Chào mừng các em học sinh đến với đề tham khảo thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2025 - Đề số 3 của toan11.edu.vn. Đề thi này được biên soạn dựa trên cấu trúc đề thi tuyển sinh vào 10 của các trường THPT chuyên và không chuyên tại TP.HCM, giúp các em làm quen với dạng đề và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề thi bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận, tập trung vào các kiến thức Toán học lớp 9.
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số (left( P right):y = frac{1}{2}{x^2}). a) Vẽ đồ thị (left( P right)) của hàm số trên.
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\).
a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số trên.
b) Minh đang thiết kế một mô hình Parabol để mô phỏng quỹ đạo của một quả bóng trong trò chơi của mình. Quỹ đạo được biểu diễn bằng hàm số sau: \(y = \frac{1}{2}{x^2}\). Minh muốn tìm các vị trí trên quỹ đạo mà độ cao của quả bóng so với mặt đất là 0,5 mét. Hỏi tại những điểm nào trên mặt phẳng, quả bóng đạt được độ cao này?
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình \({x^2} + 5x - 8 = 0\)
a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 2}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 2}}\).
Câu 3 (1,5 điểm): Ở giữa mùa giải AFF Cup 2024 - 2025, nơi mà những đội bóng hàng đầu Đông Nam Á tranh tài quyết liệt để giành lấy danh hiệu cao quý. Kết quả bảng B như sau:
Trong mỗi trận đấu, các đội sẽ được thưởng điểm như sau:
a) Giả sử chọn ngẫu nhiên một đội bóng từ bảng B. Hãy tính xác suất của đội bóng có số trận thắng là 1.
b) Hãy tính xác suất để một đội bóng được chọn ngẫu nhiên có số điểm từ 4 trở lên.
Câu 4 (1 điểm): Ông An có một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 100(m) và chiều rộng 40(m) (Hình 1). Ông dự định xây dựng khu nghỉ dưỡng nên ông cho đào mương xung quanh mảnh đất để lấy đất bồi thêm đất nền cao hơn. Ông cho đào 3 mặt của mảnh đất như hình 2, độ rộng mương là \(x\left( m \right)\) \(\left( {0 < x < 10} \right)\)
a) Gọi S là diện tích phần đất nền (phần in đậm) sau khi được bồi thêm. Hãy viết biểu thức dưới dạng thu gọn tính S theo x.
b) Phần đất nền sau khi được bồi thêm đo được diện tích là \(3298{m^2}\). Để tránh rủi ro trẻ em có thể té xuống mương, ông cho làm hàng rào bao quanh phần đất nền tiếp giáp với mương bằng lưới B40. Tính chiều dài lưới B40 mà ông cần mua.
Câu 5 (1 điểm): Một ống đựng các viên vitamin C có dạng hình trụ với đường kính đáy là \(4\,{\rm{cm}}\) và chiều cao là \(12\,{\rm{cm}}\). Mỗi viên vitamin C hình cầu với bán kính là \(0,5\,\,{\rm{cm}}\).
a) Tính thể tích của ống vitamin C và thể tích của một viên vitamin C (tính theo đơn vị cm3 và làm tròn đến hàng phần trăm).
Biết công thức tính thể tích hình trụ là \(V = \pi {R^2}h\) (R là bán kính đáy, h đường cao của hình trụ)
Thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\) (R là bán của kính hình cầu).
b) Biết rằng trong ống có một lớp không khí chiếm \(10{\rm{\% }}\) thể tích của ống. Tính số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống.
Câu 6 (1 điểm): Formalin là dung dịch có chứa từ \(37 - 40\% \) Formaldehyde. Formaldehyde có khả năng kháng khuẩn, kháng nấm nên được dùng làm chất bảo quản trong y tế. Một nhà máy sản xuất Formalin đang có một lượng dung dịch Formaldehyde nồng độ \(15\% \) và một lượng Formaldehyde nồng độ \(65\% \).
a) Tính thể tích mỗi loại Formaldehyde trên để điều chế được \(300\) lít Formaldehyde \(35\% \). Giả sử nguyên liệu không bị hao hụt trong quá trình sản xuất.
b) Một cơ sở y tế đặt hàng nhà máy trên một đơn hàng Formalin. Nhà máy dùng \(200\) lít Formaldehyde \(15\% \) cùng một lượng Formaldehyde \(65\% \) để sản xuất ra Formalin. Hỏi thể tích của Formaldehyde \(65\% \) nằm trong khoảng nào thì có thể sản xuất được Formalin. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của lít)
Câu 7 (3 điểm): Cho điểm S ngoài (O; R) với SO = 2.R, vẽ 2 tiếp tuyến SA và SB đến đường tròn (A, B là tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của AB với SO.
a) Chứng minh: Bốn điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn và \(SO \bot AB\) tại I.
b) Vẽ đường kính AD của đường tròn (O). Đoạn thẳng SD cắt đường tròn (O) tại điểm E (E khác D). Chứng minh: \(SE.SD = S{A^2}\) và \(SE.SD = SI.SO\).
c) Biết bán kính R = 8cm. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, lấy \(\pi \approx 3,14\).
-------- HẾT --------
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\).
a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số trên.
b) Minh đang thiết kế một mô hình Parabol để mô phỏng quỹ đạo của một quả bóng trong trò chơi của mình. Quỹ đạo được biểu diễn bằng hàm số sau: \(y = \frac{1}{2}{x^2}\). Minh muốn tìm các vị trí trên quỹ đạo mà độ cao của quả bóng so với mặt đất là 0,5 mét. Hỏi tại những điểm nào trên mặt phẳng, quả bóng đạt được độ cao này?
Phương pháp
a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ.
b) Gọi điểm thuộc \(\left( P \right)\) thoả mãn đề bài là \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\).
Vì Minh muốn tìm các vị trí trên quỹ đạo mà độ cao của quả bóng so với mặt đất là 0,5 mét nên \({y_M} = \frac{1}{2}\).
Thay vào hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) để tìm giá trị \({x_M}\) tương ứng.
