toan11.edu.vn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bình Định năm 2019. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Bộ đề thi này bao gồm đề chính thức và đáp án chi tiết, được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm. Các em có thể sử dụng để tự học, luyện tập hoặc tham khảo cùng bạn bè.
Câu 1 (2 điểm): 1. Giải phương trình
Câu 1 (2 điểm):
1. Giải phương trình \(3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2.\)
2. Cho biểu thức: \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \) với \(x \ge 1.\)
a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\)
Câu 2 (2 điểm):
1. Cho phương trình:\({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình trên có một nghiệm bằng \(2.\) Tìm nghiệm còn lại.
2. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba đường thẳng \({d_1}:\,\,y = 2x - 1;\,\,\,{d_2}:\,\,y = x;\,\,\,{d_3}:\,\,\,\,y = - 3x + 2.\)
Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \({d_3}\) đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}.\)
Câu 3 (1,5 điểm) Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được \(\dfrac{2}{3}\) công việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao nhiêu?
Câu 4 (3,5 điểm):
Cho đường tròn tâm \(O,\) bán kính \(R\) và một đường thẳng \(d\) không cắt đường tròn \(\left( O \right).\) Dựng đường thẳng \(OH\) vuông góc với đường thẳng \(d\) tại điểm \(H.\) Trên đường thẳng \(d\) lấy điểm \(K\) (khác điểm \(H\)), qua \(K\) vẽ hai tiếp tuyến \(KA,KB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,B\) là các tiếp điểm) sao cho \(A\) và \(H\) nằm về hai phía của đường thẳng \(OK.\)
a) Chứng minh tứ giác \(KAOH\) nội tiếp được trong đường tròn
b) Đường thẳng \(AB\) cắt đường thẳng \(OH\) tại điểm \(I.\) Chứng minh rằng \(IA.IB = IH.IO\) và \(I\) là điểm cố định khi điểm \(K\) chạy trên đường thẳng \(d\) cố định.
c) Khi \(OK = 2R,OH = R\sqrt 3 .\) Tính diện tích tam giác \(KAI\) theo \(R.\)
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho \(x,y\) là hai số thực thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}x > y\\xy = 1\end{array} \right.\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}}\)
Câu 1 (2 điểm):
1. Giải phương trình \(3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2.\)
2. Cho biểu thức: \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \) với \(x \ge 1.\)
a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\)
Câu 2 (2 điểm):
1. Cho phương trình:\({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình trên có một nghiệm bằng \(2.\) Tìm nghiệm còn lại.
2. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba đường thẳng \({d_1}:\,\,y = 2x - 1;\,\,\,{d_2}:\,\,y = x;\,\,\,{d_3}:\,\,\,\,y = - 3x + 2.\)
Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \({d_3}\) đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}.\)
Câu 3 (1,5 điểm) Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được \(\dfrac{2}{3}\) công việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao nhiêu?
Câu 4 (3,5 điểm):
Cho đường tròn tâm \(O,\) bán kính \(R\) và một đường thẳng \(d\) không cắt đường tròn \(\left( O \right).\) Dựng đường thẳng \(OH\) vuông góc với đường thẳng \(d\) tại điểm \(H.\) Trên đường thẳng \(d\) lấy điểm \(K\) (khác điểm \(H\)), qua \(K\) vẽ hai tiếp tuyến \(KA,KB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,B\) là các tiếp điểm) sao cho \(A\) và \(H\) nằm về hai phía của đường thẳng \(OK.\)
a) Chứng minh tứ giác \(KAOH\) nội tiếp được trong đường tròn
b) Đường thẳng \(AB\) cắt đường thẳng \(OH\) tại điểm \(I.\) Chứng minh rằng \(IA.IB = IH.IO\) và \(I\) là điểm cố định khi điểm \(K\) chạy trên đường thẳng \(d\) cố định.
c) Khi \(OK = 2R,OH = R\sqrt 3 .\) Tính diện tích tam giác \(KAI\) theo \(R.\)
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho \(x,y\) là hai số thực thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}x > y\\xy = 1\end{array} \right.\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}}\)
Câu 1
Phương pháp:
1. Giải phương trình bằng quy tắc chuyển vế, đổi dấu.
2. a) Khi \(x = 5\,\,\left( {tm} \right),\) thay vào biểu thức \(A\) để tính giá trị biểu thức.
