toan11.edu.vn xin giới thiệu bộ đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2021 chính thức, được tổng hợp đầy đủ và cập nhật mới nhất. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh sắp tới.
Chúng tôi cung cấp đề thi với nhiều dạng bài tập khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, bao gồm các chủ đề trọng tâm thường xuất hiện trong đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh.
Câu 1 (2,0 điểm): a) Thực hiện phép tính:
Câu 1 (2,0 điểm):
a) Thực hiện phép tính: \(2\sqrt {16} - \sqrt {25} .\)
b) Rút gọn biểu thức: \(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 4.\)
c) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 9\\x + 3y = 7\end{array} \right..\)
Bài 2 (2,0 điểm):
Cho phương trình \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,\), với \(m\) là tham số.
a) Giải phương trình với \(m = - 2\).
b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 - 3{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\).
Câu 3 (2 điểm):
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Lớp 9B có 42 học sinh. Vừa qua lớp đã phát động phong trào tặng sách cho các bạn đang cách ly vì dịch bệnh Covid-19. Tại buổi phát động, mỗi học sinh trong lớp đều tặng 3 quyển sách hoặc 5 quyển sách. Kết quả cả lớp tặng được 146 quyển sách. Hỏi lớp 9B có bao nhiêu bạn tặng 3 quyển sách và bao nhiêu bạn tặng 5 quyển sách?
Câu 4 (3,5 điểm):
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn. Qua \(M\) kẻ tiếp tuyến \(MA\) với đường tròn \(\left( O \right)\)(\(A\) là tiếp điểm). Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(MO\) đường thẳng này cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\)(\(C\) khác \(A\)). Đường thẳng \(MC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(B\)(\(B\) khác \(C\)). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(MAHO\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{MA}}{{MC}}\).
c) Chứng minh \(\angle BAH = {90^0}\).
d) Vẽ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh hai tam giác \(ACH\) và \(DMO\)đồng dạng.
Câu 5 (0,5 điểm):
Cho các số thực không âm \(a,\,\,b\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P = \dfrac{{\left( {{a^2} + 2b + 3} \right)\left( {{b^2} + 2a + 3} \right)}}{{\left( {2a + 1} \right)\left( {2b + 1} \right)}}\)
Câu 1:
Phương pháp:
a) Khai phương biểu thức trong căn để tính giá trị của biểu thức
b) Quy đồng các phân thức đại số, cộng các phân thức đại số để rút gọn biểu thức
c) Sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm \(y\), sau đó thay vào phương trình (1) hoặc (2) để tìm nghiệm \(x\) và kết luận
Cách giải:
a) Ta có: \(2\sqrt {16} - \sqrt {25} = 2\sqrt {{4^2}} - \sqrt {{5^2}} \)\( = 2.4 - 5 = 3.\)
b) Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x + 2 + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt x }}{{x - 4}}.\dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }} = 2.\end{array}\)
Vậy \(A = 2.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 9\\x + 3y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 7 - 3y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7 - 3.2\\y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right..\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \(S = \left\{ {\left( {1;\,\,2} \right)} \right\}.\)
Câu 2:
Phương pháp:
a) Thay \(m = - 2\) vào phương trình, sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn hoặc đưa phương trình về phương trình tích để giải tìm nghiệm.
b) Tính \(\Delta \) (hoặc \(\Delta '\)), phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\) (hoặc \(\Delta ' > 0\)), theo hệ thức vi – ét xác định tổng và tích của hai nghiệm của phương trình; biến đổi \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\), khi tìm được \(m\) chú ý kiểm tra lại điều kiện.
Cách giải:
a) Với \(m = - 2\) phương trình trở thành: \({x^2} - 2x - 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\Delta ' = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 3} \right)}}{1} = 4\), phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \dfrac{{1 + \sqrt 4 }}{1} = 3,\,\,\,{x_2} = \dfrac{{1 - \sqrt 4 }}{1} = - 1\)
Vậy với \(m = - 2\), phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 1;3} \right\}\).
