Chào mừng các em học sinh đến với Đề số 36 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán. Đây là một trong những đề thi thử quan trọng, được thiết kế để giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi tuyển sinh vào lớp 10 và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề thi này bao gồm các dạng bài tập khác nhau, từ đại số đến hình học, giúp các em ôn tập kiến thức một cách toàn diện. Đi kèm với đề thi là đáp án chi tiết, giúp các em tự đánh giá kết quả và rút kinh nghiệm.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán - Đề số 36 có đáp án và lời giải chi tiết
Đề bài
Câu 1 (2 điểm):
a) Tìm \(x\) để biểu thức sau có nghĩa: \(P = \sqrt {5x + 3} + 2018\sqrt[3]{x}.\)
b) Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}.\) Điểm \(D\) có hoành độ \(x = - 2\) thuộc đồ thị hàm số. Tìm tọa độ điểm \(D.\)
c) Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) để đường thẳng \(d:\;\;y = ax + b - 1\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\;1} \right)\) và \(B\left( {2;\;3} \right).\)
Câu 2 (2,0 điểm):
Cho biểu thức: \(P = \dfrac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\) (với \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y\)).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Chứng minh rằng \(P \le 1.\)
Câu 3 (2,0 điểm):
Cho phương trình \({x^2} - 4mx + 4{m^2} - 2 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)
a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) khi \(m = 1.\)
b) Chứng minh rằng với mọi \(m\) phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Giả sử hai nghiệm là \({x_1},\;{x_2}\) khi đó tìm \(m\) để \(x_1^2 + 4m{x_2} + 4{m^2} - 6 = 0.\)
Câu 4 (3,5 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Dựng AH vuông góc với BD tại điểm H, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.
a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AD.AN = AB.AM.
c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.
d) Cho AB = 6cm, AD = 8cm. Tính độ dài đoạn MN.
Câu 5 (0,5 điểm): Giải phương trình: \(3\sqrt 3 \left( {{x^2} + 4x + 2} \right) - \sqrt {x + 8} = 0.\)
Lời giải chi tiết
Câu 1:
a) Tìm \(x\) để biểu thức sau có nghĩa: \(P = \sqrt {5x + 3} + 2018\sqrt[3]{x}.\)
Biểu thức có nghĩa \( \Leftrightarrow 5x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \dfrac{3}{5}.\)
Vậy với \(x \ge - \dfrac{3}{5}\) thì biểu thức \(P\) có nghĩa.
b) Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}.\) Điểm \(D\) có hoành độ \(x = - 2\) thuộc đồ thị hàm số. Tìm tọa độ điểm \(D.\)
Điểm \(D\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) và có hoành độ \(x = - 2 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}.{\left( { - 2} \right)^2} = 2.\)
Vậy \(D\left( { - 2;\;2} \right).\)
c) Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) để đường thẳng \(d:\;\;y = ax + b - 1\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\;1} \right)\) và \(B\left( {2;\;3} \right).\)
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\;1} \right)\) và \(B\left( {2;\;3} \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1.a + b - 1\\3 = 2.a + b - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\2a + b = 4\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 0\end{array} \right..\)
Vậy \(a = 2\) và \(b = 0.\)
Câu 2:
Cho biểu thức: \(P = \dfrac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\) (với \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y\)).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
Điều kiện: \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y.\)
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }} - \dfrac{{x + 2\sqrt {xy} + y - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \sqrt x + \sqrt y - y\\\;\;\; = 2\sqrt y - y.\end{array}\)
b) Chứng minh rằng \(P \le 1.\)
Ta có: \(P \le 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt y - y \le 1\\ \Leftrightarrow 1 - 2\sqrt y + y \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt y - 1} \right)^2} \ge 0\;\;\forall y > 0.\end{array}\)
Vậy \(P \le 1.\)
Câu 3:
Cho phương trình \({x^2} - 4mx + 4{m^2} - 2 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)
a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) khi \(m = 1.\)
Với \(m = 1\) ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta ' = 4 - 2 = 2 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2 + \sqrt 2 \\{x_2} = 2 - \sqrt 2 \end{array} \right..\)
Vậy với \(m = 1\) thì phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {2 - \sqrt 2 ;\;\;2 + \sqrt 2 } \right\}.\)
b) Chứng minh rằng với mọi \(m\) phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Giả sử hai nghiệm là \({x_1},\;{x_2}\) khi đó tìm \(m\) để \(x_1^2 + 4m{x_2} + 4{m^2} - 6 = 0.\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4{m^2} + 2 > 0 \Leftrightarrow 2 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\))
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2}\) với mọi \(m.\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4m\\{x_1}{x_2} = 4{m^2} - 2\end{array} \right..\)
Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\)
\(\Rightarrow x_1^2 - 4m{x_1} + 4{m^2} - 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow x_1^2 = 4m{x_1} - 4{m^2} + 2.\;\)
Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + 4m{x_2} + 4{m^2} - 6 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4m{x_1} - 4{m^2} + 2 + 4m{x_2} + 4{m^2} - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 4m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow m.4m = 1\\ \Leftrightarrow {m^2} = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{1}{2}.\end{array}\)
Vậy \(m = \pm \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4:
a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Dựng AH vuông góc với BD tại điểm H, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.