b) Thêm bớt 1 vào các căn bậc hai và rút gọn biểu thức nhờ công thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Cách giải:
1. Giải phương trình \(3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2.\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2 \Leftrightarrow 3x - 3 = 5x + 2\\ \Leftrightarrow 5x - 3x = - 3 - 2 \Leftrightarrow 2x = - 5 \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{2}.\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - \dfrac{5}{2}.\)
2. Cho biểu thức: \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \) với \(x \ge 1.\)
a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\)
Điều kiện: \(x \ge 1.\)
Khi \(x = 5\,\,\left( {tm\,\,\,x \ge 1} \right),\) thay vào biểu thức ta được:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {5 + 2\sqrt {5 - 1} } + \sqrt {5 - 2\sqrt {5 - 1} } = \sqrt {5 + 2\sqrt 4 } + \sqrt {5 - 2\sqrt 4 } \\\,\,\,\,\, = \sqrt {5 + 2.2} + \sqrt {5 - 2.2} = \sqrt 9 + \sqrt 1 = 3 + 1 = 4.\end{array}\)
Vậy khi \(x = 5\) thì \(A = 4.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\)
Điều kiện: \(1 \le x \le 2.\)
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right|\\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1} + 1 + 1 - \sqrt {x - 1} \,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,1 \le x \le 2 \Rightarrow 0 \le \sqrt {x - 1} \le 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1} - 1 \le 0} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2.\,\,\end{array}\)
Câu 2
Phương pháp:
1. Thay nghiệm \(x = 2\) vào phương trình để tìm \(m\) sau đó thay ngược \(m\) vừa tìm được vào phương trình, giải phương trình để tìm nghiệm còn lại.
2. Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b.\) Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right..\)
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,\,{d_2}.\) Thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng \(d\) để tìm \(b.\) Đối chiếu với điều kiện của \(b\) rồi kết luận phương trình đường thẳng \(d.\)
Cách giải:
1. Cho phương trình:\({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình trên có một nghiệm bằng \(2.\) Tìm nghiệm còn lại.
Thay nghiệm \(x = 2\) vào phương trình ta được:
\({2^2} - \left( {m - 1} \right).2 - m = 0 \Leftrightarrow 4 - 2m + 2 - m = 0 \Leftrightarrow 3m = 6 \Leftrightarrow m = 2.\)
Thay \(m = 2\) vào phương trình ta được: \({x^2} - x - 2 = 0\)
Ta có các hệ số: \(a = 1;b = - 1;c = - 2 \Rightarrow a - b + c = 0\) Nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt là: \({x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{c}{a} = 2\)
Vậy với \(m = 2\) phương trình đã cho có một nghiệm bằng 2.
Nghiệm còn lại của phương trình là: \(x = - 1\)
2. Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b.\) Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right..\)
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,\,{d_2}.\) Thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng \(d\) để tìm \(b.\) Đối chiếu với điều kiện của \(b\) rồi kết luận phương trình đường thẳng \(d.\)
Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right).\)
Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow d:\,\,\,y = - 3x + b\,,\left( {b \ne 2} \right)\)
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\y = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x - 1\\y = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\,\,1} \right).\)
Đường thẳng \(d:\,\,y = - 3x + b\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) nên \(d\) đi qua \(A\left( {1;\,\,1} \right).\)
Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;\,\,\,1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được:
\(1 = - 3.1 + b \Leftrightarrow b = 1 + 3 = 4\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \(d:\,\,\,y = - 3x + 4.\)
Câu 3:
Phương pháp:
Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải phương trình.
Bước 3: Kết luận
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Cách giải:
Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội 1 là : \(x\) (giờ) \(\left( {x > 5} \right)\)
Vì nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ.
Nên thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc là: \(x - 5\) giờ.
