Lý thuyết Nhị thức Newton là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là với SGK Toán 10 Cánh diều. Nắm vững lý thuyết này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến khai triển nhị thức một cách nhanh chóng và chính xác.
Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập thực hành đa dạng để bạn có thể tự tin chinh phục kiến thức này.
A. Lý thuyết 1. Một số công thức khai triển
A. Lý thuyết
1. Một số công thức khai triển
\({(a + b)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3{a^1}{b^3} + C_4^4{b^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4{a^1}{b^3} + {b^4}\). |
\({(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\) \( = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\). |
Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton \({(a + b)^n}\) ứng với n = 4 và n = 5.
2. Công thức khai triển tổng quát
| \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\). |
Nhận xét:
- Số hạng tổng quát trong khai triển của \({(a + b)^n}\) đều có dạng \(C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\) \((0 \le k \le n)\).
- Từ công thức nhị thức Newton nói trên, ta có khai triển của \({(a - b)^n}\) như sau:
\({(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...\), ở đó các dấu “+”, “-“ xen kẽ nhau.
Ví dụ: \({(a - b)^3} = C_3^0{a^3} - C_3^1{a^{3 - 1}}b + C_3^2{a^{3 - 2}}{b^2} - C_3^3{a^{3 - 3}}{b^3} = C_3^0{a^3} - C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} - C_3^3{b^3}\).
Có thể xem thêm trong chuyên đề học tập Toán 10.
B. Bài tập
Bài 1: Khai triển biểu thức \({(x + 1)^4}\).
Giải:
Xác định số hạng: a = x, b = 1.
\({(x + 1)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.1 + C_4^2{x^2}{.1^2} + C_4^3{x^1}{.1^3} + C_4^4{.1^4} = {a^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).
Bài 2: Khai triển biểu thức \({(x - 1)^4}\).
Giải:
Có hai cách khai triển, tùy thuộc vào việc đặt b = -1 hay b = 1.
Nếu coi a = x, b = -1:
\({(x - 1)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.( - 1) + C_4^2{x^2}.{( - 1)^2} + C_4^3{x^1}.{( - 1)^3} + C_4^4.{( - 1)^4} = {a^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).
Hoặc có thể coi a = x, b = 1 và áp dụng công thức khai triển tổng quát:
\({(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...\), khi đó sẽ nhận được kết quả như trên (xen kẽ dấu).
Bài 3:
a) Khai triển biểu thức \({(x - 2y)^4}\) và tìm hệ số của số hạng chứa \({y^4}\).
b) Khai triển biểu thức \({(3x - y)^5}\).
Giải:
a) Coi a = x, b = -2y.
\({(x - 2y)^4} = {\left[ {x + ( - 2y)} \right]^4} = {x^4} + 4{x^3}( - 2y) + 6{x^2}{( - 2y)^2} + 4x{( - 2y)^3} + {( - 2y)^4}\)
\( = {x^4} - 8{x^3}y + 24{x^2}{y^2} - 32x{y^3} + 16{y^4}\).
Số hạng chứa \({y^4}\) là \(16{y^4}\), hệ số là 16.
b) Coi a = 3x, b = -y.
\({(3x - y)^5} = {\left[ {3x + ( - y)} \right]^5}\)
\( = {\left( {3x} \right)^5} + 5.{(3x)^4}.( - y) + 10{(3x)^3}.{( - y)^2} + 10{(3x)^2}.{( - y)^3} + 5.(3x).{( - y)^4} + {( - y)^5}\)
\( = 243{x^5} - 405{x^4}y + 270{x^3}{y^2} - 90{x^2}{y^3} + 15x{y^4} - {y^5}\).
Bài 4:
a) Xác định hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {2x + 1} \right)^{12}}\).
b) Xác định hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \({\left( {3x - 2} \right)^{18}}\).
Giải:
a) Số hạng chứa \({x^6}\) là \(C_{12}^6.{\left( {2x} \right)^6} = C_{12}^6{.2^6}{x^6}\). Hệ số của \({x^6}\) là \(C_{12}^6{.2^6}\).
b) Số hạng chứa \({x^9}\) là \(C_{18}^9.{\left( {3x} \right)^9}.{( - 2)^9} = C_{18}^9.{( - 2)^9}{3^9}{x^9} = - C_{18}^9{.2^9}{3^9}{x^9}\). Hệ số của \({x^9}\) là \( - C_{18}^9{.2^9}{3^9} = - C_{18}^9{.6^9}\).
Lý thuyết Nhị thức Newton là một công cụ mạnh mẽ trong toán học, cho phép chúng ta khai triển biểu thức (a + b)^n một cách hiệu quả, đặc biệt khi n là một số nguyên dương lớn. Trong chương trình SGK Toán 10 Cánh diều, lý thuyết này được trình bày một cách hệ thống và dễ tiếp cận.
Định lý Nhị thức Newton phát biểu rằng:
(a + b)^n = Cn0anb0 + Cn1an-1b1 + Cn2an-2b2 + ... + Cnna0bn
Trong đó:
Hệ số nhị thức Cnk đóng vai trò quan trọng trong khai triển Nhị thức Newton. Chúng có thể được tính trực tiếp bằng công thức hoặc sử dụng Tam giác Pascal để tra cứu.
Tam giác Pascal là một bảng số được xây dựng theo quy tắc:
Ví dụ:
| Hàng | Số |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 1 |
| 2 | 1 2 1 |
| 3 | 1 3 3 1 |
| 4 | 1 4 6 4 1 |
Các số trong Tam giác Pascal chính là các hệ số nhị thức Cnk.
Lý thuyết Nhị thức Newton có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
SGK Toán 10 Cánh diều cung cấp nhiều bài tập vận dụng lý thuyết Nhị thức Newton. Dưới đây là một số ví dụ:
Để nắm vững Lý thuyết Nhị thức Newton, bạn nên:
Các dạng bài tập thường gặp liên quan đến Lý thuyết Nhị thức Newton bao gồm:
Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ hiểu rõ hơn về Lý thuyết Nhị thức Newton và có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan trong SGK Toán 10 Cánh diều và các kỳ thi.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
