toan11.edu.vn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Tiền Giang năm 2021. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Bộ đề thi này bao gồm các đề thi chính thức của kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên và không chuyên của tỉnh Tiền Giang năm 2021, được biên soạn và chọn lọc kỹ lưỡng bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của toan11.edu.vn.
Bài I (1,5 điểm): 1) Rút gọn biểu thức:
Bài I (1,5 điểm):
1) Rút gọn biểu thức: \(A = \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt 3 \).
2) Cho biểu thức: \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{x}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\)
a) Rút gọn biểu thức \(B\);
b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(B < 1\).
Bài II (2,5 điểm):
1) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) \({x^2} - 3x + 2 = 0\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\3x - y = 5\end{array} \right.\)
c)\({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\) (1)
2) Viết phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc là 2 và đi qua điểm \(M\left( { - 1;3} \right)\)
Bài III (1,5 điểm):
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\).
a) Vẽ đồ thị parabol \(\left( P \right)\).
b) Bằng phép tính, tìm tất cả những điểm thuộc parabol \(\left( P \right)\) (khác gốc tọa độ \(O\)) có tung độ gấp hai lần hoành độ.
Bài IV (1,5 điểm):
Quãng đường \(AB\) dài \(150\)km. Một xe tải khởi hành đi từ \(A\) đến \(B\), cùng lúc đó một ô tô cũng đi trên quãng đường từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc lớn hơn vận tốc xe tải là \(5\)km/h, nên ô tô đến \(B\) sớm hơn xe tải là \(20\) phút. Tính vận tốc xe tải.
Bài V (3,0 điểm):
1) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại A có \(AB = 3cm\) và \(AC = 4cm\). Tính độ dài cạnh CB và giá trị của \(\tan C\).
Vậy \(BC = 5cm\) và \(\tan C = \dfrac{3}{4}\).
2) Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\). Lấy điểm \(C\) thuộc nửa đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho \(CA < CB\). Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\), đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(H\) cắt dây \(CB\) và tia \(AC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\).
a) Chứng minh rằng bốn điểm \(A,\,\,C,\,\,D,\,\,H\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \(I\) là trung điểm \(DE\). Chứng minh rằng \(IC\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\).
c) Chứng minh rằng \(AC.AE = 3{R^2}\).
Bài I (1,5 điểm):
1) Rút gọn biểu thức: \(A = \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt 3 \).
2) Cho biểu thức: \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{x}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\)
a) Rút gọn biểu thức \(B\);
b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(B < 1\).
Bài II (2,5 điểm):
1) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) \({x^2} - 3x + 2 = 0\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\3x - y = 5\end{array} \right.\)
c)\({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\) (1)
2) Viết phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc là 2 và đi qua điểm \(M\left( { - 1;3} \right)\)
Bài III (1,5 điểm):
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\).
a) Vẽ đồ thị parabol \(\left( P \right)\).
b) Bằng phép tính, tìm tất cả những điểm thuộc parabol \(\left( P \right)\) (khác gốc tọa độ \(O\)) có tung độ gấp hai lần hoành độ.
Bài IV (1,5 điểm):
Quãng đường \(AB\) dài \(150\)km. Một xe tải khởi hành đi từ \(A\) đến \(B\), cùng lúc đó một ô tô cũng đi trên quãng đường từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc lớn hơn vận tốc xe tải là \(5\)km/h, nên ô tô đến \(B\) sớm hơn xe tải là \(20\) phút. Tính vận tốc xe tải.
Bài V (3,0 điểm):
1) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại A có \(AB = 3cm\) và \(AC = 4cm\). Tính độ dài cạnh CB và giá trị của \(\tan C\).
Vậy \(BC = 5cm\) và \(\tan C = \dfrac{3}{4}\).
2) Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\). Lấy điểm \(C\) thuộc nửa đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho \(CA < CB\). Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\), đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(H\) cắt dây \(CB\) và tia \(AC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\).
a) Chứng minh rằng bốn điểm \(A,\,\,C,\,\,D,\,\,H\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \(I\) là trung điểm \(DE\). Chứng minh rằng \(IC\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\).
c) Chứng minh rằng \(AC.AE = 3{R^2}\).
