Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 của toan11.edu.vn. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 6, 7, 8 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn học Toán.
Tính đơn điệu của hàm số
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = 3x - sinx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Phương pháp giải:
Tìm tập xác định D, đạo hàm f’(x) và dựa vào tính chất \( - 1 \le \cos x \le 1\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(f'(x) = 3 - \cos x\)
Ta có: \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(2 \le 3 - \cos x \le 4\). Vì vậy \(f'(x) > 0\forall x \in \mathbb{R}\)
=> Hàm số \(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }} - {\rm{ }}sinx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số y = f(x) = \({x^2}\)
a) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) (Hình 4), hãy chỉ ra các
khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho.
b) Tính đạo hàm f '(x) và xét dấu f '(x).
c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số với dấu của f '(x).
Phương pháp giải:
a) Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) < f(\({x_2}\)). Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) > f(\({x_2}\)).
b) Dựa vào công thức đạo hàm để tìm f '(x)
c) So sánh và rút ra nhận xét
Lời giải chi tiết:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; \( + \infty \))
Hàm số nghịch biến trên khoảng (\( - \infty \); 0)
b) f '(x) = (\({x^2}\))' = 2x
Ta có:
f '(x) > 0 \( \Leftrightarrow 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0\)
f '(x) < 0 \( \Leftrightarrow 2x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)
c) Nhận xét:
f’(x) > 0 trên K thì y = f(x) đồng biến trên K
f’(x) < 0 trên K thì y = f(x) nghịch biến trên K
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)
b) \(g(x) = \frac{1}{x}\)
Phương pháp giải:
Xác định tập xác định D, đạo hàm f’(x) và lập bảng biến thiên
Lời giải chi tiết:
a) \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(f'(x) = 3{x^2} - 12x + 9\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) đồng biến trên các khoảng (\( - \infty \); 1) và (3; \( + \infty \)), nghịch biến trên khoảng (1; 3)
b) \(g(x) = \frac{1}{x}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)
\(g'(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
Vì \({x^2} > 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \) nên \(g'(x) < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(g(x) = \frac{1}{x}\) nghịch biến trên các khoảng (\( - \infty \); 0) và (0; \( + \infty \))
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 3.
Phương pháp giải:
Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) < f(\({x_2}\)). Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) > f(\({x_2}\)).
Lời giải chi tiết:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; -2) và (-1; 0)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; -1) và (0; 1)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hãy trả lời câu hỏi trong Khởi động (trang 6) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số \(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\) với \(0 \le t \le 8\)
Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\). Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?
Phương pháp giải:
Xét dấu h’(x) để tìm ra các khoảng đồng biến, nghịch biến
Lời giải chi tiết:
\(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(h'(t) = 18{t^2} - 162t + 324\)
\(h'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 6\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Trong thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 3 phút, độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m
Độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m trong thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 3 phút, từ 324m lên 480m trong thời gian từ 6 phút đến 8 phút
Độ cao của khinh khí cầu giảm dần từ 405m xuống 324m trong thời gian từ 3 phút đến 6 phút
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 3.
Phương pháp giải:
Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) < f(\({x_2}\)). Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) > f(\({x_2}\)).
Lời giải chi tiết:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; -2) và (-1; 0)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; -1) và (0; 1)
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số y = f(x) = \({x^2}\)
a) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) (Hình 4), hãy chỉ ra các
khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho.
b) Tính đạo hàm f '(x) và xét dấu f '(x).
c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số với dấu của f '(x).
Phương pháp giải:
a) Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) < f(\({x_2}\)). Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) > f(\({x_2}\)).