Trong 1 giờ đội thứ nhất làm riêng được: \(\dfrac{1}{x}\) (công việc)
Trong 1 giờ đội thứ hai làm riêng được: \(\dfrac{1}{{x - 5}}\) (công việc)
Trong 4 giờ đội thứ nhất làm được \(\dfrac{4}{x}\) (công việc)
Trong 4 giờ đội thứ hai làm được \(\dfrac{4}{{x - 5}}\) (công việc)
Trong 4 giờ cả hai đội làm được: \(\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{x - 5}} = \dfrac{2}{3}\) (công việc)
Giải phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{x - 5}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 4.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 5}}} \right) = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 5}} = \dfrac{1}{6} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 5 + x}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = \dfrac{1}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 5}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow 6\left( {2x - 5} \right) = x\left( {x - 5} \right)\\ \Leftrightarrow 12x - 30 = {x^2} - 5x \Leftrightarrow {x^2} - 17x + 30 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 15} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\left( {KTM} \right)\\x = 15\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy thời gian hoàn thành công việc của đội 1 là 15 giờ, thời gian hoàn thành công việc của đội hai là \(15 - 5 = 10\) (giờ).
Câu 4
Phương pháp:
a) Chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc để suy ra hệ thức đúng.
Chứng minh \(\Delta OIB\) và \(\Delta OBH\) đồng dạng để suy ra điểm \(I\) cố định
c) Sử dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tính diện tích tam giác.
Cách giải:
a) Vì \(KA\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(AK \bot OA \Rightarrow \angle KAO = 90^\circ \)
Lại có \(\angle OHK = 90^\circ \,\,\left( {do\,\,\,\,OH \bot d} \right)\)
Xét tứ giác \(AOKH\) có \(\angle OAK + \angle OHK = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(OAKH\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
b) Xét \(\left( O \right)\) có \(\angle OBK = 90^\circ \) (do \(KB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\))
Từ đó ta có \(\angle OAK = \,\angle OBK = \angle OHK = 90^\circ \) nên 5 điểm \(A;O;B;H;K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OK.\)
\( \Rightarrow \angle OAB = \angle OHB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OB\))
Xét \(\Delta IOA\) và \(\Delta IBH\) có
\(\angle OIA = \angle BIH\) (hai góc đối đỉnh)
\(\angle OAB = \angle OHB\) (cmt)
Xét đường tròn đường kính \(OK\) có:
\(\angle OHB\) là góc nội tiếp chắn cung \(OB\)
\(\angle OBA\) là góc nội tiếp chắn cung \(OA\)
Mà \(OA = OB = R.\)
\( \Rightarrow \angle OHB = \angle OBA\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Xét \(\Delta OIB\) và \(\Delta OBH\) có
\(\begin{array}{l}\angle BOH\,\,\,chung\\\angle OHB = \angle OBA\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
Mà đường thẳng \(d\) cố định nên \(OH\) không đổi (vì \(OH \bot d\)).
\( \Rightarrow OI = \dfrac{{{R^2}}}{{OH}}\) không đổi hay điểm \(I\) cố định khi \(K\) chạy trên đường thẳng \(d\) cố định.
c) Gọi \(M\) là giao điểm của \(OK\) và \(AB\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(KA,KB\) là hai tiếp tuyến nên \(KA = KB\).
Lại có \(OA = OB = R\) nên \(OK\) là đường trung trực của \(AB\), suy ra \(AB \bot OK\) tại \(M.\)
\( \Rightarrow {S_{AKI}} = \dfrac{1}{2}AI.KM.\)
Theo câu b) ta có \(OI = \dfrac{{{R^2}}}{{OH}}\)\( = \dfrac{{{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = \dfrac{R}{{\sqrt 3 }}\)
Xét tam giác \(OAK\) vuông tại \(A,\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
+) \(O{A^2} = OM.OK \Leftrightarrow OM = \dfrac{{O{A^2}}}{{OK}} = \dfrac{{{R^2}}}{{2R}} = \dfrac{R}{2}.\)
Suy ra \(KM = OK - OM = 2R - \dfrac{R}{2} = \dfrac{{3R}}{2}.\)
+) \(A{M^2} = OM.KM = \dfrac{R}{2}.\dfrac{{3R}}{2} = \dfrac{{3{R^2}}}{4} \Rightarrow AM = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}.\)
Xét tam giác \(OMI\) vuông tại \(M\), theo định lý Pytago ta có:
\(MI = \sqrt {O{I^2} - O{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{R}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{R}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{6}\)
Suy ra \(AI = AM + MI = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{R\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta KAI}} = \dfrac{1}{2}KM.AI = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3R}}{2}.\dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\) .
