Phương pháp
Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ (dm; a > 0).
Biểu diễn diện tích S theo a.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, tìm giá trị nhỏ nhất của S.
Lời giải
Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ (dm; a > 0).
Thùng gỗ là lăng trụ tứ giác đều nên đáy thùng là hình vuông có diện tích \({a^2}\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).
Thể tích lăng trụ là 62,5 \(d{m^3}\) nên chiều cao là \(h = \frac{{62,5}}{{{a^2}}}\) (dm).
Diện tích gỗ làm một chiếc thùng là:
\(S = 4.\frac{{62,5}}{{{a^2}}}.a + {a^2} = \frac{{250}}{a} + {a^2} = \frac{{125}}{a} + \frac{{125}}{a} + {a^2}\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \(\frac{{125}}{a}\), \(\frac{{125}}{a}\), \({a^2}\), ta có:
\(S = \frac{{125}}{a} + \frac{{125}}{a} + {a^2} \ge 3.\sqrt[3]{{\frac{{125}}{a}.\frac{{125}}{a}.{a^2}}} = 75\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{{125}}{a} = {a^2}\), suy ra a = 5.
Vậy S nhỏ nhất bằng 75 \(d{m^2}\) khi độ dài cạnh đáy là 5 dm.
Tải về
Câu 1:(1,5 điểm)
1) Cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kilogam) có kết quả như sau:
Mẫu số liệu thống kê ở trên đã được ghép thành năm nhóm ứng với năm nửa khoảng: [50;55), [55;60), [60;65), [65;70), [70;75). Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên và tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [50;55).
2) Một hộp đựng 20 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: “Số ghi trên tấm thẻ là bội của 4”.
Câu 2:(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(P = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x }}{{x - 4}}\) và \(Q = \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\) (với \(x \ge 0\), \(x \ne 4\)).
1) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 9.
2) Rút gọn biểu thức P.
3) Biết \(M = \frac{P}{Q}\). Tìm các giá trị của x để M = 18.
Câu 3:(2,5 điểm)
1) Mai mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 165 000 đồng, trong đó đã tính 15 000 đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là VAT). Biết rằng thuế VAT với loại hàng thứ nhất là 12%, thuế VAT với loại hàng thứ hai là 9%. Hỏi nếu không kể thuế thì Mai phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?
2) Hưởng ứng phong trào thi đua “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”, lớp 9A trường THCS Hoàng Hoa Thám dự định trồng 300 cây xanh. Đến ngày lao động, có 5 bạn được Liên Đội triệu tập tham gia chiến dịch an toàn giao thông nên mỗi bạn còn lại phải trồng thêm 2 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh?
3) Phương trình \({x^2} - 2x - m + 1 = 0\) (m là tham số) có một nghiệm là \(x = 1 + \sqrt 7 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = {x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1}\).
Câu 4:(4 điểm)
1) Trong truyện ngụ ngôn La Phông ten, Cò mời Cáo đến ăn tiệc với món súp hảo hạng. Món súp đó Cò thường cho vào một cái bình hình trụ, có bán kính đáy là 4 cm, chiều cao 30 cm. Nhưng khi Cáo đến, Cò chỉ đổ súp sao cho phần súp trong bình đó cao 10 cm và mới Cáo dùng bữa.
a) Tính thể tích của phần súp mà Cò mời Cáo ăn.
b) Cổ của Cáo quá ngắn nên không thể lấy được súp, Cáo nhìn quanh và phát hiện ra nhà Cò có những viên sỏi hình cầu giống hệt nhau, bán kính 2 cm. Cáo bèn cho từng viên sỏi vào bình súp đến khi súp dâng lên vừa đầy đến miệng bình rồi Cáo thảnh thơi ăn súp. Hỏi Cáo đã cho vào bình bao nhiêu viên sỏi?
2) Cho đường tròn (O;R) và dây MN cố định (MN < 2R). Kẻ đường kính AB vuông góc với dây MN tại E (điểm A thuộc cung nhỏ MN). Lấy điểm C thuộc dây MN (C khác M, N, E). Đường thẳng BC cắt (O;R) tại điểm K (K khác B).
a) Chứng minh AKCE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(B{M^2} = BK.BC\).
c) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AK và MN; D là giao điểm của hai đường thẳng AC và BI. Chứng minh C cách đều ba cạnh của \(\Delta DEK\).