Lời giải
a) Ta có bảng giá trị sau:
Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm \(O\,\left( {0;0} \right);A\left( { - 2;2} \right);B\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right);\,\,C\left( {1;\frac{1}{2}} \right);\,\,D\left( {2;2} \right)\)
Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:
b) Gọi điểm thuộc \(\left( P \right)\) thoả mãn đề bài là \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\).
Minh muốn tìm các vị trí trên quỹ đạo mà độ cao của quả bóng so với mặt đất là 0,5 mét nên \({y_M} = \frac{1}{2}\).
Do đó \(\frac{1}{2}{x_M}^2 = \frac{1}{2}\)
Suy ra \({x_M}^2 = 1\)
nên \({x_M} = 1\) hoặc \({x_M} = - 1\).
Vậy toạ độ điểm M là \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\); \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình \({x^2} + 5x - 8 = 0\)
a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 2}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 2}}\).
Phương pháp
a) Kiểm tra nghiệm của phương trình theo \(a.c\).
b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi.
Định lí Viète: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\)
Lời giải
a) Phương trình \({x^2} + 5x - 8 = 0\) có:
\(a.c = 1.\left( { - 8} \right) = - 8 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
b) Áp dụng định lí Viète, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 5}}{1} = - 5}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{ - 8}}{1} = - 8}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 2}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 2}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{x_1^2 - 2{x_1} + x_2^2 - 2{x_2}}}{{\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}\\ = \frac{{{{\left( { - 5} \right)}^2} - 2.\left( { - 8} \right) - 2.\left( { - 5} \right)}}{{\left( { - 8} \right) - 2.\left( { - 5} \right) + 4}}\\ = \frac{{25 + 16 + 10}}{{ - 8 + 10 + 4}}\\ = \frac{{17}}{2}\end{array}\)
Vậy \(A = \frac{{17}}{2}\).
Câu 3 (1,5 điểm): Ở giữa mùa giải AFF Cup 2024 - 2025, nơi mà những đội bóng hàng đầu Đông Nam Á tranh tài quyết liệt để giành lấy danh hiệu cao quý. Kết quả bảng B như sau:
Trong mỗi trận đấu, các đội sẽ được thưởng điểm như sau:
a) Giả sử chọn ngẫu nhiên một đội bóng từ bảng B. Hãy tính xác suất của đội bóng có số trận thắng là 1.
b) Hãy tính xác suất để một đội bóng được chọn ngẫu nhiên có số điểm từ 4 trở lên.
Phương pháp
a) Xác định các đội có số trận thắng là 1.
Xác suất của đội bóng có số trận thắng là 1 bằng tỉ số giữa số đội bóng có số trận thắng là 1 với tổng số đội bóng.
b) Tính điểm đạt được của các đội. Xác định các đội có số điểm từ 4 trở lên.
Xác suất để một đội bóng được chọn ngẫu nhiên có số điểm từ 4 trở lên bằng tỉ số giữa số đội bóng có số điểm từ 4 trở lên với tổng số đội bóng.
Lời giải
a) Số đội có số trận thắng là 1 là 2. Đó là Indonesia, Myanmar.
Tổng số đội là: 5
Vậy xác suất của đội bóng có số trận thắng là 1 là: \(\frac{2}{5}\).
b) Ta có bảng điểm của các đội như sau:
Có 3 đội có điểm từ 4 trở lên, đó là: Việt Nam, Philippines, Indonesia.
Tổng số đội là: 5
Vậy xác suất để một đội bóng được chọn ngẫu nhiên có số điểm từ 4 trở lên là: \(\frac{3}{5}\)
Câu 4 (1 điểm): Ông An có một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 100(m) và chiều rộng 40(m) (Hình 1). Ông dự định xây dựng khu nghỉ dưỡng nên ông cho đào mương xung quanh mảnh đất để lấy đất bồi thêm đất nền cao hơn. Ông cho đào 3 mặt của mảnh đất như hình 2, độ rộng mương là \(x\left( m \right)\) \(\left( {0 < x < 10} \right)\)
a) Gọi S là diện tích phần đất nền (phần in đậm) sau khi được bồi thêm. Hãy viết biểu thức dưới dạng thu gọn tính S theo x.
b) Phần đất nền sau khi được bồi thêm đo được diện tích là \(3298{m^2}\). Để tránh rủi ro trẻ em có thể té xuống mương, ông cho làm hàng rào bao quanh phần đất nền tiếp giáp với mương bằng lưới B40. Tính chiều dài lưới B40 mà ông cần mua.
Phương pháp
a) Tính chiều dài và chiều rộng của phần đất nền.
Từ đó tính diện tích phần đất nền bằng công thức tính diện tích hình chữ nhật.
b) Từ diện tích của phần đất nền, giải phương trình bậc hai để tìm \(x\).
Chiều dài lưới B40 chính là tổng độ dài của phần đất nền một cạnh không tiếp giáp với mương.
Lời giải
a) Độ dài cạnh 100m giảm đi \(x\)m sau khi đào mương nên độ dài một cạnh của phần đất nền là: \(100 - x\) (m)
Độ dài cạnh 40m giảm đi \(2x\)m sau khi đào mương nên độ dài cạnh còn lại của phần đất nền là: \(40 - 2x\) (m)
Do đó sau khi đào mương thì độ dài hai cạnh của phần đất nền là: \(100 - x\)(m) và \(40 - 2x\)(m)
Khi đó diện tích phần đất nền là:
\(\begin{array}{l}S = \left( {100 - x} \right)\left( {40 - 2x} \right)\\ = 4000 - 40x - 200x + 2{x^2}\\ = 2{x^2} - 240x + 4000\end{array}\)
b) Phần đất nền sau khi được bồi thêm đo được diện tích là \(3298{m^2}\). Để tránh rủi ro trẻ em có thể té xuống mương, ông cho làm hàng rào bao quanh phần đất nền tiếp giáp với mương bằng lưới B40. Tính chiều dài lưới B40 mà ông cần mua.