Vậy \({S_{\Delta KAI}} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 5
Phương pháp :
+ Biến đổi biểu thức P về dạng tổng và tích.
+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.
Cách giải :
Với \(x > y;\,\,\,\,xy = 1\) ta có :
\(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2xy}}{{x - y}} = \left( {x - y} \right) + \dfrac{2}{{x - y}}\)
Vì \(x > y\) nên \(x - y > 0;\,\dfrac{2}{{x - y}} > 0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x - y;\,\,\,\dfrac{2}{{x - y}}\) ta có :
\(\begin{array}{l}P = x - y + \dfrac{2}{{x - y}} \ge 2\sqrt {\left( {x - y} \right).\dfrac{2}{{x - y}}} = 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow P \ge 2\sqrt 2 \end{array}\)
Dấu \( \Leftrightarrow x - y = \dfrac{2}{{x - y}} \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow x - y = \sqrt 2 \Leftrightarrow x = y + \sqrt 2 \)
Mà \(x.y = 1 \Leftrightarrow \left( {y + \sqrt 2 } \right).y = 1 \Leftrightarrow {y^2} + \sqrt 2 y = 1 \Leftrightarrow {y^2} + \sqrt 2 y - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = \dfrac{{ - \sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Khi đó : \(x = \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2\sqrt 2 \) tại \(x = \dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2};\,\,\,\,y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}.\)
Câu 1
Phương pháp:
1. Giải phương trình bằng quy tắc chuyển vế, đổi dấu.
2. a) Khi \(x = 5\,\,\left( {tm} \right),\) thay vào biểu thức \(A\) để tính giá trị biểu thức.
b) Thêm bớt 1 vào các căn bậc hai và rút gọn biểu thức nhờ công thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Cách giải:
1. Giải phương trình \(3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2.\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2 \Leftrightarrow 3x - 3 = 5x + 2\\ \Leftrightarrow 5x - 3x = - 3 - 2 \Leftrightarrow 2x = - 5 \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{2}.\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - \dfrac{5}{2}.\)
2. Cho biểu thức: \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \) với \(x \ge 1.\)
a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\)
Điều kiện: \(x \ge 1.\)
Khi \(x = 5\,\,\left( {tm\,\,\,x \ge 1} \right),\) thay vào biểu thức ta được:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {5 + 2\sqrt {5 - 1} } + \sqrt {5 - 2\sqrt {5 - 1} } = \sqrt {5 + 2\sqrt 4 } + \sqrt {5 - 2\sqrt 4 } \\\,\,\,\,\, = \sqrt {5 + 2.2} + \sqrt {5 - 2.2} = \sqrt 9 + \sqrt 1 = 3 + 1 = 4.\end{array}\)
Vậy khi \(x = 5\) thì \(A = 4.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\)
Điều kiện: \(1 \le x \le 2.\)
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right|\\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1} + 1 + 1 - \sqrt {x - 1} \,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,1 \le x \le 2 \Rightarrow 0 \le \sqrt {x - 1} \le 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1} - 1 \le 0} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2.\,\,\end{array}\)
Câu 2
Phương pháp:
1. Thay nghiệm \(x = 2\) vào phương trình để tìm \(m\) sau đó thay ngược \(m\) vừa tìm được vào phương trình, giải phương trình để tìm nghiệm còn lại.
2. Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b.\) Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right..\)
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,\,{d_2}.\) Thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng \(d\) để tìm \(b.\) Đối chiếu với điều kiện của \(b\) rồi kết luận phương trình đường thẳng \(d.\)
Cách giải:
1. Cho phương trình:\({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình trên có một nghiệm bằng \(2.\) Tìm nghiệm còn lại.
Thay nghiệm \(x = 2\) vào phương trình ta được:
\({2^2} - \left( {m - 1} \right).2 - m = 0 \Leftrightarrow 4 - 2m + 2 - m = 0 \Leftrightarrow 3m = 6 \Leftrightarrow m = 2.\)
Thay \(m = 2\) vào phương trình ta được: \({x^2} - x - 2 = 0\)
Ta có các hệ số: \(a = 1;b = - 1;c = - 2 \Rightarrow a - b + c = 0\) Nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt là: \({x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{c}{a} = 2\)
Vậy với \(m = 2\) phương trình đã cho có một nghiệm bằng 2.
