Giải mục II trang 85, 86 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

• Hoạt động 4
• Hoạt động 5
• LT-VD 4

Trong Hình 54, hai ròng rọc có trục quay nằm ngang và song song với nhau, hai vật có trọng lượng bằng nahu. Mỗi dây có một đầu buộc vào vật, một đầu buộc vào một mảnh nhựa cứng. Hai vật lần lượt tác động lên mảng nhựa các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} .\) Nhận xét về hướng và độ dài của mỗi cặp vecto sau:

a) \(\overrightarrow {{P_1}} \) và \(\overrightarrow {{P_2}} \) biểu diễn trọng lực của hai vật

b) \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\;\overrightarrow {{F_2}} .\)

(Bỏ qua trọng lượng các dây và các lực ma sát).

Phương pháp giải:

a) Nhận xét về phương, hướng và độ lớn của trọng lực của hai vật

b) Nhận xét về phương, hướng và độ lớn của hai lực.

Lời giải chi tiết:

a) Trọng lực của hai vật đều hướng xuống, vuông góc với mặt đất, đo dó chúng cùng phương, cùng hướng với nhau.

Hơn nữa: Công thức tính độ lớn trọng lực là: \(P = mg\).

Hai vật có khối lượng như nhau, do đó \({P_1} = {P_2}\)

Vậy \(\overrightarrow {{P_1}} = \overrightarrow {{P_2}} \)

b) Do trọng lực tạo thành lực kéo lên mảnh nhựa nên độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} \) là như nhau.

Chúng có hướng ngược nhau.

Cho hai vecto \(\overrightarrow a \),\(\overrightarrow b \). Lấy một điểm M tùy ý.

a) Vẽ \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {MB} = \overrightarrow b ,\;\overrightarrow {MC} = - \overrightarrow b \) (Hình 56)

b) Tổng của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(( - \overrightarrow b )\) bằng vecto nào?

Phương pháp giải:

a) Áp dụng kết quả: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \)ABCD là hình bình hành. Để xác định các điểm A, B, C.

b) Đặt vecto \(\overrightarrow a \) và \(( - \overrightarrow b )\) vào hai vecto chung gốc là hai cạnh của một hình bình hành. Từ đó xác định tổng theo quy tắc hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

a) Đặt D, E lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto \(\overrightarrow a \).

Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow a \)hay \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {DE} \)

\( \Leftrightarrow MAED\) là hình bình hành.

Do đó A là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow a \)và điểm M.

Tương tự ta có:

B là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow b \)và điểm M.

Lại có: \(\overrightarrow {MC} = - \overrightarrow b = - \overrightarrow {MB} \) do đó \(MC = MB\) và hai vecto \(\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {MC} \) ngược hướng nhau.

Hay M là trung điểm đoạn thẳng BC.

b) Lấy N là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMCN.

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MN} \)

Mà: \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow a ;\;\overrightarrow {MC} = - \overrightarrow b \)

\( \Rightarrow \overrightarrow a + ( - \overrightarrow b ) = \overrightarrow {MN} \).

Cho tam giác ABC có M là trung điểm AC, N là trung điểm BC và AB = a. Tính độ dài vecto \(\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} \).

Phương pháp giải:

Bước 1: Chỉ ra \(\overrightarrow {NC} = - \overrightarrow {NB} \). Suy ra \(\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {NC} \)

Bước 2: Sử dụng tính chất giao hoán, xác định vecto tổng \(\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {NC} \)

Bước 3: Tính độ dài vecto đó theo a.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {NC} \) là hai vecto đối nhau (do N là trung điểm của BC)

\( \Rightarrow \overrightarrow {NC} = - \overrightarrow {NB} \)

Do đó: \(\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CM} \)(tính chất giáo hoán)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NM} \Leftrightarrow \;|\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} |\, = \;|\overrightarrow {NM} | = NM.\)

Vì: M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên \(MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}.\)

Vậy \(\;|\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} |\, = \frac{a}{2}.\)