Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết tọa độ của vectơ trong không gian, thuộc chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về cách xác định tọa độ của vectơ, các phép toán trên vectơ trong không gian, và ứng dụng của chúng trong giải quyết các bài toán hình học.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khái niệm cơ bản, công thức quan trọng, và các ví dụ minh họa để bạn có thể hiểu rõ và áp dụng kiến thức một cách hiệu quả.
Bài 2. Tọa độ của vecto trong không gian 1. Hệ trục tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
| Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là ba vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz. |
2. Tọa độ của điểm và vecto
a) Tọa độ của điểm
| Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \] thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M (x;y;z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M. |
b) Tọa độ của vecto
| Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \). Nếu \(\overrightarrow a = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \) thì ta gọi bộ ba số \(\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz và viết \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\). |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)
a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} .\)
b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’.
Lời giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\).
b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x - 3; y - 2; z - 5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} .\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4.
Vậy B’(7;2;4).
Lập luận tương tự suy ra C’ (11;-3;8).
Trong không gian Oxyz, mỗi điểm được xác định duy nhất bởi bộ ba tọa độ (x; y; z). Vectơ trong không gian cũng được biểu diễn bằng tọa độ, giúp cho việc tính toán và giải quyết các bài toán trở nên dễ dàng hơn.
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.
Cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB). Vectơ AB có tọa độ là:
AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)
Tích vô hướng của hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) được tính bằng công thức:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Ứng dụng của tích vô hướng: xác định góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ.
Tích có hướng của hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) được tính bằng công thức:
[a, b] = (y1z2 - z1y2; z1x2 - x1z2; x1y2 - y1x2)
Ứng dụng của tích có hướng: tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, tính diện tích hình bình hành.
Bài 1: Cho A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Giải:AB = (4 - 1; 5 - 2; 6 - 3) = (3; 3; 3)
Bài 2: Cho a = (1; -2; 3) và b = (2; 1; -1). Tính a ⋅ b.
Giải:a ⋅ b = (1)(2) + (-2)(1) + (3)(-1) = 2 - 2 - 3 = -3
Lý thuyết tọa độ của vectơ trong không gian là một phần quan trọng của chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo. Việc nắm vững các khái niệm và công thức trong bài học này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và chính xác.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
