Chào mừng bạn đến với toan11.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cùng bạn giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 14, 15 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Cho phép đối xứng trục d biến M thành M', N thành N'. Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.
Phương pháp giải:
- Lấy 2 điểm A, B thuộc d. Sau đó tìm ảnh của A, B qua phép đối xứng Ox là A’, B’. Ảnh của đường thẳng d chính là đường thẳng A’B’.
- Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Lấy hai điểm A(0; – 1) và B(1; 2) thuộc d.
Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox.
Khi đó A'(0; 1) và B'(1; – 2).
Vì d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox nên A' và B' thuộc d'.
Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {1;\, - 3} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {3;\,1} \right)\)
Vậy d' có phương trình là 3(x – 0) + (y – 1) = 0 hay 3x + y – 1 = 0.
Cách 2:
Gọi \(M'\left( {x';{\rm{ }}y'} \right)\) là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó \(x'{\rm{ }} = {\rm{ }}x\) và \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ }}y.\)
Ta có: \(M\; \in \;d\; \Leftrightarrow \;3x-y-1 = 0\; \Leftrightarrow \;3x'-\left( {-y'} \right)-1 = 0\; \Leftrightarrow \;3x' + {\rm{ }}y'-1{\rm{ }} = 0\;\;\)
Vậy M' thuộc đường thẳng d' có phương trình là \(3x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Cho phép đối xứng trục d biến M thành M', N thành N'. Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a). Giả sử M có tọa độ là \(\left( {{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right),\) N có tọa độ là \(\left( {{x_2};{\rm{ }}{y_2}} \right).\)
a) Hãy cho biết tọa độ của M', N'.
b) Tính \(M{N^2},{\rm{ }}M'N{'^2}\;\) theo tọa độ của các điểm tương ứng.
c) So sánh độ dài các đoạn thẳng MN, M'N'.
Phương pháp giải:
Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) M' và N' lần lượt là ảnh của M và N qua phép đối xứng trục d (trục Oy).
Do đó \(M'\left( {-{\rm{ }}{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right)\) và \(N'\left( {-{\rm{ }}{x_2};{\rm{ }}{y_2}} \right).\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}M{N^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} } \right)^2} = {\rm{ }}{({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\\M'N{'^2} = {\left( {\sqrt {{{( - {x_2} - ( - {x_1}))}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} } \right)^2} = {\rm{ }}{-{\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}.\end{array}\)
c) Ta có: \({({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; = {\rm{ }}{({x_1}\;-{\rm{ }}{x_2})^2}\; = {\rm{ }}{(-{\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}.\)
Do đó \({({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\; = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\) hay \(M{N^2}\; = {\rm{ }}M'N{'^2}\)
Suy ra \(MN{\rm{ }} = {\rm{ }}M'N'.\)
Cho đường thẳng \(\Delta \) và hai điểm A, B, sao cho \(\Delta \) không phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M thay đổi trên \(\Delta \) (M không thuộc đường thẳng AB). Gọi M' là điểm sao cho A, B, M, M' là 4 đỉnh của một hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy. Chứng minh rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định.
Phương pháp giải:
Chứng minh M' thay đổi trên một đường thẳng cố định \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Vì AB cố định nên d cố định.
Do A, B, M, M' là 4 đỉnh của hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy nên MM' là đáy còn lại của hình thang cân và đường trung trực d của đoạn thẳng AB cũng là đường trung trực của đoạn thẳng MM'. Do đó M' là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d.
Mặt khác, M thuộc đường thẳng ∆ nên M' thuộc đường thẳng \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Vậy rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Bằng quan sát, hãy cho biết, trong hai hình ảnh bên, hình nào có trục đối xứng.
Phương pháp giải:
Có một đường thẳng chia hình thành hai phần bằng nhau mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau. Được gọi là hình có trục đối xứng và đường thẳng là trục đối xứng của nó.
Lời giải chi tiết:
Quan sát hình ảnh ta thấy hình thứ hai từ trái sang có trục đối xứng.
Cho phép đối xứng trục d biến M thành M', N thành N'. Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a). Giả sử M có tọa độ là \(\left( {{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right),\) N có tọa độ là \(\left( {{x_2};{\rm{ }}{y_2}} \right).\)
a) Hãy cho biết tọa độ của M', N'.
b) Tính \(M{N^2},{\rm{ }}M'N{'^2}\;\) theo tọa độ của các điểm tương ứng.
c) So sánh độ dài các đoạn thẳng MN, M'N'.
Phương pháp giải:
Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) M' và N' lần lượt là ảnh của M và N qua phép đối xứng trục d (trục Oy).