b) Dựa vào công thức đạo hàm để tìm f '(x)
c) So sánh và rút ra nhận xét
Lời giải chi tiết:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; \( + \infty \))
Hàm số nghịch biến trên khoảng (\( - \infty \); 0)
b) f '(x) = (\({x^2}\))' = 2x
Ta có:
f '(x) > 0 \( \Leftrightarrow 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0\)
f '(x) < 0 \( \Leftrightarrow 2x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)
c) Nhận xét:
f’(x) > 0 trên K thì y = f(x) đồng biến trên K
f’(x) < 0 trên K thì y = f(x) nghịch biến trên K
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)
b) \(g(x) = \frac{1}{x}\)
Phương pháp giải:
Xác định tập xác định D, đạo hàm f’(x) và lập bảng biến thiên
Lời giải chi tiết:
a) \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(f'(x) = 3{x^2} - 12x + 9\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) đồng biến trên các khoảng (\( - \infty \); 1) và (3; \( + \infty \)), nghịch biến trên khoảng (1; 3)
b) \(g(x) = \frac{1}{x}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)
\(g'(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
Vì \({x^2} > 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \) nên \(g'(x) < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(g(x) = \frac{1}{x}\) nghịch biến trên các khoảng (\( - \infty \); 0) và (0; \( + \infty \))
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = 3x - sinx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Phương pháp giải:
Tìm tập xác định D, đạo hàm f’(x) và dựa vào tính chất \( - 1 \le \cos x \le 1\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(f'(x) = 3 - \cos x\)
Ta có: \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(2 \le 3 - \cos x \le 4\). Vì vậy \(f'(x) > 0\forall x \in \mathbb{R}\)
=> Hàm số \(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }} - {\rm{ }}sinx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hãy trả lời câu hỏi trong Khởi động (trang 6) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số \(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\) với \(0 \le t \le 8\)
Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\). Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?
Phương pháp giải:
Xét dấu h’(x) để tìm ra các khoảng đồng biến, nghịch biến
Lời giải chi tiết:
\(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(h'(t) = 18{t^2} - 162t + 324\)
\(h'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 6\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Trong thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 3 phút, độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m
Độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m trong thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 3 phút, từ 324m lên 480m trong thời gian từ 6 phút đến 8 phút
Độ cao của khinh khí cầu giảm dần từ 405m xuống 324m trong thời gian từ 3 phút đến 6 phút
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về hàm số và đồ thị. Đây là nền tảng quan trọng để các em tiếp cận các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình học. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và kỹ năng giải toán trong mục này sẽ giúp các em tự tin hơn khi giải quyết các bài toán phức tạp.
Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua từng bài tập trong mục 1, trang 6, 7, 8 của SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Đối với mỗi bài tập, chúng tôi sẽ cung cấp:
Bài 1 yêu cầu các em xác định tập xác định của hàm số. Để giải bài này, các em cần nhớ lại các điều kiện để hàm số có nghĩa. Ví dụ, với hàm số chứa căn bậc hai, biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0. Với hàm số chứa phân số, mẫu số phải khác 0.
Ví dụ: Xét hàm số y = √(x - 2). Tập xác định của hàm số là D = [2; +∞).
Bài 2 yêu cầu các em vẽ đồ thị của hàm số. Để vẽ đồ thị, các em cần xác định các điểm đặc biệt của đồ thị, như giao điểm với các trục tọa độ, điểm cực trị, điểm uốn. Sau đó, các em có thể vẽ đồ thị bằng cách nối các điểm này lại với nhau.
Ví dụ: Để vẽ đồ thị của hàm số y = x2, các em có thể xác định các điểm sau:
Bài 3 yêu cầu các em tìm các hệ số của hàm số bậc hai. Hàm số bậc hai có dạng y = ax2 + bx + c. Các hệ số a, b, c xác định hình dạng và vị trí của đồ thị hàm số.
Ví dụ: Xét hàm số y = 2x2 - 3x + 1. Các hệ số là a = 2, b = -3, c = 1.
Bài 4 yêu cầu các em giải các phương trình và bất phương trình mũ và logarit. Để giải các bài toán này, các em cần nắm vững các tính chất của hàm số mũ và hàm số logarit, cũng như các quy tắc biến đổi logarit.
Ví dụ: Để giải phương trình 2x = 8, các em có thể viết 8 dưới dạng 23, từ đó suy ra x = 3.
Bài 5 yêu cầu các em giải các bài toán thực tế liên quan đến hàm số. Các bài toán này thường yêu cầu các em xây dựng mô hình toán học dựa trên các thông tin đã cho, sau đó giải mô hình này để tìm ra đáp án.
Để học tốt môn Toán 12, các em cần:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 6, 7, 8 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo, các em sẽ học tốt môn Toán và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