Vì phần đất nền sau khi được bồi thêm đo được diện tích là \(3298{m^2}\) nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}2{x^2} - 240x + 4000 = 3298\\2{x^2} - 240x + 702 = 0\\{x^2} - 120x + 351 = 0\end{array}\)
Giải phương trình, ta được: \({x_1} = 3\left( {TM} \right);{x_2} = 117\left( {KTM} \right)\)
Khi đó hai cạnh của phần đất nền là: \(100 - 3 = 97\left( m \right)\) và \(40 - 2.3 = 34\left( m \right)\).
Tổng độ dài các cạnh tiếp giáp với mương là: \(97.2 + 34 = 228\left( m \right)\).
Vậy chiều dài lưới B40 mà ông cần mua là 228m.
Câu 5 (1 điểm): Một ống đựng các viên vitamin C có dạng hình trụ với đường kính đáy là \(4\,{\rm{cm}}\) và chiều cao là \(12\,{\rm{cm}}\). Mỗi viên vitamin C hình cầu với bán kính là \(0,5\,\,{\rm{cm}}\).
a) Tính thể tích của ống vitamin C và thể tích của một viên vitamin C (tính theo đơn vị cm3 và làm tròn đến hàng phần trăm).
Biết công thức tính thể tích hình trụ là \(V = \pi {R^2}h\) (R là bán kính đáy, h đường cao của hình trụ)
Thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\) (R là bán của kính hình cầu).
b) Biết rằng trong ống có một lớp không khí chiếm \(10{\rm{\% }}\) thể tích của ống. Tính số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống.
Phương pháp
a) Tính bán kính của ống đựng = đường kính : 2.
Thể tích của ống vitamin C bằng công thức tính thể tích hình trụ.
Thể tích của viên vitamin C bằng công thức tính thể tích hình cầu.
b) Tính thể tích có thể chứa của ống vitamin C là: \(\left( {100\% - 10\% } \right).{V_t}\)
Tính tỉ số giữa thể tích có thể chứa : thể tích viên vitamin C.
Từ đó ta có số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống.
Lời giải
a) Bán kính của ống đựng là: \(4:2 = 2\left( {cm} \right)\)
Thể tích của ống vitamin C là: \({V_t} = \pi {.2^2}.12 = 48\pi \approx 150,8\left( {c{m^3}} \right)\)
Thể tích của viên vitamin C là: \({V_c} = \frac{4}{3}.\pi .0,{5^3} = \frac{\pi }{6} \approx 0,52\left( {c{m^3}} \right)\)
b) Biết rằng trong ống có một lớp không khí chiếm \(10{\rm{\% }}\) thể tích của ống. Tính số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống.
Thể tích có thể chứa của ống vitamin C là: \(\left( {100\% - 10\% } \right).{V_t} \approx 90\% .150,8 = 135,72\left( {c{m^3}} \right)\)
Ta có: \(\frac{{135,72}}{{0,52}} = 261\). Do đó số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống là 261 viên.
Câu 6 (1 điểm): Formalin là dung dịch có chứa từ \(37 - 40\% \) Formaldehyde. Formaldehyde có khả năng kháng khuẩn, kháng nấm nên được dùng làm chất bảo quản trong y tế. Một nhà máy sản xuất Formalin đang có một lượng dung dịch Formaldehyde nồng độ \(15\% \) và một lượng Formaldehyde nồng độ \(65\% \).
a) Tính thể tích mỗi loại Formaldehyde trên để điều chế được \(300\) lít Formaldehyde \(35\% \). Giả sử nguyên liệu không bị hao hụt trong quá trình sản xuất.
b) Một cơ sở y tế đặt hàng nhà máy trên một đơn hàng Formalin. Nhà máy dùng \(200\) lít Formaldehyde \(15\% \) cùng một lượng Formaldehyde \(65\% \) để sản xuất ra Formalin. Hỏi thể tích của Formaldehyde \(65\% \) nằm trong khoảng nào thì có thể sản xuất được Formalin. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của lít)
Phương pháp
a) Gọi \(x\,\left( {\rm{l}} \right),\,y\left( {\rm{l}} \right)\) lần lượt là thể tích của dung dịch Formaldehyde \(15\% \) và Formaldehyde \(65\% \) cần sử dụng (\(0 < x,y < 300\)).
Viết phương trình biểu diễn tổng thể tích hai loại dung dịch, nồng độ Formaldehyde trong dung dịch.
Từ đó ta lập được hệ phương trình.
Giải hệ phương trình vừa lập.
Kiểm tra lại điều kiện và kết luận.
b) Gọi \(x\,\left( {\rm{l}} \right)\) là thể tích Formaldehyde \(65\% \) (\(x > 0\)).
Biểu diễn tổng độ của Formaldehyde sau khi trộn hai loại dung dịch lại.
Do Formalin có nồng độ Formaldehyde từ \(37 - 40\% \) nên ta viết bất phương trình nồng độ dung dịch.
Giải các bất phương trình.
Lời giải
a) Gọi \(x\,\left( {\rm{l}} \right),\,y\left( {\rm{l}} \right)\) lần lượt là thể tích của dung dịch Formaldehyde \(15\% \) và Formaldehyde \(65\% \) cần sử dụng (\(0 < x,y < 300\)).
Vì tổng thể tích hai loại dung dịch là \(300\) nên ta có phương trình: \(x + y = 300\) (1).
Vì nồng độ Formaldehyde trong dung dịch lúc sau là \(35\% \) nên ta có: \(0,15x + 0,65y = 300.0,35\) hay \(0,15x + 0,65y = 105\) (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 300\\0,15x + 0,65y = 105\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình, ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 180\,\left( {TM} \right)\\y = 120\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).
Vậy thể tích của Formaldehyde \(15\% \) và Formaldehyde \(65\% \) lần lượt là \(180\) lít và \(120\) lít.
b) Gọi \(x\,\left( {\rm{l}} \right)\) là thể tích Formaldehyde \(65\% \) (\(x > 0\)).
Nồng độ của Formaldehyde sau khi trộn hai loại dung dịch lại là \(\frac{{200.15\% + x.65\% }}{{200 + x}} = \frac{{0,65x + 30}}{{x + 200}}\).