Câu 5:(0,5 điểm) Công ty sản xuất thùng gỗ muốn thiết kế số lượng lớn thùng đựng hàng hóa bên trong, dang hình lăng trụ tứ giác đều không nắp với thể tích là 62,5 \(d{m^3}\). Để tiết kiệm vật gỗ làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Hỏi S có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Câu 1:(1,5 điểm)
1) Cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kilogam) có kết quả như sau:
Mẫu số liệu thống kê ở trên đã được ghép thành năm nhóm ứng với năm nửa khoảng: [50;55), [55;60), [60;65), [65;70), [70;75). Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên và tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [50;55).
2) Một hộp đựng 20 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: “Số ghi trên tấm thẻ là bội của 4”.
Phương pháp
1) Xác định tần số cho các nhóm để lập bảng tần số ghép nhóm.
Tần số tương đối của nhóm bằng: tần số của nhóm : tổng . 100%.
2) Xác định không gian mẫu của phép thử, tính số phần tử của không gian mẫu.
Tính số kết quả thuận lợi của biến cố.
Xác suất của biến cố = số kết quả thuận lợi của biến cố : số phần tử của không gian mẫu.
Lời giải
1) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên:
Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [50;55) là \(\frac{5}{{40}}.100\% = 12,5\% \).
2) Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 20\).
Kết quả thuận lợi cho biến cố A là {4; 8; 12; 16; 20}, suy ra n(A) = 5.
Vậy xác suất của biến cố A là \(P(A) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}\).
Câu 2:(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(P = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x }}{{x - 4}}\) và \(Q = \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\) (với \(x \ge 0\), \(x \ne 4\)).
1) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 9.
2) Rút gọn biểu thức P.
3) Biết \(M = \frac{P}{Q}\). Tìm các giá trị của x để M = 18.
Phương pháp
1) Kiểm tra điều kiện của x. Nếu thỏa mãn, thay x = 9 vào Q.
2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.
3) Rút gọn \(M = \frac{P}{Q}\) rồi giải phương trình M = 18.
Lời giải
1) Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào Q, ta được:
\(Q = \frac{1}{{\sqrt 9 + 2}} = \frac{1}{{3 + 2}} = \frac{1}{5}\).
Vậy khi x = 9 thì \(Q = \frac{1}{5}\).
2) \(P = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x }}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0\), \(x \ne 4\))
\( = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{3x - 6\sqrt x - x - 2\sqrt x + 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\).
3) \(M = \frac{P}{Q} = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\frac{1}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}.\left( {\sqrt x + 2} \right) = \frac{{2x}}{{\sqrt x - 2}}\).
Để M = 18 thì \(\frac{{2x}}{{\sqrt x - 2}} = 18\)
\(2x = 18\left( {\sqrt x - 2} \right)\)
\(2x - 18\sqrt x + 36 = 0\)
\(x - 9\sqrt x + 18 = 0\).
Giải phương trình trên, ta được \(\sqrt x = 3\) hoặc \(\sqrt x = 6\).
Suy ra x = 9 hoặc x = 36 (cả hai nghiệm đều thỏa mãn).
Vậy để M = 18 thì \(x \in \{ 9;36\} \).
Câu 3:(2,5 điểm)
1) Mai mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 165 000 đồng, trong đó đã tính 15 000 đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là VAT). Biết rằng thuế VAT với loại hàng thứ nhất là 12%, thuế VAT với loại hàng thứ hai là 9%. Hỏi nếu không kể thuế thì Mai phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?
2) Hưởng ứng phong trào thi đua “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”, lớp 9A trường THCS Hoàng Hoa Thám dự định trồng 300 cây xanh. Đến ngày lao động, có 5 bạn được Liên Đội triệu tập tham gia chiến dịch an toàn giao thông nên mỗi bạn còn lại phải trồng thêm 2 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh?
3) Phương trình \({x^2} - 2x - m + 1 = 0\) (m là tham số) có một nghiệm là \(x = 1 + \sqrt 7 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = {x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1}\).
Phương pháp
1) Gọi x, y lần lượt là số tiền của loại hàng thứ nhất và loại hàng thứ hai không kể thuế VAT mà Mai đã mua (đồng; x , y > 0).
Biểu diễn tổng số tiền Mai phải trả và tổng số tiền thuế theo x, y.
Lập hệ phương trình, giải hệ tìm x, y.
2) Gọi số học sinh lớp 9A là x (học sinh; \(x \in {\mathbb{N}^*}\), x > 5).
Biểu diễn số cây mỗi học sinh phải trồng theo kế hoạch và thực tế.
Vì thực tế mỗi học sinh phải trồng thêm 2 cây so với kế hoạch nên ta lập được phương trình.