Bài I:
Phương pháp:
1) Vận dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
2) a) Vận dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) xác định mẫu thức chung, cụ thể: \(x - 4 = \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\)
Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán để rút gọn biểu thức \(B\).
b) Yêu cầu đề bài \(B < 1 \Leftrightarrow B - 1 < 0\)
Xác định mẫu thức chung, quy đồng các phân thức, rút gọn biểu thức \(B - 1\).
Chia hai trường hợp để giải bất phương trình \(B - 1 < 0\), cụ thể:
+ Trường hợp 1: Tử số \( > 0\); Mẫu số \( < 0\)
+ Trường hợp 2: Tử số \( < 0\); Mẫu số \( > 0\).
Trong các trường hợp đặc biệt, nếu xác định được dấu của tử số thì ta chỉ cần giải bất phương trình của mẫu số và ngược lại.
Giải các bất phương trình, đối chiếu điều kiện và đưa ra kết luận.
Cách giải:
1) Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt 3 \\A = \left| {2 + \sqrt 3 } \right| - \sqrt 3 \end{array}\)
\(A = 2 + \sqrt 3 - \sqrt 3 \) (do \(2 + \sqrt 3 > 0\))
\(A = 2\).
2) \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{x}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\)
a) ĐKXĐ: \(x \ge 0\), \(x \ne 4\). Ta có:
\(\begin{array}{l}B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{x}{{x - 4}}\\B = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 4}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}} + \dfrac{x}{{x - 4}}\\B = \dfrac{{\sqrt x - 2 + \sqrt x + 2 + x}}{{x - 4}}\\B = \dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{x - 4}}\\B = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\end{array}\)
Vậy với \(x \ge 0\), \(x \ne 4\) thì \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\).
b) Ta có:
\(B < 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} < 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - 1 < 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 2}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x - \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}} < 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt x - 2}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 2 < 0\) (do \(2 > 0\))
\( \Leftrightarrow \sqrt x < 2 \Leftrightarrow x < {2^2} \Leftrightarrow x < 4\).
Kết hợp với ĐKXĐ ta có \(0 \le x < 4\) thì \(B < 1\).
Bài II:
Phương pháp:
1) a) Phương trình bậc hai một ẩn nhẩm nghiệm nhanh bằng công thức \(a + b + c = 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{c}{a}\) (với \(a \ne 0\))
b) Vận dụng phương pháp cộng đại số xác định nghiệm của hệ phương trình ban đầu.
c) Nhận thấy, phương trình cần giải là phương trình trùng phương nên ta đặt \({x^2} = t\) \(\left( {t \ge 0} \right)\)(*) khi đó phương trình ban đầu quy về phương trình bậc hai ẩn là \(t\)
Giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) đối chiếu điều kiện để xác định \(t\)
Thay \({x^2} = t\) để giải tìm nghiệm \(x\) của phương trình ban đầu và kết luận tập nghiệm của phương trình.
2) Giả sử phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(y = ax + b\)
Vì \(\left( d \right)\) có hệ số góc là 2 nên ta xác định được hệ số \(a\)
Vì \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;3} \right)\) nên ta xác định được hệ số \(b\)
Từ đó kết luận được phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\)
Cách giải:
a) \({x^2} - 3x + 2 = 0\)
Ta có \(a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2\end{array} \right.\).
Vậy phương tình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;2} \right\}\).
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\3x - y = 5\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\3x - y = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2x + y} \right) + \left( {3x - y} \right) = 5 + 5\\3x - y = 5\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 10\\y = 3x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3.2 - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\).
c)\({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\) (1)
Đặt \({x^2} = t\) \(\left( {t \ge 0} \right)\)(*) phương trình (1) trở thành: \({t^2} - 8t - 9 = 0\) (2).
