toan11.edu.vn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Sơn La năm 2020. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Bộ đề thi này bao gồm đề thi chính thức và đáp án chi tiết, được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm. Các em có thể sử dụng để tự học, ôn tập hoặc làm bài kiểm tra đánh giá năng lực.
Câu 1: Cho biểu thức:
Câu 1:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Câu 2:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
Câu 3:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\) b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\) c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\)
Câu 4:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Câu 5:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Câu 6:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
c) Dây cung \(EF\) thay đổi nhưng luôn đi qua \(H\). Chứng minh \(AO\) là tia phân giác góc \(\angle EAF\).
Câu 1 (1,5 điểm)
Cách giải:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 4 \ne 0\\\sqrt x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\\sqrt x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\end{array} \right..\)
Vậy biểu thức \(A\) xác định khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Điều kiện:\(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\,\, = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x - 2 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{x - 4}}{{x - 4}} = 1.\end{array}\)
Vậy \(A = 1\) khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
Câu 2 (1,0 điểm)
Cách giải:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
+ Vẽ đồ thị hàm số.
Vẽ đường thẳng \(y = x + 2\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \(0\) | \( - 2\) |
\(y\) | \(2\) | \(0\) |
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = x + 2\) là đường thẳng đi qua các điểm \(\left( {0;2} \right);\,\,\left( { - 2;0} \right)\).
Vẽ parabol \(y = {x^2}\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | 0 | 1 | 2 |
\(y\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
\( \Rightarrow \) Parabol \(y = {x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right)\), \(\left( { - 1;1} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\), \(\left( {2;4} \right)\) và nhận trục \(Oy\) là trục đối xứng.
Vẽ đồ thị hàm số:
Cách 1:
Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại hai điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\).
Cách 2:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x + 2 = {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1 \Rightarrow A\left( { - 1;1} \right)\).
Với \(x = 2 \Rightarrow y = {2^2} = 4 \Rightarrow B\left( {2;4} \right)\).
Vậy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại 2 điểm có tọa độ là \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( {2;4} \right)\).
Câu 3 (2,0 điểm)
Cách giải:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \dfrac{x}{2} = 2020 - \dfrac{{2035}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{{2005}}{2}\\ \Leftrightarrow x = 2005.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2005.\)
b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = 2 + 6 = 8 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt 2 + \sqrt 8 = \sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \\{x_2} = \sqrt 2 - \sqrt 8 = \sqrt 2 - 2\sqrt 2 = - \sqrt 2 \end{array} \right..\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\,\,3\sqrt 2 } \right\}.\)
c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\,\left( * \right)\)
Điều kiện: \(x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2.\dfrac{{3{x^2}}}{{x + 3}} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{{3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2} + 3x - 3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Đặt \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = t\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 6t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 7t - t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 7} \right) - \left( {t + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 7} \right)\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 7 = 0\\t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 7\\t = 1\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(t = - 7\) ta có: \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = - 7\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = - 7x - 21\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 21 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = {7^2} - 4.21 = - 35 < 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
+) Với \(t = 1\) ta có:\(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 3 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = 1 + 4.3 = 13 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\{x_2} = \dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:\(S = \left\{ {\dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2};\,\,\,\dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}.\)
Câu 4 (1,0 điểm)
Cách giải:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Để phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\)có hai nghiệm dương thì:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 1} \right) \ge 0\\ - 2\left( {m - 3} \right) > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - m + 1 \ge 0\\m - 3 < 0\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\m < 3\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\,\left( 1 \right)\\1 < m < 3\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét bất phương trình \({m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 5m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) - 5\left( {m - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 5} \right) \ge 0\end{array}\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ge 0\\m - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\).
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \le 0\\m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\).
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\).
Khi đó hệ (*) trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\\1 < m < 3\end{array} \right. \Rightarrow 1 < m \le 2\).
Vậy \(1 < m \le 2\).
Câu 5 (1,0 điểm)
Cách giải:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(x,\,\,y\) (mét) (ĐK: \(x > y > 2\)).
Vì diện tích mảnh vườn là \(480{m^2}\) nên ta có phương trình \(xy = 480\,\,\left( 1 \right)\).
Nếu tăng chiều dài lên 8m thì chiều dài mới là \(x + 8\,\,\left( m \right)\).
giảm chiều rộng đi 2m thì chiều chiều rộng mới là \(y - 2\,\,\left( m \right)\).