b) Xét phương trình: \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)\( \Leftrightarrow 1 - \left( {m - 1} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow 1 - m + 1 > 2 \Leftrightarrow m < 2.\)
Với \(m < 2\) thì phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Áp dụng hệ thức Vi- ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)
Theo đề bài ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 - 3{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 3{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 5{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\\ \Leftrightarrow {2^2} - 5\left( {m - 1} \right) = 2{m^2} + m - 3\,\,\,\,\left( {do\,\,m < 2 \Rightarrow \left| {m - 3} \right| = 3 - m} \right)\\ \Leftrightarrow 4 - 5m + 5 = 2{m^2} + 3 - m\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 3\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy với \(m \in \left\{ { - 3;1} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3:
Phương pháp:
Gọi số học sinh tặng 3 quyển sách là \(x\) (học sinh), \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < 42} \right)\), số học sinh tặng 5 quyển sách là \(y\) (học sinh), \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*},\,\,y < 42} \right)\), sau đó lập hệ phương trình để tìm ra \(x\) và \(y\)
Cách giải:
Gọi số học sinh tặng 3 quyển sách là \(x\) (học sinh), \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < 42} \right).\)
số học sinh tặng 5 quyển sách là \(y\) (học sinh), \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*},\,\,y < 42} \right).\)
Tổng số bạn học sinh của lớp 9B là 42 bạn nên ta có: \(x + y = 42\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Số sách mà \(x\) học sinh tặng được là: \(3x\) (quyển).
Số sách mà \(y\) học sinh tặng được là: \(5y\) (quyển).
Tổng số sách lớp 9B tặng được là 146 quyển nên ta có phương trình:\(3x + 5y = 146\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 42\\3x + 5y = 146\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 126\\3x + 5y = 146\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y = 20\\x = 42 - y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 10\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 42 - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\,\,\left( {tm} \right)\\y = 10\,\,\,\end{array} \right.\)
Vậy lớp 9B có 32 học sinh tặng 3 quyển sách và 10 học sinh tặng 10 quyển sách.
Câu 4:
Phương pháp:
a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: hai góc cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau bằng nhau
b) Chứng minh \(\Delta MAB \sim \Delta MCA\,\,\,\left( {g - g} \right)\) để suy ra hệ thức của đề bài
c) Chứng minh \(\angle MAO = \angle MAB + \angle BAO = {90^0}\) để suy ra \(\angle BAH = {90^0}\)
d) Chứng minh \(\angle AHC = \angle DOM\) và \(\dfrac{{AH}}{{OD}} = \dfrac{{HC}}{{OM}}\)
Cách giải:
a) Ta có: \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(BC\) \( \Rightarrow OH \bot BC \Rightarrow \angle OHB = {90^0}\) hay \(\angle OHM = {90^0}\)
Tứ giác \(MAHO\) có \(\angle MAO = \angle OHM = {90^0}\)
Suy ra tứ giác \(MAHO\) nội tiếp (hai góc cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau bằng nhau).
b) Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MCA\) ta có:
\(\angle AMB\,\,\,chung\)
\(\angle MAB = \angle MCA\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng, góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))
\( \Rightarrow \Delta MAB \sim \Delta MCA\,\,\,\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) (đpcm).
c) Ta có: \(\angle OAH = \angle CMO\) (do tứ giác \(MAHO\) nội tiếp)
Lại có: \(\angle ACM = \angle CMO\) (hai góc so le trong)
\( \Rightarrow \angle OAH = \angle ACM\,\,\,\left( { = \angle CMO} \right)\)
Xét \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle MAB = \angle ACM\) (cmt)
\( \Rightarrow \angle OAH = \angle MAB\,\,\left( { = \angle ACM} \right).\)
Lại có: \(\angle MAB + \angle BAO = \angle MAO = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle BAO + \angle HAO = \angle BAH = {90^0}\) (đpcm).
d) Ta có: tứ giác \(AMOH\) nội tiếp nên \(\angle AHM = \angle AOM\)( hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\))
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle AHM + \angle AHC = {180^0}\\\angle HOM + \angle DOM = {180^0}\end{array} \right.\)( hai góc kề bù)
Từ đó suy ra: \(\angle AHC = \angle DOM\)\(\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta AHB\)và \(\Delta AOM\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle BAH = \angle MAO = {90^0}\\\angle AHB = \angle AOM\end{array} \right.\)
Suy ra \(\Delta AHB \sim \Delta AOM\)\(\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{OA}} = \dfrac{{HB}}{{OM}}\) (hai cạnh tương ứng)
Tam giác \(OBC\) có \(OB = OC\) nên tam giác \(OBC\) cân tại \(O\), có \(OH \bot BC\)
Nên \(OH\) đồng thời là đường trung tuyến \( \Rightarrow HB = HC\)
Hay \(\dfrac{{AH}}{{OD}} = \dfrac{{HC}}{{OM}}\)\(\left( 2 \right)\) do \(\left( {OA = OD,\,\,HB = HC} \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra: \(\Delta ACH \sim \Delta DMO\,\,\left( {c.g.c} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right)\).