Nghiệm còn lại của phương trình là: \(x = - 1\)
2. Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b.\) Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right..\)
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,\,{d_2}.\) Thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng \(d\) để tìm \(b.\) Đối chiếu với điều kiện của \(b\) rồi kết luận phương trình đường thẳng \(d.\)
Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right).\)
Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow d:\,\,\,y = - 3x + b\,,\left( {b \ne 2} \right)\)
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\y = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x - 1\\y = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\,\,1} \right).\)
Đường thẳng \(d:\,\,y = - 3x + b\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) nên \(d\) đi qua \(A\left( {1;\,\,1} \right).\)
Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;\,\,\,1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được:
\(1 = - 3.1 + b \Leftrightarrow b = 1 + 3 = 4\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \(d:\,\,\,y = - 3x + 4.\)
Câu 3:
Phương pháp:
Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải phương trình.
Bước 3: Kết luận
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Cách giải:
Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội 1 là : \(x\) (giờ) \(\left( {x > 5} \right)\)
Vì nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ.
Nên thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc là: \(x - 5\) giờ.
Trong 1 giờ đội thứ nhất làm riêng được: \(\dfrac{1}{x}\) (công việc)
Trong 1 giờ đội thứ hai làm riêng được: \(\dfrac{1}{{x - 5}}\) (công việc)
Trong 4 giờ đội thứ nhất làm được \(\dfrac{4}{x}\) (công việc)
Trong 4 giờ đội thứ hai làm được \(\dfrac{4}{{x - 5}}\) (công việc)
Trong 4 giờ cả hai đội làm được: \(\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{x - 5}} = \dfrac{2}{3}\) (công việc)
Giải phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{x - 5}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 4.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 5}}} \right) = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 5}} = \dfrac{1}{6} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 5 + x}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = \dfrac{1}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 5}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow 6\left( {2x - 5} \right) = x\left( {x - 5} \right)\\ \Leftrightarrow 12x - 30 = {x^2} - 5x \Leftrightarrow {x^2} - 17x + 30 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 15} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\left( {KTM} \right)\\x = 15\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy thời gian hoàn thành công việc của đội 1 là 15 giờ, thời gian hoàn thành công việc của đội hai là \(15 - 5 = 10\) (giờ).
Câu 4
Phương pháp:
a) Chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc để suy ra hệ thức đúng.
Chứng minh \(\Delta OIB\) và \(\Delta OBH\) đồng dạng để suy ra điểm \(I\) cố định
c) Sử dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tính diện tích tam giác.
Cách giải:
a) Vì \(KA\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(AK \bot OA \Rightarrow \angle KAO = 90^\circ \)
Lại có \(\angle OHK = 90^\circ \,\,\left( {do\,\,\,\,OH \bot d} \right)\)
Xét tứ giác \(AOKH\) có \(\angle OAK + \angle OHK = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(OAKH\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
b) Xét \(\left( O \right)\) có \(\angle OBK = 90^\circ \) (do \(KB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\))
Từ đó ta có \(\angle OAK = \,\angle OBK = \angle OHK = 90^\circ \) nên 5 điểm \(A;O;B;H;K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OK.\)
\( \Rightarrow \angle OAB = \angle OHB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OB\))
Xét \(\Delta IOA\) và \(\Delta IBH\) có
\(\angle OIA = \angle BIH\) (hai góc đối đỉnh)
\(\angle OAB = \angle OHB\) (cmt)
Xét đường tròn đường kính \(OK\) có:
\(\angle OHB\) là góc nội tiếp chắn cung \(OB\)
\(\angle OBA\) là góc nội tiếp chắn cung \(OA\)
Mà \(OA = OB = R.\)
\( \Rightarrow \angle OHB = \angle OBA\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Xét \(\Delta OIB\) và \(\Delta OBH\) có
\(\begin{array}{l}\angle BOH\,\,\,chung\\\angle OHB = \angle OBA\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
Mà đường thẳng \(d\) cố định nên \(OH\) không đổi (vì \(OH \bot d\)).
\( \Rightarrow OI = \dfrac{{{R^2}}}{{OH}}\) không đổi hay điểm \(I\) cố định khi \(K\) chạy trên đường thẳng \(d\) cố định.
c) Gọi \(M\) là giao điểm của \(OK\) và \(AB\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(KA,KB\) là hai tiếp tuyến nên \(KA = KB\).