Khi đó diện tích mảnh vườn không thy đổi nên ta có phương trình
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {x + 8} \right)\left( {y - 2} \right) = 480\\ \Leftrightarrow xy - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 480 - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 2x - 8y = - 16\\ \Leftrightarrow x - 4y = - 8\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x - 4y = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {4y - 8} \right).y = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{y^2} - 8y - 480 = 0\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 2y - 120 = 0\,\,\left( * \right)\\x = 4y - 8\end{array} \right.\)
Xét phương trình (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{y^2} - 2y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} - 12y + 10y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y - 12} \right) + 10\left( {y - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 12} \right)\left( {y + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 12 = 0\\y + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = - 10\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(y = 12\) \( \Rightarrow x = 4.12 - 8 = 40\).
Vậy chu vi của mảnh vườn đó là \(C = 2\left( {x + y} \right) = 2\left( {40 + 12} \right) = 104\,\,\left( m \right)\).
Câu 6 (1,0 điểm)
Cách giải:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
Ta có: \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(ABOC\) ta có:
\(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện
\( \Rightarrow \angle ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
Ta có:\(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\( \Rightarrow AO\) là đường trung trực của \(BC\)
\( \Rightarrow AO \bot BC = \left\{ H \right\}\)
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) ta có:
\(AB = \sqrt {A{O^2} - O{B^2}} = \sqrt {9{R^2} - {R^2}} = 2\sqrt 2 R.\)
Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BH\) ta có:
\(\begin{array}{l}BH = \dfrac{{OB.AB}}{{AO}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R.R}}{{3R}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R}}{3}.\\AH = \dfrac{{A{B^2}}}{{AO}} = \dfrac{{8{R^2}}}{{3R}} = \dfrac{{8R}}{3}\\ \Rightarrow BC = 2BH = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}R.\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{8R}}{3}.\dfrac{{4\sqrt 2 R}}{3} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}\,\,\,\,\left( {dvdt} \right).\end{array}\)
Vậy khi \(OA = 3R\) thì \({S_{ABC}} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}.\)
Câu 1:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Câu 2:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
Câu 3:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\) b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\) c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\)
Câu 4:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Câu 5:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Câu 6:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
c) Dây cung \(EF\) thay đổi nhưng luôn đi qua \(H\). Chứng minh \(AO\) là tia phân giác góc \(\angle EAF\).
Câu 1 (1,5 điểm)
Cách giải:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 4 \ne 0\\\sqrt x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\\sqrt x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\end{array} \right..\)
Vậy biểu thức \(A\) xác định khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Điều kiện:\(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\,\, = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x - 2 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{x - 4}}{{x - 4}} = 1.\end{array}\)
Vậy \(A = 1\) khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
Câu 2 (1,0 điểm)
Cách giải:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
+ Vẽ đồ thị hàm số.
Vẽ đường thẳng \(y = x + 2\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \(0\) | \( - 2\) |
\(y\) | \(2\) | \(0\) |
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = x + 2\) là đường thẳng đi qua các điểm \(\left( {0;2} \right);\,\,\left( { - 2;0} \right)\).
Vẽ parabol \(y = {x^2}\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | 0 | 1 | 2 |
\(y\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
\( \Rightarrow \) Parabol \(y = {x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right)\), \(\left( { - 1;1} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\), \(\left( {2;4} \right)\) và nhận trục \(Oy\) là trục đối xứng.
Vẽ đồ thị hàm số:
Cách 1:
Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại hai điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\).
Cách 2:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x + 2 = {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1 \Rightarrow A\left( { - 1;1} \right)\).
Với \(x = 2 \Rightarrow y = {2^2} = 4 \Rightarrow B\left( {2;4} \right)\).
Vậy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại 2 điểm có tọa độ là \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( {2;4} \right)\).
Câu 3 (2,0 điểm)
Cách giải:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \dfrac{x}{2} = 2020 - \dfrac{{2035}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{{2005}}{2}\\ \Leftrightarrow x = 2005.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2005.\)
b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = 2 + 6 = 8 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt 2 + \sqrt 8 = \sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \\{x_2} = \sqrt 2 - \sqrt 8 = \sqrt 2 - 2\sqrt 2 = - \sqrt 2 \end{array} \right..\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\,\,3\sqrt 2 } \right\}.\)
c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\,\left( * \right)\)
Điều kiện: \(x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2.\dfrac{{3{x^2}}}{{x + 3}} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{{3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2} + 3x - 3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Đặt \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = t\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 6t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 7t - t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 7} \right) - \left( {t + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 7} \right)\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 7 = 0\\t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 7\\t = 1\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(t = - 7\) ta có: \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = - 7\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = - 7x - 21\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 21 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = {7^2} - 4.21 = - 35 < 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
+) Với \(t = 1\) ta có:\(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 3 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = 1 + 4.3 = 13 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\{x_2} = \dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:\(S = \left\{ {\dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2};\,\,\,\dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}.\)
Câu 4 (1,0 điểm)
Cách giải:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Để phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\)có hai nghiệm dương thì:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 1} \right) \ge 0\\ - 2\left( {m - 3} \right) > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - m + 1 \ge 0\\m - 3 < 0\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\m < 3\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\,\left( 1 \right)\\1 < m < 3\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét bất phương trình \({m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 5m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) - 5\left( {m - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 5} \right) \ge 0\end{array}\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ge 0\\m - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\).