Ta có \(a - b + c = 1 - \left( { - 8} \right) - 9 = 0\) nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\{t_2} = - \dfrac{c}{a} = 9\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = 9 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 3\end{array} \right.\).
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\).
2) Giả sử phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(y = ax + b\)
Vì \(\left( d \right)\) có hệ số góc là 2 nên ta có \(a = 2\).
Vì \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;3} \right)\) nên ta có: \(3 = a.\left( { - 1} \right) + b \Leftrightarrow - a + b = 3\) (*).
Thay \(a = 2\) vào (*) ta có \( - 2 + b = 3 \Leftrightarrow b = 5\).
Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) cần tìm có phương trình là \(y = 2x + 5\).
Bài III:
Phương pháp:
a) Lập bảng giá trị xác định các điểm mà Parabol \(\left( P \right)\) đi qua từ đó vẽ được đồ thị hàm số \(\left( P \right)\).
b) Gọi điểm có tung độ gấp hai lần hoành độ là \(A\left( {m;2m} \right)\,\,\left( {m \ne 0} \right)\).
Vì \(A \in \left( P \right)\) nên thay tọa độ điểm \(A\) và phường trình parabol \(\left( P \right)\) để xác định tham số \(m\), đốii chiếu điều kiện và kết luận.
Cách giải:
a) Parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\) có bề lõm hướng lên và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | \(0\) | 1 | 2 |
\(y = 2{x^2}\) | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
\( \Rightarrow \) Parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\) đi qua các điểm \(\left( { - 2;8} \right)\), \(\left( { - 1;2} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1;2} \right)\), \(\left( {2;8} \right)\).
Đồ thị Parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\):
b) Gọi điểm có tung độ gấp hai lần hoành độ là \(A\left( {m;2m} \right)\,\,\left( {m \ne 0} \right)\).
Vì \(A \in \left( P \right)\) nên ta có: \(2m = 2.{m^2} \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow 2m\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow m = 1\) (do \(m \ne 0\)).
Vậy điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(A\left( {1;2} \right)\).
Bài IV:
Phương pháp:
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, cụ thể:
Gọi vận tốc xe tải là \(x\)\(\left( {km/h} \right)\)\(\left( {x > 0} \right)\), tính được thời gian xe tải đi hết quãng đường.
Gọi vận tốc của ô tô là \(x + 5\,\,\left( {km/h} \right)\), tính được thời gian ô tô đi hết quãng đường
Từ giả thiết thời gian xe ô tô đến \(B\) sớm hơn so với xe tải là \(20\) phút nên lập được phương trình, giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Chú ý: các đại lượng giải toán phải cùng đơn vị đo lường.
Cách giải:
Gọi vận tốc xe tải là \(x\)\(\left( {km/h} \right)\)\(\left( {x > 0} \right)\)
\( \Rightarrow \) Thời gian xe tải đi hết quãng đường \(AB\) là \(\dfrac{{150}}{x}\,\,\left( h \right)\)
Vận tốc của ô tô là \(x + 5\,\,\left( {km/h} \right)\)
\( \Rightarrow \)Thời gian ô tô đi hết quãng đường \(AB\) là \(\dfrac{{150}}{{x + 5}}\,\,\left( h \right)\)
Do thời gian xe ô tô đến \(B\) sớm hơn so với xe tải là \(20\) phút \( = \dfrac{1}{3}\,\,h\) nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{150}}{x} - \dfrac{{150}}{{x + 5}} = \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow 150.3.\left( {x + 5} \right) - 150.3.x = x\left( {x + 5} \right)\\ \Leftrightarrow 450x + 2250 - 450x = {x^2} + 5x\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 2250 = 0\end{array}\)
Ta có: \(\Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 2250} \right) = 9025 = {95^2} > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 5 + 95}}{2} = 45\,\,\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{ - 5 - 95}}{2} = - 50\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy vận tốc xe tải là \(45km/h\).
Bài V:
Phương pháp:
1) Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\), tính được độ dài cạnh \(BC\)
Vận dụng tỉ số lượng của góc nhọn trong tam giác vuông, tính được \(\tan C\).