Do Formalin có nồng độ Formaldehyde từ \(37 - 40\% \) nên ta có:
\(37\% \le \frac{{0,65x + 30}}{{x + 200}} \le 40\% \) hay \(0,37 \le \frac{{0,65x + 30}}{{x + 200}} \le 0,4\)
+) Giải bất phương trình: \(0,37 \le \frac{{0,65x + 30}}{{x + 200}}\)
\(\begin{array}{l}0,37 \le \frac{{0,65x + 30}}{{x + 200}}\\0,37\left( {x + 200} \right) \le 0,65x + 30\\0,37x + 74 - 0,65x - 30 \le 0\\ - 0,28x + 44 \le 0\\x \ge 157\end{array}\)
+) Giải bất phương trình: \(\frac{{0,65x + 30}}{{x + 200}} \le 0,4\)
\(\begin{array}{l}\frac{{0,65x + 30}}{{x + 200}} \le 0,4\\0,65x + 30 \le 0,4x + 80\\0,25x \le 50\\x \le 200\end{array}\)
Ta được \(x \ge 157\) và \(x \le 200\) hay \(157 \le x \le 200\).
Vậy thể tích Formaldehyde từ \(157\) lít đến \(200\) lít thì thu được Formalin.
Câu 7 (3 điểm): Cho điểm S ngoài (O; R) với SO = 2.R, vẽ 2 tiếp tuyến SA và SB đến đường tròn (A, B là tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của AB với SO.
a) Chứng minh: Bốn điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn và \(SO \bot AB\) tại I.
b) Vẽ đường kính AD của đường tròn (O). Đoạn thẳng SD cắt đường tròn (O) tại điểm E (E khác D). Chứng minh: \(SE.SD = S{A^2}\) và \(SE.SD = SI.SO\).
c) Biết bán kính R = 8cm. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, lấy \(\pi \approx 3,14\).
Phương pháp
a) Chứng minh: Bốn điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn
Chứng minh \(\Delta OAS\) và \(\Delta OBS\) cùng nội tiếp đường tròn đường kính OS.
Do đó bốn điểm S, A, O, B thuộc đường tròn đường kính OS.
Chứng minh \(SO \bot AB\) tại I.
Chứng minh SO là đường trung trực của AB.
Suy ra \(SO \bot AB\) tại I.
b) Chứng minh \(SE.SD = S{A^2}\)
Chứng minh \(\Delta AES\backsim \Delta DAS\left( g.g \right)\) suy ra \(SE.SD = S{A^2}\).
Chứng minh \(SE.SD = SI.SO\)
Chứng minh $\Delta SAO\backsim \Delta SIA$ (g.g), suy ra \(S{A^2} = SI.SO\).
Từ (1) và (2) suy ra \(SE.SD = SI.SO\).
c) Biết bán kính R = 8cm. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Sử dụng tỉ số lượng giác để tính \(\cos SOA\) suy ra \(\widehat {SOA}\).
Sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau để tính \(\widehat {AOB}\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ chính là diện tích hình quạt tròn ứng với cung AB nhỏ.
Diện tích được tính bởi công thức: \(S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\).
Lời giải
a) Chứng minh: Bốn điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn
Vì SA và SB là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(SA \bot OA\), \(SB \bot OB\) suy ra \(\widehat {OAS} = \widehat {OBS} = 90^\circ \)
Do đó \(\Delta OAS\) vuông tại A nên \(\Delta OAS\) nội tiếp đường tròn đường kính OS.
\(\Delta OBS\) vuông tại B nên \(\Delta OBS\) nội tiếp đường tròn đường kính OS.
Do đó bốn điểm S, A, O, B thuộc đường tròn đường kính OS.
Chứng minh \(SO \bot AB\) tại I.
Ta có: SA = SB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OB (= R)
nên SO là đường trung trực của AB.
Suy ra \(SO \bot AB\) tại I.
b) Chứng minh \(SE.SD = S{A^2}\)
Ta có \(\widehat {AED} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AES} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét \(\Delta AES\) và \(\Delta DAS\) có:
\(\widehat {DAS} = \widehat {AES} = 90^\circ \)
\(\widehat {ASD}\) chung
nên \(\Delta AES\backsim \Delta DAS\left( g.g \right)\) suy ra \(\frac{{SE}}{{AS}} = \frac{{AS}}{{SD}}\), do đó \(SE.SD = S{A^2}\). (1)
Chứng minh \(SE.SD = SI.SO\)
Xét \(\Delta SAO\) và \(\Delta SIA\) có:
\(\widehat {SAO} = \widehat {SIA} = 90^\circ \) (SA là tiếp tuyến, \(SO \bot AB\) tại I)
\(\widehat {ASO}\) chung
nên $\Delta SAO\backsim \Delta SIA$ (g.g), suy ra \(\frac{{SA}}{{SO}} = \frac{{SI}}{{SA}}\), do đó \(S{A^2} = SI.SO\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(SE.SD = SI.SO\).
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ chính là diện tích hình quạt tròn ứng với cung AB nhỏ.
Xét \(\Delta SAO\) vuông tại A, ta có: \(\cos SOA = \frac{{OA}}{{OS}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\) nên \(\widehat {SOA} = 60^\circ \).
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có OS là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\),
suy ra \(\widehat {AOB} = 2.\widehat {SOA} = 2.60^\circ = 120^\circ \).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ là:
\(S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} \approx \frac{{3,{{14.8}^2}.120}}{{360}} \approx 67\left( {c{m^2}} \right)\)
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ khoảng \(67c{m^2}\).
Tải về
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\).
a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số trên.
b) Minh đang thiết kế một mô hình Parabol để mô phỏng quỹ đạo của một quả bóng trong trò chơi của mình. Quỹ đạo được biểu diễn bằng hàm số sau: \(y = \frac{1}{2}{x^2}\). Minh muốn tìm các vị trí trên quỹ đạo mà độ cao của quả bóng so với mặt đất là 0,5 mét. Hỏi tại những điểm nào trên mặt phẳng, quả bóng đạt được độ cao này?
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình \({x^2} + 5x - 8 = 0\)
a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 2}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 2}}\).