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \le 0\\m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\).
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\).
Khi đó hệ (*) trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\\1 < m < 3\end{array} \right. \Rightarrow 1 < m \le 2\).
Vậy \(1 < m \le 2\).
Câu 5 (1,0 điểm)
Cách giải:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(x,\,\,y\) (mét) (ĐK: \(x > y > 2\)).
Vì diện tích mảnh vườn là \(480{m^2}\) nên ta có phương trình \(xy = 480\,\,\left( 1 \right)\).
Nếu tăng chiều dài lên 8m thì chiều dài mới là \(x + 8\,\,\left( m \right)\).
giảm chiều rộng đi 2m thì chiều chiều rộng mới là \(y - 2\,\,\left( m \right)\).
Khi đó diện tích mảnh vườn không thy đổi nên ta có phương trình
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {x + 8} \right)\left( {y - 2} \right) = 480\\ \Leftrightarrow xy - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 480 - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 2x - 8y = - 16\\ \Leftrightarrow x - 4y = - 8\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x - 4y = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {4y - 8} \right).y = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{y^2} - 8y - 480 = 0\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 2y - 120 = 0\,\,\left( * \right)\\x = 4y - 8\end{array} \right.\)
Xét phương trình (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{y^2} - 2y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} - 12y + 10y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y - 12} \right) + 10\left( {y - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 12} \right)\left( {y + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 12 = 0\\y + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = - 10\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(y = 12\) \( \Rightarrow x = 4.12 - 8 = 40\).
Vậy chu vi của mảnh vườn đó là \(C = 2\left( {x + y} \right) = 2\left( {40 + 12} \right) = 104\,\,\left( m \right)\).
Câu 6 (1,0 điểm)
Cách giải:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
Ta có: \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(ABOC\) ta có:
\(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện
\( \Rightarrow \angle ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
Ta có:\(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\( \Rightarrow AO\) là đường trung trực của \(BC\)
\( \Rightarrow AO \bot BC = \left\{ H \right\}\)
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) ta có:
\(AB = \sqrt {A{O^2} - O{B^2}} = \sqrt {9{R^2} - {R^2}} = 2\sqrt 2 R.\)
Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BH\) ta có:
\(\begin{array}{l}BH = \dfrac{{OB.AB}}{{AO}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R.R}}{{3R}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R}}{3}.\\AH = \dfrac{{A{B^2}}}{{AO}} = \dfrac{{8{R^2}}}{{3R}} = \dfrac{{8R}}{3}\\ \Rightarrow BC = 2BH = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}R.\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{8R}}{3}.\dfrac{{4\sqrt 2 R}}{3} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}\,\,\,\,\left( {dvdt} \right).\end{array}\)
Vậy khi \(OA = 3R\) thì \({S_{ABC}} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}.\)
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của mỗi học sinh. Để đạt kết quả tốt nhất, việc chuẩn bị kỹ lưỡng là vô cùng cần thiết. Đề thi vào 10 môn Toán Sơn La năm 2020 là một nguồn tài liệu quý giá, giúp học sinh làm quen với dạng đề và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề thi vào 10 môn Toán Sơn La năm 2020 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải quyết câu hỏi này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về phương trình bậc hai, phương trình bậc ba, và các phương pháp giải phương trình khác. Cần chú ý đến điều kiện xác định của phương trình và kiểm tra lại nghiệm sau khi giải.
Để giải quyết câu hỏi này, học sinh cần nắm vững các công thức tính diện tích tam giác, các định lý về tam giác, và các kỹ năng vẽ hình. Cần chú ý đến việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp với từng bài toán.
Ngoài đề thi vào 10 môn Toán Sơn La năm 2020, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hãy tự tin vào khả năng của mình và chuẩn bị kỹ lưỡng cho kỳ thi. Đừng quên dành thời gian nghỉ ngơi và thư giãn để có một sức khỏe tốt nhất. Chúc các em thành công!
| Năm | Link tải |
|---|---|
| 2020 | [Link đến đề thi 2020] |
| 2019 | [Link đến đề thi 2019] |
| 2018 | [Link đến đề thi 2018] |
Việc ôn luyện và làm quen với các đề thi qua các năm sẽ giúp học sinh có cái nhìn tổng quan và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tại Sơn La.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