2) a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp, chứng minh tứ giác \(ACHD\) nội tiếp (vì có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\))
Suy ra \(A,\,\,C,\,\,D,\,\,H\)cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \(\angle ICD = \angle HDB\) và \(\angle DCO = \angle OBD\) mà \(\angle ICO = \angle ICD + \angle DCO = \angle HDB + OBD = {90^0}\)
nên ta có điều phải chứng minh.
c) Chứng minh \(\Delta AHE \sim \Delta ACB\,\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra \(AC.AE = AB.AH = 2R.AH\)
Cách giải:
1) Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = {4^2} + {3^2} = 25\\ \Rightarrow BC = \sqrt {25} = 5\,\,cm\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{3}{4}\).
Vậy \(BC = 5cm\) và \(\tan C = \dfrac{3}{4}\).
2)
a) Ta có \(HD \bot AB\) tại \(H\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(\angle DHA = {90^0}\)
Mà C thuộc nửa đường tròn nên \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle DHA + \angle ACB = {180^0}\)\( \Rightarrow ACHD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AD\) (dhnb).
Vậy \(A,\,\,C,\,\,D,\,\,H\)cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)
b) Ta có \(\angle ECD = {90^0}\) (Bù góc \(\angle ACB = {90^0}\)) nên \(\Delta ECD\) là tam giác vuông tại \(C\).
\(DE\) là cạnh huyền của tam giác vuông \(ECD\) và \(I\) là trung điểm của \(DE\) nên \(IC = ID = IE = \dfrac{1}{2}DE\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền).
\( \Rightarrow \Delta ICD\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow \angle ICD = \angle IDC = \angle HDB\) (đối đỉnh) (1)
Mặt khác, \(\Delta OBC\) cân tại \(O\,\,\left( {OB = OC} \right)\) \( \Rightarrow \angle DCO = \angle OBD\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle ICO = \angle ICD + \angle DCO = \angle HDB + OBD\)
Mà \(\angle OBD + \angle HDB = {90^0}\) (do tam giác \(HBD\) vuông tại \(H\)) \( \Rightarrow \angle ICO = {90^0}\) hay \(IC \bot OC\).
Vậy \(IC\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\).
c) Xét tam giác \(\Delta AHE\) và \(\Delta ACB\) ta có:
\(\angle EAB\) chung;
\(\angle ACB = \angle AHE = {90^0}\);
\( \Rightarrow \Delta AHE \sim \Delta ACB\,\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\) (hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow AC.AE = AB.AH = 2R.AH\) (do \(AB = 2R\))
Mặt khác, ta có \(H\) là trung điểm của \(OB\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(HO = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}R \Rightarrow AH = AO + OH = R + \dfrac{1}{2}R = \dfrac{3}{2}R\).
Vậy \(AC.AE = 2R.\dfrac{3}{2}R = 3{R^2}\) (đpcm).
Bài I:
Phương pháp:
1) Vận dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
2) a) Vận dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) xác định mẫu thức chung, cụ thể: \(x - 4 = \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\)
Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán để rút gọn biểu thức \(B\).
b) Yêu cầu đề bài \(B < 1 \Leftrightarrow B - 1 < 0\)
Xác định mẫu thức chung, quy đồng các phân thức, rút gọn biểu thức \(B - 1\).
Chia hai trường hợp để giải bất phương trình \(B - 1 < 0\), cụ thể:
+ Trường hợp 1: Tử số \( > 0\); Mẫu số \( < 0\)
+ Trường hợp 2: Tử số \( < 0\); Mẫu số \( > 0\).
Trong các trường hợp đặc biệt, nếu xác định được dấu của tử số thì ta chỉ cần giải bất phương trình của mẫu số và ngược lại.
Giải các bất phương trình, đối chiếu điều kiện và đưa ra kết luận.
Cách giải:
1) Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt 3 \\A = \left| {2 + \sqrt 3 } \right| - \sqrt 3 \end{array}\)
\(A = 2 + \sqrt 3 - \sqrt 3 \) (do \(2 + \sqrt 3 > 0\))
\(A = 2\).