Giải phương trình và kết luận.
3) Thay nghiệm vào phương trình, tính m.
Biến đổi biểu thức và áp dụng định lí Viète: \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\); \(P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).
Lời giải
1) Gọi x, y lần lượt là số tiền của loại hàng thứ nhất và loại hàng thứ hai không kể thuế VAT mà Mai đã mua (đồng; x , y > 0).
Số tiền thuế của hai loại hàng lần lượt là 12%x = 0,12x (đồng) và 9%y = 0,09y (đồng).
Vì tổng số tiền thuế là 15 000 đồng nên ta có phương trình \(0,12x + 0,09y = 15000\) (1)
Số tiền mua loại hàng thứ nhất sau tính thuế là x + 0,12x = 1,12x (đồng), số tiền mua loại hàng thứ hai sau tính thuế là y + 0,09y = 1,09y (đồng).
Vì số tiền phải trả tổng cộng là 165 000 cả thuế nên ta có phương trình \(1,12x + 1,09y = 165000\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0,12x + 0,09 = 15000\\1,12x + 1,09y = 165000\end{array} \right.\)
Giải hệ trên, ta được x = 50 000 (thỏa mãn) và y = 100 000 (thỏa mãn).
Vậy giá tiền không kể thuế của loại hàng thứ nhất là 50 000 đồng, giá tiền không kể thuế của loại hàng thứ hai là 100 000 đồng.
2) Gọi số học sinh lớp 9A là x (học sinh; \(x \in {\mathbb{N}^*}\), x > 5).
Số học sinh thực tế tham gia trồng cây là x – 5 (học sinh).
Theo kế hoạch, mỗi học sinh phải trồng \(\frac{{300}}{x}\) (cây).
Thực tế, mỗi học sinh phải trồng \(\frac{{300}}{{x - 5}}\) (cây).
Vì thực tế, mỗi học sinh phải trồng thêm 2 cây so với kế hoạch nên ta có phương trình:
\(\frac{{300}}{{x - 5}} - \frac{{300}}{x} = 2\)
\(\frac{{300x}}{{x(x - 5)}} - \frac{{300(x - 5)}}{{x(x - 5)}} = \frac{{2x(x - 5)}}{{x(x - 5)}}\)
\(300x - 300(x - 5) = 2x(x - 5)\)
\(300x - 300x + 1500 = 2{x^2} - 10x\)
\(2{x^2} - 10x - 1500 = 0\)
\({x^2} - 5x - 750 = 0\).
Giải phương trình trên, được x = 30 (thỏa mãn) và x = -25 (loại).
Vậy lớp 9A có 30 học sinh.
3) Thay \(x = 1 + \sqrt 7 \) vào phương trình, ta có: \({\left( {1 + \sqrt 7 } \right)^2} - 2\left( {1 + \sqrt 7 } \right) - m + 1 = 0\)
\(8 + 2\sqrt 7 - 2 - 2\sqrt 7 - m + 1 = 0\)
\(m = 7\).
Vậy phương trình đã cho là \({x^2} - 2x - 6 = 0\).
Gọi \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.
Áp dụng hệ thức Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 2}}{1} = 2\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 6}}{1} = - 6\end{array} \right.\)
Ta có \(A = {x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1} = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 6.2 = - 12\).
Vậy A = -12.
Câu 4:(4 điểm)
1) Trong truyện ngụ ngôn La Phông ten, Cò mời Cáo đến ăn tiệc với món súp hảo hạng. Món súp đó Cò thường cho vào một cái bình hình trụ, có bán kính đáy là 4 cm, chiều cao 30 cm. Nhưng khi Cáo đến, Cò chỉ đổ súp sao cho phần súp trong bình đó cao 10 cm và mới Cáo dùng bữa.
a) Tính thể tích của phần súp mà Cò mời Cáo ăn.
b) Cổ của Cáo quá ngắn nên không thể lấy được súp, Cáo nhìn quanh và phát hiện ra nhà Cò có những viên sỏi hình cầu giống hệt nhau, bán kính 2 cm. Cáo bèn cho từng viên sỏi vào bình súp đến khi súp dâng lên vừa đầy đến miệng bình rồi Cáo thảnh thơi ăn súp. Hỏi Cáo đã cho vào bình bao nhiêu viên sỏi?
