Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 5 trang 32, 33, 34 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập Toán 12.
Bài giải này được xây dựng bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học.
Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 35 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500\(c{m^3}\) với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.
a) Hãy biểu thị y theo x
b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \(S(x) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\)
c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; \( + \infty \)).
d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
Phương pháp giải:
a) Dựa vào công thức thể tích hình hộp chữ nhật V = xyh, từ đó suy ra mối liên hệ giữa x và y
b) Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật: \({S_{tp}} = 2h(x + y) + 2xy\)
c) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị nhỏ nhất của \({S_{tp}}\) trên tập xác định
Lời giải chi tiết:
a) \(y = \frac{{500}}{{2x}} = \frac{{250}}{x}\)
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \(S(x) = 2.2(x + y) + 2xy = 4(x + \frac{{250}}{x}) + 2.x.\frac{{250}}{x} = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\)
c) Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)
\(S'(x) = 4 - \frac{{1000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\sqrt {10} \\x = - 5\sqrt {10} (loai)\end{array} \right.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = - \infty \)
Bảng biến thiên:
d) Để S(x) nhỏ nhất thì x = \(15,8\)(cm) và \(y = \frac{{250}}{x} = \frac{{250}}{{5\sqrt {10} }} \approx 15,8\)(cm)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 35SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự f > 0. Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính (d > 0), d’ là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh (ảnh thật thì d’ > 0, ảnh ảo thì d’ < 0). Ta có công thức:
\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{{d'}}}\) hay \(d' = \frac{{df}}{{d - f}}\)
(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182, 187)
Xét trường hợp f = 3, đặt x = d, y = d’. Ta có hàm số \(y = \frac{{3x}}{{x - 3}}\) và \(x \ne 3\).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật, ảnh ảo.
c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào?
Phương pháp giải:
a) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
b) Ảnh ảo nếu d’ < 0 và ảnh thật nếu d’ > 0
c) Tìm giới hạn của d’ khi d tiến dần đến f
Lời giải chi tiết:
a) \(y = \frac{{3x}}{{x - 3}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 3\} \)
\(y' = \frac{{ - 9}}{{{{(x - 3)}^2}}} \le 0 \Leftrightarrow \forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên \(D\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x}}{{x - 3}} = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{{3x}}{{x - 3}}) = 3\) nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{3x}}{{x - 3}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{3x}}{{x - 3}} = - \infty \) nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = 0 nên (0;0) là giao điểm của y với trục Oy, Ox
b) Để ảnh của vật là ảnh thật thì d’ > 0 hay y > 0 => x < 0 hoặc x > 3 hay d > 3 (do d là khoảng cách từ vật đến thấu kính nên d không thể nhỏ hơn 0)
Để ảnh của vật là ảnh ảo thì d’ < 0 hay y < 0 => 0 < x < 3 hay 0 < d < 3
c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính tiến dần tới vô cùng, ảnh của vật dần biến thành ảnh ảo
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 35SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự f > 0. Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính (d > 0), d’ là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh (ảnh thật thì d’ > 0, ảnh ảo thì d’ < 0). Ta có công thức:
\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{{d'}}}\) hay \(d' = \frac{{df}}{{d - f}}\)
(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182, 187)
Xét trường hợp f = 3, đặt x = d, y = d’. Ta có hàm số \(y = \frac{{3x}}{{x - 3}}\) và \(x \ne 3\).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật, ảnh ảo.
c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào?
Phương pháp giải:
a) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
b) Ảnh ảo nếu d’ < 0 và ảnh thật nếu d’ > 0
c) Tìm giới hạn của d’ khi d tiến dần đến f
Lời giải chi tiết:
a) \(y = \frac{{3x}}{{x - 3}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 3\} \)
\(y' = \frac{{ - 9}}{{{{(x - 3)}^2}}} \le 0 \Leftrightarrow \forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên \(D\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x}}{{x - 3}} = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{{3x}}{{x - 3}}) = 3\) nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{3x}}{{x - 3}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{3x}}{{x - 3}} = - \infty \) nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = 0 nên (0;0) là giao điểm của y với trục Oy, Ox
b) Để ảnh của vật là ảnh thật thì d’ > 0 hay y > 0 => x < 0 hoặc x > 3 hay d > 3 (do d là khoảng cách từ vật đến thấu kính nên d không thể nhỏ hơn 0)
Để ảnh của vật là ảnh ảo thì d’ < 0 hay y < 0 => 0 < x < 3 hay 0 < d < 3
c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính tiến dần tới vô cùng, ảnh của vật dần biến thành ảnh ảo
Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 35 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500\(c{m^3}\) với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.
a) Hãy biểu thị y theo x
b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \(S(x) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\)
c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; \( + \infty \)).
d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
Phương pháp giải:
a) Dựa vào công thức thể tích hình hộp chữ nhật V = xyh, từ đó suy ra mối liên hệ giữa x và y
b) Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật: \({S_{tp}} = 2h(x + y) + 2xy\)
c) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị nhỏ nhất của \({S_{tp}}\) trên tập xác định
Lời giải chi tiết:
a) \(y = \frac{{500}}{{2x}} = \frac{{250}}{x}\)
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \(S(x) = 2.2(x + y) + 2xy = 4(x + \frac{{250}}{x}) + 2.x.\frac{{250}}{x} = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\)
c) Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)
\(S'(x) = 4 - \frac{{1000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\sqrt {10} \\x = - 5\sqrt {10} (loai)\end{array} \right.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = - \infty \)
Bảng biến thiên:
d) Để S(x) nhỏ nhất thì x = \(15,8\)(cm) và \(y = \frac{{250}}{x} = \frac{{250}}{{5\sqrt {10} }} \approx 15,8\)(cm)
Mục 5 của SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số tại một điểm và giới hạn vô cực. Đây là một trong những khái niệm nền tảng quan trọng trong chương trình giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của giải tích trong các lĩnh vực khác.
Để hiểu rõ về giới hạn của hàm số tại một điểm, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản sau:
Việc tính toán giới hạn của hàm số tại một điểm thường được thực hiện bằng các phương pháp sau:
Khi x tiến tới vô cực (dương hoặc âm), giá trị của hàm số có thể tiến tới một giá trị hữu hạn, vô cực hoặc không tồn tại. Để hiểu rõ về giới hạn vô cực, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:
Việc tính toán giới hạn vô cực thường được thực hiện bằng các phương pháp sau:
Bài 1: Tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2)
Lời giải:
limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 4
Bài 2: Tính limx→∞ (2x + 1) / (x - 3)
Lời giải:
limx→∞ (2x + 1) / (x - 3) = limx→∞ (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = 2/1 = 2
Để nắm vững kiến thức về giới hạn của hàm số, các em nên luyện tập thêm các bài tập khác trong SGK và các tài liệu tham khảo. Ngoài ra, các em có thể tham khảo các bài giảng trực tuyến và các video hướng dẫn trên toan11.edu.vn để hiểu rõ hơn về các khái niệm và phương pháp giải.
Mục 5 của SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về giới hạn của hàm số. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của giải tích trong các lĩnh vực khác. Chúc các em học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
