Chào mừng bạn đến với bài học về phương trình đường thẳng trong không gian, một phần quan trọng của chương trình Hình học không gian lớp 12 theo chương trình Chân trời sáng tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng vững chắc về cách xác định, biểu diễn và ứng dụng phương trình đường thẳng trong không gian ba chiều.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các dạng phương trình đường thẳng phổ biến, các phương pháp tìm phương trình đường thẳng khi biết các yếu tố khác nhau, và cách giải các bài toán liên quan đến đường thẳng trong không gian.
1. Phương trình đường thẳng trong không gian Vecto chỉ phương của đường thẳng
1. Phương trình đường thẳng trong không gian
Vecto chỉ phương của đường thẳng
| Vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng \(d\) nếu giá của \(\overrightarrow a \) song song hoặc trùng với \(d\). |
Nếu \(\overrightarrow a \) là vecto chỉ phương của \(d\) thì \(k\overrightarrow a \) \((k \ne 0)\) cũng là vecto chỉ phương của d.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình chóp O.ABC có A(2;0;0), B(0;4;0) và C(0;0;7).
a) Tìm tọa độ một vecto chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, AC.
b) Vecto \(\overrightarrow v = ( - 1;2;0)\) có là vecto chỉ phương của đường thẳng AB không?
Giải:
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( - 2;4;0)\) là một vecto chỉ phương của đường thẳng AB.
\(\overrightarrow {AC} = ( - 2;0;7)\) là một vecto chỉ phương của đường thẳng AC.
b) Vì \(\overrightarrow v = ( - 1;2;0) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow v \) là một vecto chỉ phương của đường thẳng AB.
Phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\). Hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in R\)). |
Mỗi giá trị của tham số t xác định duy nhất một điểm A trên \(\Delta \) và ngược lại.
Ví dụ: Cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + 6t}\\{y = 11 + 2t}\\{z = 4t}\end{array}} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
a) Tìm hai vecto chỉ phương của d.
b) Tìm các điểm trên d ứng với t lần lượt bằng 0; 2; -3.
Giải:
a) Từ phương trình tham số, ta có \(\overrightarrow a = (6;2;4)\) là một vecto chỉ phương của d.
Chọn \(\overrightarrow b = \frac{1}{2}\overrightarrow a = (3;1;2)\), ta có \(\overrightarrow b \) cũng là một vecto chỉ phương của d.
b) Thay t = 0 vào phương trình tham số của d ta được
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + 6.0}\\{y = 11 + 2.0}\\{z = 4.0}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{y = 11}\\{z = 0}\end{array}} \right.\)
Vậy A(-2;11;0).
Tương tự, với t = 2 thì B(10;15;8), với t = 3 thì C(-20;5;-12).
Phương trình chính tắc của đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \). |
Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm \({M_0}(1;2;3)\) và nhận \(\overrightarrow a = (4;5; - 7)\) làm vecto chỉ phương.
Giải: Đường thẳng d có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z - 3}}{{ - 7}}\).
Phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt \({A_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) và \({A_2}({x_2};{y_2};{z_2})\). Đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = ({x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1};{z_2} - {z_1})\) - Đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + ({x_2} - {x_1})t\\y = {y_1} + ({y_2} - {y_1})t\\z = {z_1} + ({z_2} - {z_1})t\end{array} \right.\) \((t \in R)\). - Trong trường hợp \({x_1} \ne {x_2},{y_1} \ne {y_2},{z_1} \ne {z_2}\) thì đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{z_2} - {z_1}}}\). |
Ví dụ: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB, biết A(1;1;5) và B(3;5;8).
Giải: Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = (2;4;3)\) nên có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = 5 + 3t}\end{array}} \right.\) và phương trình chính tắc \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z - 5}}{3}\).