2) \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{x}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\)
a) ĐKXĐ: \(x \ge 0\), \(x \ne 4\). Ta có:
\(\begin{array}{l}B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{x}{{x - 4}}\\B = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 4}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}} + \dfrac{x}{{x - 4}}\\B = \dfrac{{\sqrt x - 2 + \sqrt x + 2 + x}}{{x - 4}}\\B = \dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{x - 4}}\\B = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\end{array}\)
Vậy với \(x \ge 0\), \(x \ne 4\) thì \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\).
b) Ta có:
\(B < 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} < 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - 1 < 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 2}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x - \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}} < 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt x - 2}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 2 < 0\) (do \(2 > 0\))
\( \Leftrightarrow \sqrt x < 2 \Leftrightarrow x < {2^2} \Leftrightarrow x < 4\).
Kết hợp với ĐKXĐ ta có \(0 \le x < 4\) thì \(B < 1\).
Bài II:
Phương pháp:
1) a) Phương trình bậc hai một ẩn nhẩm nghiệm nhanh bằng công thức \(a + b + c = 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{c}{a}\) (với \(a \ne 0\))
b) Vận dụng phương pháp cộng đại số xác định nghiệm của hệ phương trình ban đầu.
c) Nhận thấy, phương trình cần giải là phương trình trùng phương nên ta đặt \({x^2} = t\) \(\left( {t \ge 0} \right)\)(*) khi đó phương trình ban đầu quy về phương trình bậc hai ẩn là \(t\)
Giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) đối chiếu điều kiện để xác định \(t\)
Thay \({x^2} = t\) để giải tìm nghiệm \(x\) của phương trình ban đầu và kết luận tập nghiệm của phương trình.
2) Giả sử phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(y = ax + b\)
Vì \(\left( d \right)\) có hệ số góc là 2 nên ta xác định được hệ số \(a\)
Vì \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;3} \right)\) nên ta xác định được hệ số \(b\)
Từ đó kết luận được phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\)
Cách giải:
a) \({x^2} - 3x + 2 = 0\)
Ta có \(a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2\end{array} \right.\).
Vậy phương tình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;2} \right\}\).
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\3x - y = 5\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\3x - y = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2x + y} \right) + \left( {3x - y} \right) = 5 + 5\\3x - y = 5\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 10\\y = 3x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3.2 - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\).
c)\({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\) (1)
Đặt \({x^2} = t\) \(\left( {t \ge 0} \right)\)(*) phương trình (1) trở thành: \({t^2} - 8t - 9 = 0\) (2).
Ta có \(a - b + c = 1 - \left( { - 8} \right) - 9 = 0\) nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\{t_2} = - \dfrac{c}{a} = 9\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = 9 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 3\end{array} \right.\).
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\).
2) Giả sử phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(y = ax + b\)
Vì \(\left( d \right)\) có hệ số góc là 2 nên ta có \(a = 2\).
Vì \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;3} \right)\) nên ta có: \(3 = a.\left( { - 1} \right) + b \Leftrightarrow - a + b = 3\) (*).
Thay \(a = 2\) vào (*) ta có \( - 2 + b = 3 \Leftrightarrow b = 5\).
Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) cần tìm có phương trình là \(y = 2x + 5\).
Bài III:
Phương pháp:
a) Lập bảng giá trị xác định các điểm mà Parabol \(\left( P \right)\) đi qua từ đó vẽ được đồ thị hàm số \(\left( P \right)\).
b) Gọi điểm có tung độ gấp hai lần hoành độ là \(A\left( {m;2m} \right)\,\,\left( {m \ne 0} \right)\).
Vì \(A \in \left( P \right)\) nên thay tọa độ điểm \(A\) và phường trình parabol \(\left( P \right)\) để xác định tham số \(m\), đốii chiếu điều kiện và kết luận.
