Giải bài 3.11 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Giải bài 3.11 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 3.11 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

1. Tính đạo hàm f'(x).
2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
3. Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
4. Vẽ đồ thị hàm số.

1. Tính đạo hàm f'(x)

Để tính đạo hàm f'(x), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm đa thức:

f'(x) = 3x² - 6x

2. Tìm các điểm cực trị của hàm số

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2.

Để xác định xem các điểm này là điểm cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của đạo hàm bậc hai f''(x):

f''(x) = 6x - 6

• Tại x = 0: f''(0) = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại. Giá trị cực đại là f(0) = 2.
• Tại x = 2: f''(2) = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

3. Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Dựa vào dấu của đạo hàm f'(x), ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số:

• Khi x < 0: f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
• Khi 0 < x < 2: f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
• Khi x > 2: f'(x) > 0, hàm số đồng biến.

Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2).

4. Vẽ đồ thị hàm số

Dựa vào các thông tin đã khảo sát, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại tại (0, 2) và điểm cực tiểu tại (2, -2). Hàm số đi qua các điểm (0, 2), (1, 0), (2, -2), (3, 2).

Kết luận

Bài 3.11 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập điển hình về khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Việc nắm vững các bước giải bài tập này sẽ giúp học sinh hiểu sâu hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc phân tích và vẽ đồ thị hàm số.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!

Ví dụ minh họa thêm

Để hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta có thể xét một ví dụ khác. Ví dụ, xét hàm số g(x) = x⁴ - 4x² + 3. Các em hãy tự thực hiện các bước tương tự như trên để tìm đạo hàm, điểm cực trị và khảo sát sự biến thiên của hàm số này.

Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, các em cần chú ý:

• Tính đạo hàm chính xác.
• Giải phương trình đạo hàm bằng 0 một cách cẩn thận.
• Xác định đúng dấu của đạo hàm bậc hai để xác định điểm cực đại, cực tiểu.
• Khảo sát sự biến thiên của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm.

Việc thực hành thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về khảo sát hàm số.