Câu 3 (1,5 điểm): Ở giữa mùa giải AFF Cup 2024 - 2025, nơi mà những đội bóng hàng đầu Đông Nam Á tranh tài quyết liệt để giành lấy danh hiệu cao quý. Kết quả bảng B như sau:
Trong mỗi trận đấu, các đội sẽ được thưởng điểm như sau:
a) Giả sử chọn ngẫu nhiên một đội bóng từ bảng B. Hãy tính xác suất của đội bóng có số trận thắng là 1.
b) Hãy tính xác suất để một đội bóng được chọn ngẫu nhiên có số điểm từ 4 trở lên.
Câu 4 (1 điểm): Ông An có một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 100(m) và chiều rộng 40(m) (Hình 1). Ông dự định xây dựng khu nghỉ dưỡng nên ông cho đào mương xung quanh mảnh đất để lấy đất bồi thêm đất nền cao hơn. Ông cho đào 3 mặt của mảnh đất như hình 2, độ rộng mương là \(x\left( m \right)\) \(\left( {0 < x < 10} \right)\)
a) Gọi S là diện tích phần đất nền (phần in đậm) sau khi được bồi thêm. Hãy viết biểu thức dưới dạng thu gọn tính S theo x.
b) Phần đất nền sau khi được bồi thêm đo được diện tích là \(3298{m^2}\). Để tránh rủi ro trẻ em có thể té xuống mương, ông cho làm hàng rào bao quanh phần đất nền tiếp giáp với mương bằng lưới B40. Tính chiều dài lưới B40 mà ông cần mua.
Câu 5 (1 điểm): Một ống đựng các viên vitamin C có dạng hình trụ với đường kính đáy là \(4\,{\rm{cm}}\) và chiều cao là \(12\,{\rm{cm}}\). Mỗi viên vitamin C hình cầu với bán kính là \(0,5\,\,{\rm{cm}}\).
a) Tính thể tích của ống vitamin C và thể tích của một viên vitamin C (tính theo đơn vị cm3 và làm tròn đến hàng phần trăm).
Biết công thức tính thể tích hình trụ là \(V = \pi {R^2}h\) (R là bán kính đáy, h đường cao của hình trụ)
Thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\) (R là bán của kính hình cầu).
b) Biết rằng trong ống có một lớp không khí chiếm \(10{\rm{\% }}\) thể tích của ống. Tính số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống.
Câu 6 (1 điểm): Formalin là dung dịch có chứa từ \(37 - 40\% \) Formaldehyde. Formaldehyde có khả năng kháng khuẩn, kháng nấm nên được dùng làm chất bảo quản trong y tế. Một nhà máy sản xuất Formalin đang có một lượng dung dịch Formaldehyde nồng độ \(15\% \) và một lượng Formaldehyde nồng độ \(65\% \).
a) Tính thể tích mỗi loại Formaldehyde trên để điều chế được \(300\) lít Formaldehyde \(35\% \). Giả sử nguyên liệu không bị hao hụt trong quá trình sản xuất.
b) Một cơ sở y tế đặt hàng nhà máy trên một đơn hàng Formalin. Nhà máy dùng \(200\) lít Formaldehyde \(15\% \) cùng một lượng Formaldehyde \(65\% \) để sản xuất ra Formalin. Hỏi thể tích của Formaldehyde \(65\% \) nằm trong khoảng nào thì có thể sản xuất được Formalin. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của lít)
Câu 7 (3 điểm): Cho điểm S ngoài (O; R) với SO = 2.R, vẽ 2 tiếp tuyến SA và SB đến đường tròn (A, B là tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của AB với SO.
a) Chứng minh: Bốn điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn và \(SO \bot AB\) tại I.
b) Vẽ đường kính AD của đường tròn (O). Đoạn thẳng SD cắt đường tròn (O) tại điểm E (E khác D). Chứng minh: \(SE.SD = S{A^2}\) và \(SE.SD = SI.SO\).
c) Biết bán kính R = 8cm. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, lấy \(\pi \approx 3,14\).
-------- HẾT --------
Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\).
a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số trên.
b) Minh đang thiết kế một mô hình Parabol để mô phỏng quỹ đạo của một quả bóng trong trò chơi của mình. Quỹ đạo được biểu diễn bằng hàm số sau: \(y = \frac{1}{2}{x^2}\). Minh muốn tìm các vị trí trên quỹ đạo mà độ cao của quả bóng so với mặt đất là 0,5 mét. Hỏi tại những điểm nào trên mặt phẳng, quả bóng đạt được độ cao này?
Phương pháp
a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ.
b) Gọi điểm thuộc \(\left( P \right)\) thoả mãn đề bài là \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\).
Vì Minh muốn tìm các vị trí trên quỹ đạo mà độ cao của quả bóng so với mặt đất là 0,5 mét nên \({y_M} = \frac{1}{2}\).
Thay vào hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) để tìm giá trị \({x_M}\) tương ứng.
Lời giải
a) Ta có bảng giá trị sau:
Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm \(O\,\left( {0;0} \right);A\left( { - 2;2} \right);B\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right);\,\,C\left( {1;\frac{1}{2}} \right);\,\,D\left( {2;2} \right)\)
Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:
b) Gọi điểm thuộc \(\left( P \right)\) thoả mãn đề bài là \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\).
Minh muốn tìm các vị trí trên quỹ đạo mà độ cao của quả bóng so với mặt đất là 0,5 mét nên \({y_M} = \frac{1}{2}\).
Do đó \(\frac{1}{2}{x_M}^2 = \frac{1}{2}\)
Suy ra \({x_M}^2 = 1\)
nên \({x_M} = 1\) hoặc \({x_M} = - 1\).
Vậy toạ độ điểm M là \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\); \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).
Câu 2 (1 điểm): Cho phương trình \({x^2} + 5x - 8 = 0\)
a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 2}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 2}}\).
Phương pháp
a) Kiểm tra nghiệm của phương trình theo \(a.c\).
b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi.