2) Cho đường tròn (O;R) và dây MN cố định (MN < 2R). Kẻ đường kính AB vuông góc với dây MN tại E (điểm A thuộc cung nhỏ MN). Lấy điểm C thuộc dây MN (C khác M, N, E). Đường thẳng BC cắt (O;R) tại điểm K (K khác B).
a) Chứng minh AKCE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(B{M^2} = BK.BC\).
c) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AK và MN; D là giao điểm của hai đường thẳng AC và BI. Chứng minh C cách đều ba cạnh của \(\Delta DEK\).
Phương pháp
1)
a) Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ \(V = \pi {r^2}h\).
b) Thể tích các viên sỏi = Thể tích bình – Thể tích lượng nước ban đầu.
Tính thể tích mỗi viên sỏi áp dụng công thức \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\).
Số viên sỏi = Thể tích các viên sỏi : Thể tích mỗi viên sỏi.
2)
a) Chứng minh \(\widehat {AKC} = \widehat {AEC} = {90^o}\) suy ra K, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
b) Chứng minh $\Delta BMK\backsim \Delta BCM$ (g.g) rồi suy ra tỉ lệ thức.
c) Chứng minh C là giao điểm của hai đường phân giác trong \(\Delta DEK\).
Lời giải
1)
a) Thể tích phần súp Cò mới Cáo ăn là \({V_1} = \pi {.4^2}.10 = 160\pi \) \(\left( {c{m^3}} \right)\).
b) Thể tích bình trụ là \({V_0} = \pi {.4^2}.30 = 480\pi \) \(\left( {c{m^3}} \right)\).
Vì súp dâng đầy bình khi Cáo thả các viên sỏi vào nên thể tích các viên sỏi là:
\(V = {V_0} - {V_1} = 480\pi - 160\pi = 320\pi \) \(\left( {c{m^3}} \right)\).
Thể tích 1 viên sỏi là \({V_{soi}} = \frac{4}{3}\pi {.2^3} = \frac{{32}}{3}\pi \) \(\left( {c{m^3}} \right)\).
Số viên sỏi được thả vào bình là \(320\pi :\frac{{32}}{3}\pi = 30\) (viên).
Vậy Cáo đã cho 30 viên sỏi vào bình.
2)
a) Vì K thuộc đường tròn đường kính AB nên \(\widehat {AKC} = {90^o}\).
Theo giả thiết, \(MN \bot AB\) nên \(\widehat {AEC} = {90^o}\).
Vì \(\widehat {AKC} = \widehat {AEC} = {90^o}\) nên K, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Vậy AKCE là tứ giác nội tiếp.
b) Vì AKCE là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {KAE} + \widehat {KCE} = {180^o}\).
Mặt khác, AKMB là tứ giác nội tiếp (O;R) nên \(\widehat {KAE} + \widehat {KMB} = {180^o}\).
Suy ra \(\widehat {KCE} = \widehat {KMB}\) (cùng bù với \(\widehat {KAE}\)); mà \(\widehat {KCE} = \widehat {MCB}\) (góc đối đỉnh) nên \(\widehat {KMB} = \widehat {MCB}\left( { = \widehat {KCE}} \right)\).
Xét \(\Delta BMK\) và \(\Delta BCM\) có:
+ \(\widehat {MBC}\) chung;
+ \(\widehat {KMB} = \widehat {MCB}\) (chứng minh trên).
Do đó $\Delta BMK\backsim \Delta BCM$ (g.g), suy ra \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BM}}\), như vậy \(B{M^2} = BC.BK\).
c) Xét \(\Delta IAB\) có hai đường cao BK, IE cắt nhau tại C, do đó C là trực tâm \(\Delta IAB\).
Khi đó AD cũng là đường cao của \(\Delta IAB\), hay \(AD \bot IB\).
Vì \(\widehat {ADB} = {90^o}\) nên D thuộc đường tròn đường kính AB, hay D thuộc (O;R).
Vì tứ giác AKDB nội tiếp (O;R) nên \(\widehat {DKB} = \widehat {DAB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BD).
Mà tứ giác AKCE nội tiếp (chứng minh trên) nên \(\widehat {BKE} = \widehat {DAB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung CE).
Suy ra \(\widehat {DKB} = \widehat {BKE}\left( { = \widehat {DAB}} \right)\) hay KB là phân giác của \(\widehat {DKE}\).
Vì \(\widehat {CDB} = \widehat {CEB} = {90^o}\) nên D, E thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BDCE nội tiếp.
Khi đó \(\widehat {EBC} = \widehat {EDC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung CE).
Mà tứ giác AKDB nội tiếp nên \(\widehat {EBC} = \widehat {CDK}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AK).
