Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Tổng và hiệu của hai vecto, một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết để hiểu rõ về các phép toán trên vecto.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, tính chất và các ứng dụng thực tế của phép cộng và phép trừ vecto. Đồng thời, bài học cũng sẽ giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
A. Lý thuyết 1. Tổng của hai vecto a) Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Tổng của hai vecto
a) Định nghĩa
| Với ba điểm bất kì A, B, C, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \), kí hiệu là \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \). |
Phép lấy tổng của hai vecto còn được gọi là phép cộng vecto.
b) Quy tắc hình bình hành
| Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \). |
c) Tính chất
Với ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tùy ý ta có: - Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \) - Tính chất kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\) - Tính chất của vecto-không: \(\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow a \) |
2. Hiệu của hai vecto
a) Hai vecto đối nhau
| Vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) được gọi là vecto đối của vecto \(\overrightarrow a \), kí hiệu là \( - \overrightarrow a \). Hai vecto \(\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) được gọi là hai vecto đối nhau. |
Quy ước: Vecto đối của vecto \(\overrightarrow 0 \) là vecto \(\overrightarrow 0 \).
Nhận xét:
+) \(\overrightarrow a + ( - \overrightarrow a ) = ( - \overrightarrow a ) + \overrightarrow a \).
+) Hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) là hai vecto đối nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \).
+) Với hai điểm A, B, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \).
| Cho hai điểm A, B. Khi đó, hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BA} \) là hai vecto đối nhau, tức là \(\overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {AB} \). |
Chú ý:
+) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \). +) G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \). |
b) Hiệu của hai vecto
| Hiệu của vecto \(\overrightarrow a \) và vecto \(\overrightarrow b \) là tổng của vecto \(\overrightarrow a \) và vecto đối của vecto \(\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\overrightarrow a - \overrightarrow b \). |
Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.
Nhận xét: Với ba điểm A, B, O bất kì, ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \).
B. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AM} \).
Giải:
Vì \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BM} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} \).
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right|\).
Giải:
Theo quy tắc hình bình hành, ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\), \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).
Do AC = BD nên \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right|\).
Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \).
Giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} \)
\( = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \) (tính chất giao hoán)
\( = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD} \) (tính chất kết hợp)
\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} \) (quy tắc ba điểm)
\( = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc ba điểm).
Bài 4: Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \).
Giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DD} = \overrightarrow 0 \).
Trong chương trình Toán 10, vecto là một khái niệm quan trọng, đóng vai trò nền tảng cho nhiều kiến thức nâng cao hơn. Một trong những phép toán cơ bản trên vecto là phép cộng và phép trừ, hay còn gọi là phép tính tổng và hiệu của hai vecto. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về tổng và hiệu của hai vecto theo chương trình SGK Toán 10 Cánh diều.
Trước khi đi vào lý thuyết về tổng và hiệu, chúng ta cần ôn lại khái niệm về vecto. Vecto là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vecto được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.
Phép cộng hai vecto a và b được thực hiện theo quy tắc hình bình hành. Cụ thể:
Công thức tính tổng hai vecto trong hệ tọa độ:
Nếu a = (x1; y1) và b = (x2; y2) thì a + b = (x1 + x2; y1 + y2)
Phép trừ hai vecto a và b được định nghĩa là phép cộng của a với vecto đối của b. Vecto đối của b, ký hiệu là -b, là vecto có cùng độ dài và hướng ngược với b.
Công thức tính hiệu hai vecto trong hệ tọa độ:
Nếu a = (x1; y1) và b = (x2; y2) thì a - b = (x1 - x2; y1 - y2)
Ví dụ 1: Cho a = (2; 3) và b = (-1; 1). Tính a + b và a - b.
Giải:
a + b = (2 + (-1); 3 + 1) = (1; 4)
a - b = (2 - (-1); 3 - 1) = (3; 2)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MA + MB + MC = 0.
Giải:
Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC. Do đó, MB + MC = 2MC. Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có MA + MB = BA. Suy ra MA + MB + MC = BA + MC. Tuy nhiên, cách chứng minh này cần thêm thông tin về vị trí của điểm A so với B và C để đưa ra kết luận chính xác.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết về lý thuyết Tổng và hiệu của hai vecto - SGK Toán 10 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