Cách giải:
a) Parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\) có bề lõm hướng lên và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | \(0\) | 1 | 2 |
\(y = 2{x^2}\) | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
\( \Rightarrow \) Parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\) đi qua các điểm \(\left( { - 2;8} \right)\), \(\left( { - 1;2} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1;2} \right)\), \(\left( {2;8} \right)\).
Đồ thị Parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\):
b) Gọi điểm có tung độ gấp hai lần hoành độ là \(A\left( {m;2m} \right)\,\,\left( {m \ne 0} \right)\).
Vì \(A \in \left( P \right)\) nên ta có: \(2m = 2.{m^2} \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow 2m\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow m = 1\) (do \(m \ne 0\)).
Vậy điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(A\left( {1;2} \right)\).
Bài IV:
Phương pháp:
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, cụ thể:
Gọi vận tốc xe tải là \(x\)\(\left( {km/h} \right)\)\(\left( {x > 0} \right)\), tính được thời gian xe tải đi hết quãng đường.
Gọi vận tốc của ô tô là \(x + 5\,\,\left( {km/h} \right)\), tính được thời gian ô tô đi hết quãng đường
Từ giả thiết thời gian xe ô tô đến \(B\) sớm hơn so với xe tải là \(20\) phút nên lập được phương trình, giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Chú ý: các đại lượng giải toán phải cùng đơn vị đo lường.
Cách giải:
Gọi vận tốc xe tải là \(x\)\(\left( {km/h} \right)\)\(\left( {x > 0} \right)\)
\( \Rightarrow \) Thời gian xe tải đi hết quãng đường \(AB\) là \(\dfrac{{150}}{x}\,\,\left( h \right)\)
Vận tốc của ô tô là \(x + 5\,\,\left( {km/h} \right)\)
\( \Rightarrow \)Thời gian ô tô đi hết quãng đường \(AB\) là \(\dfrac{{150}}{{x + 5}}\,\,\left( h \right)\)
Do thời gian xe ô tô đến \(B\) sớm hơn so với xe tải là \(20\) phút \( = \dfrac{1}{3}\,\,h\) nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{150}}{x} - \dfrac{{150}}{{x + 5}} = \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow 150.3.\left( {x + 5} \right) - 150.3.x = x\left( {x + 5} \right)\\ \Leftrightarrow 450x + 2250 - 450x = {x^2} + 5x\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 2250 = 0\end{array}\)
Ta có: \(\Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 2250} \right) = 9025 = {95^2} > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 5 + 95}}{2} = 45\,\,\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{ - 5 - 95}}{2} = - 50\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy vận tốc xe tải là \(45km/h\).
Bài V:
Phương pháp:
1) Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\), tính được độ dài cạnh \(BC\)
Vận dụng tỉ số lượng của góc nhọn trong tam giác vuông, tính được \(\tan C\).
2) a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp, chứng minh tứ giác \(ACHD\) nội tiếp (vì có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\))
Suy ra \(A,\,\,C,\,\,D,\,\,H\)cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \(\angle ICD = \angle HDB\) và \(\angle DCO = \angle OBD\) mà \(\angle ICO = \angle ICD + \angle DCO = \angle HDB + OBD = {90^0}\)
nên ta có điều phải chứng minh.
c) Chứng minh \(\Delta AHE \sim \Delta ACB\,\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra \(AC.AE = AB.AH = 2R.AH\)
Cách giải:
1) Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = {4^2} + {3^2} = 25\\ \Rightarrow BC = \sqrt {25} = 5\,\,cm\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{3}{4}\).
Vậy \(BC = 5cm\) và \(\tan C = \dfrac{3}{4}\).
2)
a) Ta có \(HD \bot AB\) tại \(H\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(\angle DHA = {90^0}\)
Mà C thuộc nửa đường tròn nên \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle DHA + \angle ACB = {180^0}\)\( \Rightarrow ACHD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AD\) (dhnb).
Vậy \(A,\,\,C,\,\,D,\,\,H\)cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)
b) Ta có \(\angle ECD = {90^0}\) (Bù góc \(\angle ACB = {90^0}\)) nên \(\Delta ECD\) là tam giác vuông tại \(C\).