Định lí Viète: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\)
Lời giải
a) Phương trình \({x^2} + 5x - 8 = 0\) có:
\(a.c = 1.\left( { - 8} \right) = - 8 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
b) Áp dụng định lí Viète, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 5}}{1} = - 5}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{ - 8}}{1} = - 8}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 2}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 2}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{x_1^2 - 2{x_1} + x_2^2 - 2{x_2}}}{{\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}\\ = \frac{{{{\left( { - 5} \right)}^2} - 2.\left( { - 8} \right) - 2.\left( { - 5} \right)}}{{\left( { - 8} \right) - 2.\left( { - 5} \right) + 4}}\\ = \frac{{25 + 16 + 10}}{{ - 8 + 10 + 4}}\\ = \frac{{17}}{2}\end{array}\)
Vậy \(A = \frac{{17}}{2}\).
Câu 3 (1,5 điểm): Ở giữa mùa giải AFF Cup 2024 - 2025, nơi mà những đội bóng hàng đầu Đông Nam Á tranh tài quyết liệt để giành lấy danh hiệu cao quý. Kết quả bảng B như sau:
Trong mỗi trận đấu, các đội sẽ được thưởng điểm như sau:
a) Giả sử chọn ngẫu nhiên một đội bóng từ bảng B. Hãy tính xác suất của đội bóng có số trận thắng là 1.
b) Hãy tính xác suất để một đội bóng được chọn ngẫu nhiên có số điểm từ 4 trở lên.
Phương pháp
a) Xác định các đội có số trận thắng là 1.
Xác suất của đội bóng có số trận thắng là 1 bằng tỉ số giữa số đội bóng có số trận thắng là 1 với tổng số đội bóng.
b) Tính điểm đạt được của các đội. Xác định các đội có số điểm từ 4 trở lên.
Xác suất để một đội bóng được chọn ngẫu nhiên có số điểm từ 4 trở lên bằng tỉ số giữa số đội bóng có số điểm từ 4 trở lên với tổng số đội bóng.
Lời giải
a) Số đội có số trận thắng là 1 là 2. Đó là Indonesia, Myanmar.
Tổng số đội là: 5
Vậy xác suất của đội bóng có số trận thắng là 1 là: \(\frac{2}{5}\).
b) Ta có bảng điểm của các đội như sau:
Có 3 đội có điểm từ 4 trở lên, đó là: Việt Nam, Philippines, Indonesia.
Tổng số đội là: 5
Vậy xác suất để một đội bóng được chọn ngẫu nhiên có số điểm từ 4 trở lên là: \(\frac{3}{5}\)
Câu 4 (1 điểm): Ông An có một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 100(m) và chiều rộng 40(m) (Hình 1). Ông dự định xây dựng khu nghỉ dưỡng nên ông cho đào mương xung quanh mảnh đất để lấy đất bồi thêm đất nền cao hơn. Ông cho đào 3 mặt của mảnh đất như hình 2, độ rộng mương là \(x\left( m \right)\) \(\left( {0 < x < 10} \right)\)
a) Gọi S là diện tích phần đất nền (phần in đậm) sau khi được bồi thêm. Hãy viết biểu thức dưới dạng thu gọn tính S theo x.
b) Phần đất nền sau khi được bồi thêm đo được diện tích là \(3298{m^2}\). Để tránh rủi ro trẻ em có thể té xuống mương, ông cho làm hàng rào bao quanh phần đất nền tiếp giáp với mương bằng lưới B40. Tính chiều dài lưới B40 mà ông cần mua.
Phương pháp
a) Tính chiều dài và chiều rộng của phần đất nền.
Từ đó tính diện tích phần đất nền bằng công thức tính diện tích hình chữ nhật.
b) Từ diện tích của phần đất nền, giải phương trình bậc hai để tìm \(x\).
Chiều dài lưới B40 chính là tổng độ dài của phần đất nền một cạnh không tiếp giáp với mương.
Lời giải
a) Độ dài cạnh 100m giảm đi \(x\)m sau khi đào mương nên độ dài một cạnh của phần đất nền là: \(100 - x\) (m)
Độ dài cạnh 40m giảm đi \(2x\)m sau khi đào mương nên độ dài cạnh còn lại của phần đất nền là: \(40 - 2x\) (m)
Do đó sau khi đào mương thì độ dài hai cạnh của phần đất nền là: \(100 - x\)(m) và \(40 - 2x\)(m)
Khi đó diện tích phần đất nền là:
\(\begin{array}{l}S = \left( {100 - x} \right)\left( {40 - 2x} \right)\\ = 4000 - 40x - 200x + 2{x^2}\\ = 2{x^2} - 240x + 4000\end{array}\)
b) Phần đất nền sau khi được bồi thêm đo được diện tích là \(3298{m^2}\). Để tránh rủi ro trẻ em có thể té xuống mương, ông cho làm hàng rào bao quanh phần đất nền tiếp giáp với mương bằng lưới B40. Tính chiều dài lưới B40 mà ông cần mua.
Vì phần đất nền sau khi được bồi thêm đo được diện tích là \(3298{m^2}\) nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}2{x^2} - 240x + 4000 = 3298\\2{x^2} - 240x + 702 = 0\\{x^2} - 120x + 351 = 0\end{array}\)
Giải phương trình, ta được: \({x_1} = 3\left( {TM} \right);{x_2} = 117\left( {KTM} \right)\)
Khi đó hai cạnh của phần đất nền là: \(100 - 3 = 97\left( m \right)\) và \(40 - 2.3 = 34\left( m \right)\).
Tổng độ dài các cạnh tiếp giáp với mương là: \(97.2 + 34 = 228\left( m \right)\).
Vậy chiều dài lưới B40 mà ông cần mua là 228m.
Câu 5 (1 điểm): Một ống đựng các viên vitamin C có dạng hình trụ với đường kính đáy là \(4\,{\rm{cm}}\) và chiều cao là \(12\,{\rm{cm}}\). Mỗi viên vitamin C hình cầu với bán kính là \(0,5\,\,{\rm{cm}}\).
a) Tính thể tích của ống vitamin C và thể tích của một viên vitamin C (tính theo đơn vị cm3 và làm tròn đến hàng phần trăm).