Do đó \(M'\left( {-{\rm{ }}{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right)\) và \(N'\left( {-{\rm{ }}{x_2};{\rm{ }}{y_2}} \right).\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}M{N^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} } \right)^2} = {\rm{ }}{({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\\M'N{'^2} = {\left( {\sqrt {{{( - {x_2} - ( - {x_1}))}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} } \right)^2} = {\rm{ }}{-{\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}.\end{array}\)
c) Ta có: \({({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; = {\rm{ }}{({x_1}\;-{\rm{ }}{x_2})^2}\; = {\rm{ }}{(-{\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}.\)
Do đó \({({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\; = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\) hay \(M{N^2}\; = {\rm{ }}M'N{'^2}\)
Suy ra \(MN{\rm{ }} = {\rm{ }}M'N'.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.
Phương pháp giải:
- Lấy 2 điểm A, B thuộc d. Sau đó tìm ảnh của A, B qua phép đối xứng Ox là A’, B’. Ảnh của đường thẳng d chính là đường thẳng A’B’.
- Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Lấy hai điểm A(0; – 1) và B(1; 2) thuộc d.
Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox.
Khi đó A'(0; 1) và B'(1; – 2).
Vì d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox nên A' và B' thuộc d'.
Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {1;\, - 3} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {3;\,1} \right)\)
Vậy d' có phương trình là 3(x – 0) + (y – 1) = 0 hay 3x + y – 1 = 0.
Cách 2:
Gọi \(M'\left( {x';{\rm{ }}y'} \right)\) là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó \(x'{\rm{ }} = {\rm{ }}x\) và \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ }}y.\)
Ta có: \(M\; \in \;d\; \Leftrightarrow \;3x-y-1 = 0\; \Leftrightarrow \;3x'-\left( {-y'} \right)-1 = 0\; \Leftrightarrow \;3x' + {\rm{ }}y'-1{\rm{ }} = 0\;\;\)
Vậy M' thuộc đường thẳng d' có phương trình là \(3x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Cho đường thẳng \(\Delta \) và hai điểm A, B, sao cho \(\Delta \) không phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M thay đổi trên \(\Delta \) (M không thuộc đường thẳng AB). Gọi M' là điểm sao cho A, B, M, M' là 4 đỉnh của một hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy. Chứng minh rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định.
Phương pháp giải:
Chứng minh M' thay đổi trên một đường thẳng cố định \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Vì AB cố định nên d cố định.
Do A, B, M, M' là 4 đỉnh của hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy nên MM' là đáy còn lại của hình thang cân và đường trung trực d của đoạn thẳng AB cũng là đường trung trực của đoạn thẳng MM'. Do đó M' là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d.
Mặt khác, M thuộc đường thẳng ∆ nên M' thuộc đường thẳng \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Vậy rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Bằng quan sát, hãy cho biết, trong hai hình ảnh bên, hình nào có trục đối xứng.
Phương pháp giải:
Có một đường thẳng chia hình thành hai phần bằng nhau mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau. Được gọi là hình có trục đối xứng và đường thẳng là trục đối xứng của nó.
Lời giải chi tiết:
Quan sát hình ảnh ta thấy hình thứ hai từ trái sang có trục đối xứng.
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và phương pháp giải bài tập là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 2 trang 14, 15, đồng thời giải thích rõ ràng các bước thực hiện và lý thuyết liên quan.
Để đảm bảo tính chính xác và dễ hiểu, chúng ta sẽ đi qua từng bài tập một cách cẩn thận. Mỗi bài tập sẽ được trình bày theo cấu trúc sau:
Đề bài: (Ví dụ: Cho hàm số y = x2 - 4x + 3. Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số.)
Phân tích đề bài: Đề bài yêu cầu tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số bậc hai. Chúng ta cần sử dụng kiến thức về hàm số bậc hai để giải quyết bài toán này.
Lời giải:
Kết luận: Tập xác định của hàm số là R và tập giá trị là [-1, +∞).
Đề bài: (Ví dụ: Giải phương trình: x2 - 5x + 6 = 0)
Phân tích đề bài: Đề bài yêu cầu giải phương trình bậc hai. Chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử để giải quyết bài toán này.
Lời giải:
Ta có thể phân tích phương trình thành nhân tử: (x - 2)(x - 3) = 0
Suy ra x = 2 hoặc x = 3
Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.
Đề bài: (Ví dụ: Tìm điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm)
Phân tích đề bài: Đề bài yêu cầu tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm. Chúng ta cần sử dụng kiến thức về delta (Δ) của phương trình bậc hai.
Lời giải:
Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm khi và chỉ khi delta (Δ) ≥ 0.
Δ = b2 - 4ac ≥ 0
Kết luận: Điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là b2 - 4ac ≥ 0.
Trong quá trình giải bài tập, hãy luôn kiểm tra lại kết quả và đảm bảo rằng các bước giải của bạn là chính xác. Nếu gặp khó khăn, đừng ngần ngại tham khảo các tài liệu học tập hoặc tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên và bạn bè.
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những lời giải chi tiết và hữu ích cho các bài tập trong mục 2 trang 14, 15 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt và đạt được kết quả cao trong môn Toán!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