\(DE\) là cạnh huyền của tam giác vuông \(ECD\) và \(I\) là trung điểm của \(DE\) nên \(IC = ID = IE = \dfrac{1}{2}DE\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền).
\( \Rightarrow \Delta ICD\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow \angle ICD = \angle IDC = \angle HDB\) (đối đỉnh) (1)
Mặt khác, \(\Delta OBC\) cân tại \(O\,\,\left( {OB = OC} \right)\) \( \Rightarrow \angle DCO = \angle OBD\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle ICO = \angle ICD + \angle DCO = \angle HDB + OBD\)
Mà \(\angle OBD + \angle HDB = {90^0}\) (do tam giác \(HBD\) vuông tại \(H\)) \( \Rightarrow \angle ICO = {90^0}\) hay \(IC \bot OC\).
Vậy \(IC\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\).
c) Xét tam giác \(\Delta AHE\) và \(\Delta ACB\) ta có:
\(\angle EAB\) chung;
\(\angle ACB = \angle AHE = {90^0}\);
\( \Rightarrow \Delta AHE \sim \Delta ACB\,\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\) (hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow AC.AE = AB.AH = 2R.AH\) (do \(AB = 2R\))
Mặt khác, ta có \(H\) là trung điểm của \(OB\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(HO = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}R \Rightarrow AH = AO + OH = R + \dfrac{1}{2}R = \dfrac{3}{2}R\).
Vậy \(AC.AE = 2R.\dfrac{3}{2}R = 3{R^2}\) (đpcm).
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Tiền Giang năm 2021 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của các em học sinh. Để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi này, việc nắm vững cấu trúc đề thi, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải quyết là vô cùng cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em một cái nhìn tổng quan về đề thi vào 10 môn Toán Tiền Giang năm 2021, cùng với những phân tích chi tiết và hướng dẫn giải các bài tập điển hình.
Đề thi vào 10 môn Toán Tiền Giang năm 2021 thường bao gồm các phần sau:
Các dạng bài tập thường gặp trong đề thi bao gồm:
Để giúp các em hiểu rõ hơn về đề thi vào 10 môn Toán Tiền Giang năm 2021, chúng ta sẽ cùng phân tích một số đề thi chính thức của kỳ thi này.
Đề thi chuyên thường có độ khó cao hơn so với đề thi không chuyên. Các bài toán trong đề thi chuyên thường đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi chuyên năm 2021 tập trung vào các chủ đề như đại số, hình học và số học, với nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức tổng hợp để giải quyết.
Đề thi không chuyên thường có độ khó vừa phải, phù hợp với trình độ của đa số học sinh. Các bài toán trong đề thi không chuyên thường tập trung vào các kiến thức cơ bản và các kỹ năng giải quyết vấn đề đơn giản. Đề thi không chuyên năm 2021 tập trung vào các chủ đề như đại số, hình học và số học, với nhiều bài toán quen thuộc và dễ tiếp cận.
Để giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán, chúng ta sẽ cùng hướng dẫn giải một số bài tập điển hình trong đề thi vào 10 môn Toán Tiền Giang năm 2021.
Cho phương trình: 2x + 3 = 7. Hãy giải phương trình này.
Hướng dẫn giải:
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm và AC = 4cm. Hãy tính diện tích của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Diện tích của tam giác ABC được tính theo công thức: S = (1/2) * AB * AC
Thay số vào công thức, ta có: S = (1/2) * 3 * 4 = 6 cm2
Vậy diện tích của tam giác ABC là 6 cm2.
Đề thi vào 10 môn Toán Tiền Giang năm 2021 là một kỳ thi quan trọng, đòi hỏi các em học sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng. Hy vọng rằng với những phân tích chi tiết và hướng dẫn giải các bài tập điển hình trong bài viết này, các em sẽ có thêm kiến thức và kỹ năng để tự tin bước vào kỳ thi và đạt kết quả tốt nhất. Chúc các em thành công!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