Biết công thức tính thể tích hình trụ là \(V = \pi {R^2}h\) (R là bán kính đáy, h đường cao của hình trụ)
Thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\) (R là bán của kính hình cầu).
b) Biết rằng trong ống có một lớp không khí chiếm \(10{\rm{\% }}\) thể tích của ống. Tính số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống.
Phương pháp
a) Tính bán kính của ống đựng = đường kính : 2.
Thể tích của ống vitamin C bằng công thức tính thể tích hình trụ.
Thể tích của viên vitamin C bằng công thức tính thể tích hình cầu.
b) Tính thể tích có thể chứa của ống vitamin C là: \(\left( {100\% - 10\% } \right).{V_t}\)
Tính tỉ số giữa thể tích có thể chứa : thể tích viên vitamin C.
Từ đó ta có số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống.
Lời giải
a) Bán kính của ống đựng là: \(4:2 = 2\left( {cm} \right)\)
Thể tích của ống vitamin C là: \({V_t} = \pi {.2^2}.12 = 48\pi \approx 150,8\left( {c{m^3}} \right)\)
Thể tích của viên vitamin C là: \({V_c} = \frac{4}{3}.\pi .0,{5^3} = \frac{\pi }{6} \approx 0,52\left( {c{m^3}} \right)\)
b) Biết rằng trong ống có một lớp không khí chiếm \(10{\rm{\% }}\) thể tích của ống. Tính số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống.
Thể tích có thể chứa của ống vitamin C là: \(\left( {100\% - 10\% } \right).{V_t} \approx 90\% .150,8 = 135,72\left( {c{m^3}} \right)\)
Ta có: \(\frac{{135,72}}{{0,52}} = 261\). Do đó số viên vitamin C tối đa có thể chứa trong ống là 261 viên.
Câu 6 (1 điểm): Formalin là dung dịch có chứa từ \(37 - 40\% \) Formaldehyde. Formaldehyde có khả năng kháng khuẩn, kháng nấm nên được dùng làm chất bảo quản trong y tế. Một nhà máy sản xuất Formalin đang có một lượng dung dịch Formaldehyde nồng độ \(15\% \) và một lượng Formaldehyde nồng độ \(65\% \).
a) Tính thể tích mỗi loại Formaldehyde trên để điều chế được \(300\) lít Formaldehyde \(35\% \). Giả sử nguyên liệu không bị hao hụt trong quá trình sản xuất.
b) Một cơ sở y tế đặt hàng nhà máy trên một đơn hàng Formalin. Nhà máy dùng \(200\) lít Formaldehyde \(15\% \) cùng một lượng Formaldehyde \(65\% \) để sản xuất ra Formalin. Hỏi thể tích của Formaldehyde \(65\% \) nằm trong khoảng nào thì có thể sản xuất được Formalin. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của lít)
Phương pháp
a) Gọi \(x\,\left( {\rm{l}} \right),\,y\left( {\rm{l}} \right)\) lần lượt là thể tích của dung dịch Formaldehyde \(15\% \) và Formaldehyde \(65\% \) cần sử dụng (\(0 < x,y < 300\)).
Viết phương trình biểu diễn tổng thể tích hai loại dung dịch, nồng độ Formaldehyde trong dung dịch.
Từ đó ta lập được hệ phương trình.
Giải hệ phương trình vừa lập.
Kiểm tra lại điều kiện và kết luận.
b) Gọi \(x\,\left( {\rm{l}} \right)\) là thể tích Formaldehyde \(65\% \) (\(x > 0\)).
Biểu diễn tổng độ của Formaldehyde sau khi trộn hai loại dung dịch lại.
Do Formalin có nồng độ Formaldehyde từ \(37 - 40\% \) nên ta viết bất phương trình nồng độ dung dịch.
Giải các bất phương trình.
Lời giải
a) Gọi \(x\,\left( {\rm{l}} \right),\,y\left( {\rm{l}} \right)\) lần lượt là thể tích của dung dịch Formaldehyde \(15\% \) và Formaldehyde \(65\% \) cần sử dụng (\(0 < x,y < 300\)).
Vì tổng thể tích hai loại dung dịch là \(300\) nên ta có phương trình: \(x + y = 300\) (1).
Vì nồng độ Formaldehyde trong dung dịch lúc sau là \(35\% \) nên ta có: \(0,15x + 0,65y = 300.0,35\) hay \(0,15x + 0,65y = 105\) (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 300\\0,15x + 0,65y = 105\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình, ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 180\,\left( {TM} \right)\\y = 120\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).
Vậy thể tích của Formaldehyde \(15\% \) và Formaldehyde \(65\% \) lần lượt là \(180\) lít và \(120\) lít.
b) Gọi \(x\,\left( {\rm{l}} \right)\) là thể tích Formaldehyde \(65\% \) (\(x > 0\)).
Nồng độ của Formaldehyde sau khi trộn hai loại dung dịch lại là \(\frac{{200.15\% + x.65\% }}{{200 + x}} = \frac{{0,65x + 30}}{{x + 200}}\).
Do Formalin có nồng độ Formaldehyde từ \(37 - 40\% \) nên ta có:
\(37\% \le \frac{{0,65x + 30}}{{x + 200}} \le 40\% \) hay \(0,37 \le \frac{{0,65x + 30}}{{x + 200}} \le 0,4\)
+) Giải bất phương trình: \(0,37 \le \frac{{0,65x + 30}}{{x + 200}}\)
\(\begin{array}{l}0,37 \le \frac{{0,65x + 30}}{{x + 200}}\\0,37\left( {x + 200} \right) \le 0,65x + 30\\0,37x + 74 - 0,65x - 30 \le 0\\ - 0,28x + 44 \le 0\\x \ge 157\end{array}\)
+) Giải bất phương trình: \(\frac{{0,65x + 30}}{{x + 200}} \le 0,4\)
\(\begin{array}{l}\frac{{0,65x + 30}}{{x + 200}} \le 0,4\\0,65x + 30 \le 0,4x + 80\\0,25x \le 50\\x \le 200\end{array}\)
Ta được \(x \ge 157\) và \(x \le 200\) hay \(157 \le x \le 200\).
Vậy thể tích Formaldehyde từ \(157\) lít đến \(200\) lít thì thu được Formalin.