Câu 5:
Phương pháp:
Biến đổi tử số và mẫu số sao cho có nhân tử \({\left( {a + b + 1} \right)^2}\), sau đó rút gọn để tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức \(P\)
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2} + 2b + 3 = {a^2} + 1 + 2b + 2 \ge 2\left( {a + b + 1} \right)\\{b^2} + 2a + 3 = {b^2} + 1 + 2a + 2 \ge 2\left( {a + b + 1} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow P \ge \dfrac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{\left( {2a + 1} \right)\left( {2b + 1} \right)}} = \dfrac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{4ab + 2\left( {a + b} \right) + 1}}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \Rightarrow 4ab \le {\left( {a + b} \right)^2}\\ \Rightarrow 4ab + 2\left( {a + b} \right) + 1 \le {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right) + 1 = {\left( {a + b + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow P \ge \dfrac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}} = 4\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = 1\).
Vậy \({P_{\min }} = 4 \Leftrightarrow a = b = 1\).
Câu 1 (2,0 điểm):
a) Thực hiện phép tính: \(2\sqrt {16} - \sqrt {25} .\)
b) Rút gọn biểu thức: \(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 4.\)
c) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 9\\x + 3y = 7\end{array} \right..\)
Bài 2 (2,0 điểm):
Cho phương trình \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,\), với \(m\) là tham số.
a) Giải phương trình với \(m = - 2\).
b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 - 3{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\).
Câu 3 (2 điểm):
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Lớp 9B có 42 học sinh. Vừa qua lớp đã phát động phong trào tặng sách cho các bạn đang cách ly vì dịch bệnh Covid-19. Tại buổi phát động, mỗi học sinh trong lớp đều tặng 3 quyển sách hoặc 5 quyển sách. Kết quả cả lớp tặng được 146 quyển sách. Hỏi lớp 9B có bao nhiêu bạn tặng 3 quyển sách và bao nhiêu bạn tặng 5 quyển sách?
Câu 4 (3,5 điểm):
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn. Qua \(M\) kẻ tiếp tuyến \(MA\) với đường tròn \(\left( O \right)\)(\(A\) là tiếp điểm). Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(MO\) đường thẳng này cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\)(\(C\) khác \(A\)). Đường thẳng \(MC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(B\)(\(B\) khác \(C\)). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(MAHO\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{MA}}{{MC}}\).
c) Chứng minh \(\angle BAH = {90^0}\).
d) Vẽ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh hai tam giác \(ACH\) và \(DMO\)đồng dạng.
Câu 5 (0,5 điểm):
Cho các số thực không âm \(a,\,\,b\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P = \dfrac{{\left( {{a^2} + 2b + 3} \right)\left( {{b^2} + 2a + 3} \right)}}{{\left( {2a + 1} \right)\left( {2b + 1} \right)}}\)
Câu 1:
Phương pháp:
a) Khai phương biểu thức trong căn để tính giá trị của biểu thức
b) Quy đồng các phân thức đại số, cộng các phân thức đại số để rút gọn biểu thức
c) Sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm \(y\), sau đó thay vào phương trình (1) hoặc (2) để tìm nghiệm \(x\) và kết luận
Cách giải:
a) Ta có: \(2\sqrt {16} - \sqrt {25} = 2\sqrt {{4^2}} - \sqrt {{5^2}} \)\( = 2.4 - 5 = 3.\)
b) Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x + 2 + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt x }}{{x - 4}}.\dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }} = 2.\end{array}\)
Vậy \(A = 2.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 9\\x + 3y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 7 - 3y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7 - 3.2\\y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right..\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \(S = \left\{ {\left( {1;\,\,2} \right)} \right\}.\)
Câu 2:
Phương pháp:
a) Thay \(m = - 2\) vào phương trình, sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn hoặc đưa phương trình về phương trình tích để giải tìm nghiệm.
b) Tính \(\Delta \) (hoặc \(\Delta '\)), phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\) (hoặc \(\Delta ' > 0\)), theo hệ thức vi – ét xác định tổng và tích của hai nghiệm của phương trình; biến đổi \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\), khi tìm được \(m\) chú ý kiểm tra lại điều kiện.
