Lý thuyết Tọa độ của vecto - SGK Toán 10 Cánh diều

A. Lý thuyết

1. Tọa độ của một điểm

2. Tọa độ của một vecto

\(\overrightarrow {OM} = (a;b)\) thì a là hoành độ, b là tung độ của \(\overrightarrow {OM} \).

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:

+ \(\overrightarrow {OM} = (a;b) \Leftrightarrow M(a;b)\).

+ Vecto \(\overrightarrow i (1;0)\), \(\overrightarrow j (0;1)\) có điểm gốc O lần lượt là các vecto đơn vị trên trục Ox, Oy.

Ta có định lí sau:

Chú ý: Với \(\overrightarrow a = ({x_1};{y_1})\) và \(\overrightarrow b = ({x_2};{y_2})\), ta có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\end{array} \right.\).

Như vậy, mỗi vecto hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó.

3. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vecto

B. Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M, N, P, Q. Tìm tọa độ các vecto \(\overrightarrow {OM} \),\(\overrightarrow {ON} \), \(\overrightarrow {OP} \), \(\overrightarrow {OQ} \).

Giải:

Từ hình vẽ, ta có: M(-4;3), N(3;0), P(5;-2), Q(0;-3).

Do đó: \(\overrightarrow {OM} = ( - 4;3)\), \(\overrightarrow {ON} = (3;0)\), \(\overrightarrow {OP} = (5; - 2)\), \(\overrightarrow {OQ} = (0; - 3)\).

Bài 2: Tìm tọa độ của các vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) trong hình.

Giải:

Ta có:

\(\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} \) và A(2;2); tọa độ vecto \(\overrightarrow {OA} \) chính là tọa độ điểm A nên \(\overrightarrow a = (2;2)\).

\(\overrightarrow b = \overrightarrow {OB} \) và A(1;-3); tọa độ vecto \(\overrightarrow {OB} \) chính là tọa độ điểm B nên \(\overrightarrow b = (1; - 3)\).

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;2) và vecto \(\overrightarrow u = (3; - 4)\).

a) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow u \) qua hai vecto \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).

b) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {OA} \) qua hai vecto \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).

Giải:

a) Vì \(\overrightarrow u = (3; - 4)\) nên \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow i + ( - 4)\overrightarrow j = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).

b) Vì điểm A có tọa độ là (1;2) nên \(\overrightarrow {OA} = (1;2)\). Do đó:

\(\overrightarrow {OA} = 1\overrightarrow i + 2\overrightarrow j = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j \).

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(1;1), B(4;3), C(-1;-2).

a) Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow {AB} \).

b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (4 - 1;3 - 1)\). Vậy \(\overrightarrow {AB} = (3;2)\).

b) Gọi tọa độ của điểm D là \(({x_D};{y_D})\), ta có: \(\overrightarrow {DC} = ( - 1 - {x_D}; - 2 - {y_D})\).

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:

\(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = (3;2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - {x_D} = 3\\ - 2 - {y_D} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 4\\{y_D} = - 4\end{array} \right.\).

Vậy D(-4;-4).