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d,d'\) có vecto chỉ phương tương ứng là \(\overrightarrow a ({x_1};{y_1};{z_1})\), \(\overrightarrow {a'} ({x_2};{y_2};{z_2})\). Gọi \(M({x_0};{y_0};{z_0}) \in d\). Khi đó + \(d//d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a = k\overrightarrow {a'} ,k \in \mathbb{R}\\M \notin d'\end{array} \right.\) + \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a = k\overrightarrow {a'} ,k \in \mathbb{R}\\M \in d'\end{array} \right.\) |
Ví dụ: Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:
a) d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 2t'}\\{y = 5 + 2t'}\\{z = 1 + 4t'}\end{array}} \right.\)
b) d: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và d: \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 3}}{6}\)
Giải:
a) Đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (2;2;4) = 2\overrightarrow a \).
Thay tọa độ điểm M vào phương trình của d’, ta được
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = 2 + 2t'}\\{2 = 5 + 2t'}\\{5 = 1 + 4t'}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t' = - \frac{1}{2}}\\{t' = - \frac{3}{2}}\\{t' = 0}\end{array}} \right.\) (vô nghiệm).
Suy ra M không thuộc d’. Vậy d//d’.
b) Đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (2;2;4) = 2\overrightarrow a \).
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (3;3;6) = 3\overrightarrow a \).
Thay tọa độ điểm M vào phương trình của d’, ta được
\(\frac{{1 - 2}}{3} = \frac{{2 - 3}}{3} = \frac{{1 - 3}}{6}\).
Phương trình nghiệm đúng, suy ra M thuộc d’. Vậy d\( \equiv \)d’.
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d,d'\) có vecto chỉ phương tương ứng là \(\overrightarrow a ({x_1};{y_1};{z_1})\), \(\overrightarrow {a'} ({x_2};{y_2};{z_2})\). Gọi \(M({x_0};{y_0};{z_0}) \in d\), \(M'({x_0}';{y_0}';{z_0}') \in d'\). Khi đó + \(d,d'\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {MM'} = 0\). + \(d,d'\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {MM'} \ne 0\). |
Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d’ trong mỗi trường hợp sau:
a) d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t'}\\{y = 2 + 5t'}\\{z = 3 + t'}\end{array}} \right.\)
b) d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\) và d’ \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z - 9}}{6}\)
Giải:
a) d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a = (1;1;1)\) và \(\overrightarrow {a'} = (2;5;1)\).
Ta có \(\frac{1}{2} \ne \frac{1}{5}\), suy ra \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) không cùng phương. Vậy d và d’ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1 + 2t'}\\{t + 1 = 2 + 5t'}\\{t + 2 = 3 + t'}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t - 2t' = 1}\\{t - 5t' = 1}\\{t - t' = 1}\end{array}} \right.\)
Giải hệ phương trình được t = 1, t’ = 0.
Vậy d cắt d’ tại điểm M(1;2;3).
b) d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a = (1;1;1)\) và \(\overrightarrow {a'} = (2;5;6)\).
Ta có \(\frac{1}{2} \ne \frac{1}{5}\), suy ra \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) không cùng phương. Vậy d và d’ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
d’ có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t'}\\{y = 2 + 5t'}\\{z = 9 + 6t'}\end{array}} \right.\)
Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + t = 1 + 2t'}\\{2 + t = 2 + 5t'}\\{3 + t = 9 + 6t'}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t - 2t' = 0}\\{t - 5t' = 0}\\{t - 6t' = 6}\end{array}} \right.\)
Giải hệ trên không tìm được t, t’ thỏa mãn.
Vậy d và d’ chéo nhau.
Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ({a_1};{b_1};{c_1})\), \(\overrightarrow {{u_2}} ({a_2};{b_2};{c_2})\). Khi đó: \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\) |
Ví dụ: Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:
a) d: \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 3}}{1}\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + t}\\{y = 7 + t}\\{z = 9 - 8t}\end{array}} \right.\)
b) d: \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 3}}{1}\) và d’ \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 7}}{1} = \frac{{z - 9}}{1}\)
Giải:
a) d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a = (3;5;1)\) và \(\overrightarrow {a'} = (1;1; - 8)\).