Cách giải:
a) Với \(m = - 2\) phương trình trở thành: \({x^2} - 2x - 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\Delta ' = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 3} \right)}}{1} = 4\), phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \dfrac{{1 + \sqrt 4 }}{1} = 3,\,\,\,{x_2} = \dfrac{{1 - \sqrt 4 }}{1} = - 1\)
Vậy với \(m = - 2\), phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 1;3} \right\}\).
b) Xét phương trình: \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)\( \Leftrightarrow 1 - \left( {m - 1} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow 1 - m + 1 > 2 \Leftrightarrow m < 2.\)
Với \(m < 2\) thì phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Áp dụng hệ thức Vi- ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)
Theo đề bài ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 - 3{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 3{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 5{x_1}{x_2} = 2{m^2} + \left| {m - 3} \right|\\ \Leftrightarrow {2^2} - 5\left( {m - 1} \right) = 2{m^2} + m - 3\,\,\,\,\left( {do\,\,m < 2 \Rightarrow \left| {m - 3} \right| = 3 - m} \right)\\ \Leftrightarrow 4 - 5m + 5 = 2{m^2} + 3 - m\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 3\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy với \(m \in \left\{ { - 3;1} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3:
Phương pháp:
Gọi số học sinh tặng 3 quyển sách là \(x\) (học sinh), \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < 42} \right)\), số học sinh tặng 5 quyển sách là \(y\) (học sinh), \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*},\,\,y < 42} \right)\), sau đó lập hệ phương trình để tìm ra \(x\) và \(y\)
Cách giải:
Gọi số học sinh tặng 3 quyển sách là \(x\) (học sinh), \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < 42} \right).\)
số học sinh tặng 5 quyển sách là \(y\) (học sinh), \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*},\,\,y < 42} \right).\)
Tổng số bạn học sinh của lớp 9B là 42 bạn nên ta có: \(x + y = 42\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Số sách mà \(x\) học sinh tặng được là: \(3x\) (quyển).
Số sách mà \(y\) học sinh tặng được là: \(5y\) (quyển).
Tổng số sách lớp 9B tặng được là 146 quyển nên ta có phương trình:\(3x + 5y = 146\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 42\\3x + 5y = 146\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 126\\3x + 5y = 146\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y = 20\\x = 42 - y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 10\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 42 - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\,\,\left( {tm} \right)\\y = 10\,\,\,\end{array} \right.\)
Vậy lớp 9B có 32 học sinh tặng 3 quyển sách và 10 học sinh tặng 10 quyển sách.
Câu 4:
Phương pháp:
a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: hai góc cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau bằng nhau
b) Chứng minh \(\Delta MAB \sim \Delta MCA\,\,\,\left( {g - g} \right)\) để suy ra hệ thức của đề bài
c) Chứng minh \(\angle MAO = \angle MAB + \angle BAO = {90^0}\) để suy ra \(\angle BAH = {90^0}\)
d) Chứng minh \(\angle AHC = \angle DOM\) và \(\dfrac{{AH}}{{OD}} = \dfrac{{HC}}{{OM}}\)
Cách giải:
a) Ta có: \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(BC\) \( \Rightarrow OH \bot BC \Rightarrow \angle OHB = {90^0}\) hay \(\angle OHM = {90^0}\)
Tứ giác \(MAHO\) có \(\angle MAO = \angle OHM = {90^0}\)
Suy ra tứ giác \(MAHO\) nội tiếp (hai góc cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau bằng nhau).
b) Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MCA\) ta có:
\(\angle AMB\,\,\,chung\)
\(\angle MAB = \angle MCA\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng, góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))
\( \Rightarrow \Delta MAB \sim \Delta MCA\,\,\,\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) (đpcm).
c) Ta có: \(\angle OAH = \angle CMO\) (do tứ giác \(MAHO\) nội tiếp)
Lại có: \(\angle ACM = \angle CMO\) (hai góc so le trong)
\( \Rightarrow \angle OAH = \angle ACM\,\,\,\left( { = \angle CMO} \right)\)
Xét \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle MAB = \angle ACM\) (cmt)
\( \Rightarrow \angle OAH = \angle MAB\,\,\left( { = \angle ACM} \right).\)
Lại có: \(\angle MAB + \angle BAO = \angle MAO = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle BAO + \angle HAO = \angle BAH = {90^0}\) (đpcm).