Xét tứ giác \(AHCK\) ta có: \(\widehat {AHK} = \widehat {ACK} = {90^0}\)
Mà hai đỉnh \(H,\;C\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(AK\) dưới góc \({90^0}.\)
\( \Rightarrow AHCK\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
b) Chứng minh AD.AN = AB.AM.
Ta có: \(AM//CD \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {DCN}\) (hai góc đồng vị)
\(\widehat {DCN}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(CD.\)
\(\widehat {ADB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB.\)
Mà cung \(AB = \) cung \(CD\) do \(ABCD\) là hình chữ nhật.
\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {AMN}\left( { = \widehat {DCN}} \right).\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ANM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {A\;\;}\;\;chung\\\widehat {ADB} = \widehat {AMN}\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta ANM\;\;\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AN}} = \dfrac{{AD}}{{AM}} \Rightarrow AB.AM = AD.AN\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.
Ta có \(E\) là trung điểm của \(MN\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow AE = ME = EN\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
\( \Rightarrow \widehat {EAN} = \widehat {ENA}\)
\(\Rightarrow \widehat {AEM} = \widehat {EAN} + \widehat {ANE} = 2\widehat {ENA}\) (góc ngoài của tam giác).
Vì \(\Delta ABD \sim \Delta ANM\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ANC}\) (hai góc tương ứng).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (hai góc so le trong).
\( \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {ANC}\left( { = \widehat {ABD}} \right) \\\Rightarrow \widehat {HEC} = 2\widehat {ANE} = 2\widehat {BDC} = 2\widehat {ODC}.\;\;\;\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta OCD\) cân tại \(O\) ta có: \(\widehat {DOC} + \widehat {OCD} + \widehat {ODC} = {180^0} \)
\(\Leftrightarrow \widehat {DOC} + 2.\widehat {ODC} = {180^0}.\;\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {DOC} + \widehat {HEC} = {180^0}.\)
Xét tứ giác \(OHEC\) ta có: \(\widehat {DOC} + \widehat {HEC} = {180^0}\;\;\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow OHEC\) là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối diện có tổng bằng \({180^0}\)).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {OHE} + \widehat {OCE} = {180^0} \\\Leftrightarrow \widehat {OHE} = {180^0} - {90^0} = {90^0}\\ \Rightarrow OH \bot HE.\end{array}\)
Mà \(OE \bot AH\;\;\;\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow A,\;H,\;E\) thẳng hàng.
d) Cho AB = 6cm, AD = 8cm. Tính độ dài đoạn MN.
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:
\(D{B^2} = A{B^2} + A{D^2} = {6^2} + {8^2} = {10^2} \Rightarrow BD = 10cm.\)
Vì \(\Delta ABD \sim \Delta ANM\;\left( {cmt} \right)\)
\(\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AN}} = \dfrac{{BD}}{{MN}} = \dfrac{{AD}}{{AM}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{6}{{AN}} = \dfrac{8}{{AM}} = \dfrac{{10}}{{MN}}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM = \dfrac{{8MN}}{{10}} = \dfrac{4}{5}MN\\AN = \dfrac{6}{{10}}MN = \dfrac{3}{5}MN\end{array} \right..\)
Xét tam giác \(\Delta DBC\) và \(\Delta CMB\) ta có:
\(\widehat {DCB} = \widehat {CBM} = {90^0}\)
\(\widehat {BDC} = \widehat {BCM}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta DCB \sim CBM\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{{BC}}{{BM}} \Leftrightarrow \dfrac{6}{8} = \dfrac{8}{{BM}}\\ \Leftrightarrow BM = \dfrac{{32}}{3}\;cm.\\ \Rightarrow AM = AB + BM = 6 + \dfrac{{32}}{3} = \dfrac{{50}}{3}\;cm.\\ \Rightarrow MN = \dfrac{5}{4}AM = \dfrac{5}{4}.\dfrac{{50}}{3} = \dfrac{{125}}{6}cm.\end{array}\)
Vậy \(MN = \dfrac{{125}}{6}cm.\)
Đề số 36 là một đề thi thử quan trọng trong quá trình chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Đề thi này không chỉ đánh giá kiến thức mà còn kiểm tra khả năng vận dụng và tư duy toán học của học sinh. Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích chi tiết cấu trúc đề thi, các dạng bài tập thường gặp và cung cấp hướng dẫn giải chi tiết cho từng câu hỏi.
Đề thi thường bao gồm các phần sau:
Tỷ lệ điểm giữa phần trắc nghiệm và phần tự luận có thể khác nhau tùy theo từng trường và từng năm.
Bài 1: Giải phương trình
Phương trình: 2x + 5 = 11
Lời giải:
Bài 2: Tính diện tích tam giác
Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
Diện tích tam giác ABC là: S = (1/2) * AB * AC = (1/2) * 3 * 4 = 6 cm2
Luyện đề là một bước quan trọng trong quá trình chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Việc luyện đề giúp học sinh:
Ngoài Đề số 36, học sinh có thể tham khảo thêm các nguồn tài liệu luyện thi khác như:
Đề số 36 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán là một tài liệu hữu ích giúp học sinh ôn tập và làm quen với cấu trúc đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Hy vọng rằng, với những phân tích chi tiết và hướng dẫn giải trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi bước vào kỳ thi sắp tới. Chúc các em thành công!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