Câu 7 (3 điểm): Cho điểm S ngoài (O; R) với SO = 2.R, vẽ 2 tiếp tuyến SA và SB đến đường tròn (A, B là tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của AB với SO.
a) Chứng minh: Bốn điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn và \(SO \bot AB\) tại I.
b) Vẽ đường kính AD của đường tròn (O). Đoạn thẳng SD cắt đường tròn (O) tại điểm E (E khác D). Chứng minh: \(SE.SD = S{A^2}\) và \(SE.SD = SI.SO\).
c) Biết bán kính R = 8cm. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, lấy \(\pi \approx 3,14\).
Phương pháp
a) Chứng minh: Bốn điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn
Chứng minh \(\Delta OAS\) và \(\Delta OBS\) cùng nội tiếp đường tròn đường kính OS.
Do đó bốn điểm S, A, O, B thuộc đường tròn đường kính OS.
Chứng minh \(SO \bot AB\) tại I.
Chứng minh SO là đường trung trực của AB.
Suy ra \(SO \bot AB\) tại I.
b) Chứng minh \(SE.SD = S{A^2}\)
Chứng minh \(\Delta AES\backsim \Delta DAS\left( g.g \right)\) suy ra \(SE.SD = S{A^2}\).
Chứng minh \(SE.SD = SI.SO\)
Chứng minh $\Delta SAO\backsim \Delta SIA$ (g.g), suy ra \(S{A^2} = SI.SO\).
Từ (1) và (2) suy ra \(SE.SD = SI.SO\).
c) Biết bán kính R = 8cm. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Sử dụng tỉ số lượng giác để tính \(\cos SOA\) suy ra \(\widehat {SOA}\).
Sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau để tính \(\widehat {AOB}\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ chính là diện tích hình quạt tròn ứng với cung AB nhỏ.
Diện tích được tính bởi công thức: \(S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\).
Lời giải
a) Chứng minh: Bốn điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn
Vì SA và SB là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(SA \bot OA\), \(SB \bot OB\) suy ra \(\widehat {OAS} = \widehat {OBS} = 90^\circ \)
Do đó \(\Delta OAS\) vuông tại A nên \(\Delta OAS\) nội tiếp đường tròn đường kính OS.
\(\Delta OBS\) vuông tại B nên \(\Delta OBS\) nội tiếp đường tròn đường kính OS.
Do đó bốn điểm S, A, O, B thuộc đường tròn đường kính OS.
Chứng minh \(SO \bot AB\) tại I.
Ta có: SA = SB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OB (= R)
nên SO là đường trung trực của AB.
Suy ra \(SO \bot AB\) tại I.
b) Chứng minh \(SE.SD = S{A^2}\)
Ta có \(\widehat {AED} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AES} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét \(\Delta AES\) và \(\Delta DAS\) có:
\(\widehat {DAS} = \widehat {AES} = 90^\circ \)
\(\widehat {ASD}\) chung
nên \(\Delta AES\backsim \Delta DAS\left( g.g \right)\) suy ra \(\frac{{SE}}{{AS}} = \frac{{AS}}{{SD}}\), do đó \(SE.SD = S{A^2}\). (1)
Chứng minh \(SE.SD = SI.SO\)
Xét \(\Delta SAO\) và \(\Delta SIA\) có:
\(\widehat {SAO} = \widehat {SIA} = 90^\circ \) (SA là tiếp tuyến, \(SO \bot AB\) tại I)
\(\widehat {ASO}\) chung
nên $\Delta SAO\backsim \Delta SIA$ (g.g), suy ra \(\frac{{SA}}{{SO}} = \frac{{SI}}{{SA}}\), do đó \(S{A^2} = SI.SO\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(SE.SD = SI.SO\).
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ chính là diện tích hình quạt tròn ứng với cung AB nhỏ.
Xét \(\Delta SAO\) vuông tại A, ta có: \(\cos SOA = \frac{{OA}}{{OS}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\) nên \(\widehat {SOA} = 60^\circ \).
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có OS là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\),
suy ra \(\widehat {AOB} = 2.\widehat {SOA} = 2.60^\circ = 120^\circ \).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ là:
\(S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} \approx \frac{{3,{{14.8}^2}.120}}{{360}} \approx 67\left( {c{m^2}} \right)\)
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB nhỏ khoảng \(67c{m^2}\).
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 tại TP. Hồ Chí Minh là một bước ngoặt quan trọng trong sự nghiệp học tập của mỗi học sinh. Để đạt được kết quả tốt nhất, việc luyện tập với các đề tham khảo là vô cùng cần thiết. Đề tham khảo thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2025 - Đề số 3 của toan11.edu.vn được thiết kế để giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi chính thức.
Đề thi này bao gồm hai phần chính: trắc nghiệm và tự luận. Phần trắc nghiệm chiếm khoảng 40% tổng số điểm, tập trung vào các kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng nhanh của học sinh. Phần tự luận chiếm 60% tổng số điểm, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích, suy luận và giải quyết vấn đề một cách logic.
Nội dung đề thi bao gồm các chủ đề chính sau:
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về đề thi và cách giải các bài toán, toan11.edu.vn cung cấp hướng dẫn giải chi tiết cho từng câu hỏi. Hướng dẫn giải bao gồm các bước giải cụ thể, giải thích rõ ràng và các lưu ý quan trọng. Học sinh có thể tham khảo hướng dẫn giải để tự kiểm tra và đánh giá kết quả của mình.
Việc luyện tập với các đề tham khảo mang lại nhiều lợi ích cho học sinh:
Để đạt được hiệu quả tốt nhất khi làm đề tham khảo, học sinh nên:
Ngoài đề tham khảo số 3, toan11.edu.vn còn cung cấp nhiều đề tham khảo khác cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2025. Học sinh có thể truy cập website để tải về và luyện tập.
Đề tham khảo thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2025 - Đề số 3 của toan11.edu.vn là một công cụ hữu ích giúp học sinh chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi quan trọng này. Chúc các em học sinh ôn tập tốt và đạt được kết quả cao nhất!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