d) Ta có: tứ giác \(AMOH\) nội tiếp nên \(\angle AHM = \angle AOM\)( hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\))
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle AHM + \angle AHC = {180^0}\\\angle HOM + \angle DOM = {180^0}\end{array} \right.\)( hai góc kề bù)
Từ đó suy ra: \(\angle AHC = \angle DOM\)\(\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta AHB\)và \(\Delta AOM\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle BAH = \angle MAO = {90^0}\\\angle AHB = \angle AOM\end{array} \right.\)
Suy ra \(\Delta AHB \sim \Delta AOM\)\(\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{OA}} = \dfrac{{HB}}{{OM}}\) (hai cạnh tương ứng)
Tam giác \(OBC\) có \(OB = OC\) nên tam giác \(OBC\) cân tại \(O\), có \(OH \bot BC\)
Nên \(OH\) đồng thời là đường trung tuyến \( \Rightarrow HB = HC\)
Hay \(\dfrac{{AH}}{{OD}} = \dfrac{{HC}}{{OM}}\)\(\left( 2 \right)\) do \(\left( {OA = OD,\,\,HB = HC} \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra: \(\Delta ACH \sim \Delta DMO\,\,\left( {c.g.c} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right)\).
Câu 5:
Phương pháp:
Biến đổi tử số và mẫu số sao cho có nhân tử \({\left( {a + b + 1} \right)^2}\), sau đó rút gọn để tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức \(P\)
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2} + 2b + 3 = {a^2} + 1 + 2b + 2 \ge 2\left( {a + b + 1} \right)\\{b^2} + 2a + 3 = {b^2} + 1 + 2a + 2 \ge 2\left( {a + b + 1} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow P \ge \dfrac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{\left( {2a + 1} \right)\left( {2b + 1} \right)}} = \dfrac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{4ab + 2\left( {a + b} \right) + 1}}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \Rightarrow 4ab \le {\left( {a + b} \right)^2}\\ \Rightarrow 4ab + 2\left( {a + b} \right) + 1 \le {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right) + 1 = {\left( {a + b + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow P \ge \dfrac{{4{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}} = 4\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = 1\).
Vậy \({P_{\min }} = 4 \Leftrightarrow a = b = 1\).
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 tại Quảng Ninh là một bước ngoặt quan trọng trong sự nghiệp học tập của các em học sinh. Để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi này, việc nắm vững kiến thức và làm quen với cấu trúc đề thi là vô cùng cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em phân tích chi tiết về Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2021, cùng với hướng dẫn giải các bài tập khó, giúp các em tự tin đối mặt với kỳ thi.
Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2021 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Nhìn chung, đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2021 có độ khó tương đối cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải toán tốt. Đề thi thường tập trung vào các kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 9, đồng thời có một số bài toán vận dụng cao, đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy logic và sáng tạo.
Dưới đây là một số hướng dẫn giải các bài toán khó thường xuất hiện trong đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2021:
Để giải các bài toán về phương trình bậc hai, các em cần nắm vững các công thức nghiệm và các phương pháp giải phương trình bậc hai, như phương pháp phân tích thành nhân tử, phương pháp sử dụng công thức nghiệm, và phương pháp hoàn thiện bình phương.
Để giải các bài toán về hệ phương trình, các em có thể sử dụng các phương pháp như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, và phương pháp đặt ẩn phụ.
Để giải các bài toán về hình học phẳng, các em cần nắm vững các định lý và tính chất cơ bản của hình học phẳng, như định lý Pitago, định lý Thales, và các tính chất của các hình đặc biệt như tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn.
Để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh, các em cần luyện tập thường xuyên với các đề thi thử và đề thi chính thức của các năm trước. Việc luyện tập sẽ giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán, và tự tin hơn khi làm bài thi.
Ngoài đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2021, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2021 là một kỳ thi quan trọng, đòi hỏi các em học sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng. Hy vọng rằng với những phân tích và hướng dẫn giải trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn và đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi sắp tới. Chúc các em thành công!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