Suy ra \(\widehat {EDC} = \widehat {CDK}\left( { = \widehat {EBC}} \right)\) hay DC là phân giác của \(\widehat {KDE}\).
Xét \(\Delta DEK\) có các đường phân giác góc \(\widehat {DKE}\), \(\widehat {KDE}\) cắt nhau tại C.
Do đó, C là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEK\), hay C cách đều các cạnh của \(\Delta DEK\).
Câu 5:(0,5 điểm) Công ty sản xuất thùng gỗ muốn thiết kế số lượng lớn thùng đựng hàng hóa bên trong, dang hình lăng trụ tứ giác đều không nắp với thể tích là 62,5 \(d{m^3}\). Để tiết kiệm vật gỗ làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Hỏi S có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Phương pháp
Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ (dm; a > 0).
Biểu diễn diện tích S theo a.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, tìm giá trị nhỏ nhất của S.
Lời giải
Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ (dm; a > 0).
Thùng gỗ là lăng trụ tứ giác đều nên đáy thùng là hình vuông có diện tích \({a^2}\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).
Thể tích lăng trụ là 62,5 \(d{m^3}\) nên chiều cao là \(h = \frac{{62,5}}{{{a^2}}}\) (dm).
Diện tích gỗ làm một chiếc thùng là:
\(S = 4.\frac{{62,5}}{{{a^2}}}.a + {a^2} = \frac{{250}}{a} + {a^2} = \frac{{125}}{a} + \frac{{125}}{a} + {a^2}\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \(\frac{{125}}{a}\), \(\frac{{125}}{a}\), \({a^2}\), ta có:
\(S = \frac{{125}}{a} + \frac{{125}}{a} + {a^2} \ge 3.\sqrt[3]{{\frac{{125}}{a}.\frac{{125}}{a}.{a^2}}} = 75\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{{125}}{a} = {a^2}\), suy ra a = 5.
Vậy S nhỏ nhất bằng 75 \(d{m^2}\) khi độ dài cạnh đáy là 5 dm.
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 tại Hà Nội là một bước ngoặt quan trọng trong sự nghiệp học tập của mỗi học sinh. Để đạt được kết quả tốt nhất, việc luyện tập với các đề tham khảo là vô cùng cần thiết. Đề tham khảo thi vào 10 môn Toán Hà Nội năm 2025 - Đề số 11 của toan11.edu.vn được thiết kế để đáp ứng nhu cầu này.
Đề thi bao gồm các dạng bài tập thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào 10 tại Hà Nội, bao gồm:
Câu 1: Giải phương trình x2 - 5x + 6 = 0. Đây là một bài toán cơ bản về phương trình bậc hai. Học sinh cần nắm vững các phương pháp giải phương trình bậc hai như phân tích thành nhân tử, sử dụng công thức nghiệm, hoặc hoàn thành bình phương.
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài cạnh BC và diện tích tam giác ABC. Đây là một bài toán ứng dụng định lý Pitago và công thức tính diện tích tam giác vuông. Học sinh cần nhớ rõ các định lý và công thức này để giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và chính xác.
Câu 3: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p + 2 cũng là số nguyên tố. Đây là một bài toán về số nguyên tố. Học sinh cần hiểu rõ định nghĩa về số nguyên tố và sử dụng các phương pháp kiểm tra tính nguyên tố để giải quyết bài toán.
Đáp án và lời giải chi tiết của từng câu hỏi trong đề thi sẽ được cung cấp đầy đủ để giúp học sinh hiểu rõ cách giải và tự kiểm tra kết quả của mình. Các lời giải được trình bày một cách dễ hiểu, logic và có kèm theo các chú thích quan trọng.
Việc ôn tập theo đề tham khảo không chỉ giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi mà còn giúp các em đánh giá được năng lực bản thân và xác định những kiến thức còn yếu để tập trung ôn tập. Đồng thời, việc giải đề tham khảo còn giúp học sinh rèn luyện kỹ năng làm bài thi, quản lý thời gian và tránh những sai sót không đáng có.
Ngoài đề tham khảo số 11, toan11.edu.vn còn cung cấp nhiều đề tham khảo khác cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Hà Nội năm 2025. Các em có thể truy cập website để tìm hiểu thêm và lựa chọn những đề thi phù hợp với trình độ của mình.
Đề tham khảo thi vào 10 môn Toán Hà Nội năm 2025 - Đề số 11 của toan11.edu.vn là một công cụ hữu ích giúp các em học sinh ôn tập và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi quan trọng này. Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