Lại có \(OA = OB = R\) nên \(OK\) là đường trung trực của \(AB\), suy ra \(AB \bot OK\) tại \(M.\)
\( \Rightarrow {S_{AKI}} = \dfrac{1}{2}AI.KM.\)
Theo câu b) ta có \(OI = \dfrac{{{R^2}}}{{OH}}\)\( = \dfrac{{{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = \dfrac{R}{{\sqrt 3 }}\)
Xét tam giác \(OAK\) vuông tại \(A,\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
+) \(O{A^2} = OM.OK \Leftrightarrow OM = \dfrac{{O{A^2}}}{{OK}} = \dfrac{{{R^2}}}{{2R}} = \dfrac{R}{2}.\)
Suy ra \(KM = OK - OM = 2R - \dfrac{R}{2} = \dfrac{{3R}}{2}.\)
+) \(A{M^2} = OM.KM = \dfrac{R}{2}.\dfrac{{3R}}{2} = \dfrac{{3{R^2}}}{4} \Rightarrow AM = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}.\)
Xét tam giác \(OMI\) vuông tại \(M\), theo định lý Pytago ta có:
\(MI = \sqrt {O{I^2} - O{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{R}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{R}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{6}\)
Suy ra \(AI = AM + MI = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{R\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta KAI}} = \dfrac{1}{2}KM.AI = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3R}}{2}.\dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\) .
Vậy \({S_{\Delta KAI}} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 5
Phương pháp :
+ Biến đổi biểu thức P về dạng tổng và tích.
+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.
Cách giải :
Với \(x > y;\,\,\,\,xy = 1\) ta có :
\(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2xy}}{{x - y}} = \left( {x - y} \right) + \dfrac{2}{{x - y}}\)
Vì \(x > y\) nên \(x - y > 0;\,\dfrac{2}{{x - y}} > 0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x - y;\,\,\,\dfrac{2}{{x - y}}\) ta có :
\(\begin{array}{l}P = x - y + \dfrac{2}{{x - y}} \ge 2\sqrt {\left( {x - y} \right).\dfrac{2}{{x - y}}} = 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow P \ge 2\sqrt 2 \end{array}\)
Dấu \( \Leftrightarrow x - y = \dfrac{2}{{x - y}} \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow x - y = \sqrt 2 \Leftrightarrow x = y + \sqrt 2 \)
Mà \(x.y = 1 \Leftrightarrow \left( {y + \sqrt 2 } \right).y = 1 \Leftrightarrow {y^2} + \sqrt 2 y = 1 \Leftrightarrow {y^2} + \sqrt 2 y - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = \dfrac{{ - \sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Khi đó : \(x = \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2\sqrt 2 \) tại \(x = \dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2};\,\,\,\,y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}.\)
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 là một bước ngoặt quan trọng trong sự nghiệp học tập của mỗi học sinh. Để đạt kết quả tốt nhất, việc chuẩn bị kỹ lưỡng là điều cần thiết. Đề thi vào 10 môn Toán Bình Định năm 2019 là một nguồn tài liệu quý giá để các em học sinh có thể làm quen với dạng đề và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề thi vào 10 môn Toán Bình Định năm 2019 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải quyết câu hỏi này, các em cần nắm vững các kiến thức về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, và các phương pháp giải phương trình thường gặp.
Để chứng minh một đẳng thức hình học, các em cần sử dụng các định lý, tính chất, và các công thức liên quan đến hình học.
Để tính giá trị của một biểu thức, các em cần thực hiện các phép toán theo đúng thứ tự ưu tiên và sử dụng các công thức toán học phù hợp.
Để giải đề thi một cách hiệu quả, các em cần:
Ngoài đề thi vào 10 môn Toán Bình Định năm 2019, các em cũng nên luyện tập với các đề thi của các năm trước để làm quen với nhiều dạng bài tập khác nhau và nâng cao kỹ năng giải toán.
Để hỗ trợ quá trình ôn thi, các em có thể tham khảo các tài liệu sau:
Trước khi bước vào phòng thi, các em nên:
Đề thi vào 10 môn Toán Bình Định năm 2019 là một tài liệu quan trọng giúp các em học sinh chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Chúc các em thành công!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