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} = 3 + 5 - 8 = 0\). Vậy d và d’ vuông góc với nhau.
b) d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a = (3;5;1)\) và \(\overrightarrow {a'} = (2;1;1)\).
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} = 6 + 5 + 1 \ne 0\). Vậy và d’ không vuông góc với nhau.
3. Góc
Góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} ({a_1};{b_1};{c_1})\), \(\overrightarrow {{u_2}} ({a_2};{b_2};{c_2})\). Khi đó, ta có: \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \left| {\cos (\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\) |
Ví dụ: Tính góc giữa hai đường thẳng
d: \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).
Giải: d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a = (1;2;2)\) và \(\overrightarrow {a'} = ( - 2; - 2;1)\).
Ta có \(\cos (d,d') = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Suy ra \((d,d') \approx {63^o}36'\).
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u ({a_1};{b_1};{c_1})\) và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n ({a_2};{b_2};{c_2})\). Gọi \((\Delta ,(P))\) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). Khi đó, ta có: \(\sin (\Delta ,(P)) = \left| {\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow n )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\) |
Nếu đường thẳng có vecto chỉ phương cùng phương với vecto pháp tuyến của mặt phẳng thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Ví dụ: Tính góc giữa đường thẳng d: \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\) và mặt phẳng (P): \(x + z + 24 = 0\).
Giải: Đường thẳng d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (2;2;1)\). Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1;0;1)\).
Ta có \(\sin (d,(P)) = \frac{{\left| {2.1 + 2.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Suy ra \((d,(P)) = {45^o}\).
Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng \(({P_1}),({P_2})\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó, kí hiệu là \(\left( {({P_1}),({P_2})} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(({P_1}),({P_2})\) có vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} ({A_1};{B_1};{C_1})\), \(\overrightarrow {{n_2}} ({A_2};{B_2};{C_2})\). Khi đó, ta có: \(\cos \left( {({P_1}),({P_2})} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\) |
Nếu hai mặt phẳng có hai vecto pháp tuyến vuông góc với nhau thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Ví dụ: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): \(x + y - 2z + 9 = 0\) và (P’): \(3x - 5y + z + 2024 = 0\).
Giải: (P) và (P’) có vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow n = (1;1; - 2)\), \(\overrightarrow {n'} = (3; - 5;1)\).
Ta có \(\cos \left( {(P),(P')} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 1.( - 5) + ( - 2).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{( - 5)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {210} }}\).
Suy ra \(\left( {(P),(P')} \right) \approx {73^o}59'\).
Phương trình đường thẳng trong không gian là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, giúp ta biểu diễn và nghiên cứu các đường thẳng trong không gian ba chiều. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về phương trình đường thẳng trong không gian theo chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo.
Có ba dạng phương trình đường thẳng thường được sử dụng trong không gian:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ song song với đường thẳng đó. Nếu đường thẳng có phương trình tham số { x = x0 + at; y = y0 + bt; z = z0 + ct }, thì (a, b, c) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng đó. Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng là chúng vuông góc với nhau.
Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có vectơ chỉ phương a1 và a2:
Khoảng cách d từ điểm M(x0, y0, z0) đến đường thẳng Δ có phương trình tham số { x = x1 + at; y = y1 + bt; z = z1 + ct } được tính theo công thức:
d = |[a x MM1]| / |a|, trong đó:
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ chỉ phương a = (2, -1, 1).
Giải: Phương trình tham số của đường thẳng là: { x = 1 + 2t; y = 2 - t; z = 3 + t }.
Ví dụ 2: Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm B(0, 1, -2) và C(2, 3, 0).
Giải: Vectơ chỉ phương của đường thẳng là BC = (2 - 0, 3 - 1, 0 - (-2)) = (2, 2, 2). Chọn vectơ chỉ phương đơn vị là (1, 1, 1). Phương trình chính tắc của đường thẳng là: (x - 0)/1 = (y - 1)/1 = (z + 2)/1 hay x = y - 1 = z + 2.
Phương trình đường thẳng trong không gian có nhiều ứng dụng trong thực tế và các lĩnh vực khoa học khác:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
