Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập Toán 12.
Bài giải này được xây dựng bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học.
Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (left( alpha right)) có cặp vectơ chỉ phương (vec a = left( {{a_1};{a_2};{a_3}} right)), (vec b = left( {{b_1};{b_2};{b_3}} right)). Xét vectơ (vec n = left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} right)).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\), \(\vec b = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)\). Xét vectơ \(\vec n = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\).
a) Vectơ \(\vec n\) có khác \(\vec 0\) hay không?
b) Tính \(\vec a.\vec n\); \(\vec b.\vec n\).
c) Vectơ \(\vec n\) có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không?
Phương pháp giải:
a) Giả sử \(\vec n = \vec 0\), sau đó chứng minh rằng \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương. Điều này là vô lí do \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\).
b) Sử dụng công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.
c) Để chứng minh \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta chỉ ra rằng \(\vec n\) có giá vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Giả sử \(\vec n = \vec 0\), khi đó \({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2} = {a_3}{b_1} - {a_1}{b_3} = {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0\).
Với trường hợp \({b_1}\), \({b_2}\), \({b_3}\) cùng khác 0, ta suy ra \(\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}}\), điều này có nghĩa \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Nếu \({b_1} = 0\) thì \({a_1} = 0\), ta vẫn thu được kết quả \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Các trường hợp còn lại cho ra kết quả tương tự.
Như vậy \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Mặt khác, do \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\), nên \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ không cùng phương, mâu thuẫn.
Như vậy \(\vec n \ne \vec 0\).
b) Ta có:
+)\(\vec a.\vec n = {a_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {a_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {a_3}\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)
\( = {a_1}{a_2}{b_3} - {a_1}{a_3}{b_2} + {a_2}{a_3}{b_1} - {a_2}{a_1}{b_3} + {a_3}{a_1}{b_2} - {a_3}{a_2}{b_1} = 0\)
+) \(\vec b.\vec n = {b_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {b_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {b_3}\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)
\( = {b_1}{a_2}{b_3} - {b_1}{a_3}{b_2} + {b_2}{a_3}{b_1} - {b_2}{a_1}{b_3} + {b_3}{a_1}{b_2} - {b_3}{a_2}{b_1} = 0\)
Như vậy \(\vec a.\vec n = \vec b.\vec n = 0\).
c) Theo câu b, ta có \(\vec a.\vec n = \vec b.\vec n = 0\), điều này có nghĩa là \(\vec n\) có giá vuông góc với giá của \(\vec a\) và \(\vec b\). Mà \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\), nên \(\vec n\) có giá vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Như vậy \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), \(C\left( {10;7; - 1} \right)\). Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).
Phương pháp giải:
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), , nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là và .
Để tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , thực hiện tính tích có hướng của hai vectơ và . Vectơ thu được là một\(C\left( {10;7; - 1} \right)\) vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), \(C\left( {10;7; - 1} \right)\), nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;0;4} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} \left( {9;6; - 2} \right)\).
Tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0.\left( { - 2} \right) - 4.6;4.9 - \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right); - 2.6 - 0.9} \right) = \left( { - 24;32; - 12} \right)\)
Do đó, mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nhận \(\vec n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 6;8; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\), \(\vec b = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)\). Xét vectơ \(\vec n = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\).
a) Vectơ \(\vec n\) có khác \(\vec 0\) hay không?
b) Tính \(\vec a.\vec n\); \(\vec b.\vec n\).
c) Vectơ \(\vec n\) có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không?
Phương pháp giải:
a) Giả sử \(\vec n = \vec 0\), sau đó chứng minh rằng \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương. Điều này là vô lí do \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\).
b) Sử dụng công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.
c) Để chứng minh \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta chỉ ra rằng \(\vec n\) có giá vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Giả sử \(\vec n = \vec 0\), khi đó \({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2} = {a_3}{b_1} - {a_1}{b_3} = {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0\).
Với trường hợp \({b_1}\), \({b_2}\), \({b_3}\) cùng khác 0, ta suy ra \(\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}}\), điều này có nghĩa \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Nếu \({b_1} = 0\) thì \({a_1} = 0\), ta vẫn thu được kết quả \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Các trường hợp còn lại cho ra kết quả tương tự.
Như vậy \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Mặt khác, do \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\), nên \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ không cùng phương, mâu thuẫn.
Như vậy \(\vec n \ne \vec 0\).
b) Ta có:
+)\(\vec a.\vec n = {a_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {a_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {a_3}\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)
\( = {a_1}{a_2}{b_3} - {a_1}{a_3}{b_2} + {a_2}{a_3}{b_1} - {a_2}{a_1}{b_3} + {a_3}{a_1}{b_2} - {a_3}{a_2}{b_1} = 0\)
+) \(\vec b.\vec n = {b_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {b_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {b_3}\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)
\( = {b_1}{a_2}{b_3} - {b_1}{a_3}{b_2} + {b_2}{a_3}{b_1} - {b_2}{a_1}{b_3} + {b_3}{a_1}{b_2} - {b_3}{a_2}{b_1} = 0\)
Như vậy \(\vec a.\vec n = \vec b.\vec n = 0\).
c) Theo câu b, ta có \(\vec a.\vec n = \vec b.\vec n = 0\), điều này có nghĩa là \(\vec n\) có giá vuông góc với giá của \(\vec a\) và \(\vec b\). Mà \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\), nên \(\vec n\) có giá vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Như vậy \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), \(C\left( {10;7; - 1} \right)\). Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).
Phương pháp giải:
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), , nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là và .
Để tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , thực hiện tính tích có hướng của hai vectơ và . Vectơ thu được là một\(C\left( {10;7; - 1} \right)\) vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), \(C\left( {10;7; - 1} \right)\), nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;0;4} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} \left( {9;6; - 2} \right)\).
Tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0.\left( { - 2} \right) - 4.6;4.9 - \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right); - 2.6 - 0.9} \right) = \left( { - 24;32; - 12} \right)\)
Do đó, mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nhận \(\vec n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 6;8; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho biết hai vectơ \(\vec a = \left( {2;1;1} \right)\), \(\vec b = \left( {1; - 2;0} \right)\) có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong hình dưới đây. Tìm vectơ \(\vec n\) có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành 3 đường thẳng đôi một vuông góc).
Phương pháp giải:
Theo hình vẽ, do vectơ \(\vec n\) có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), nên có thể chọn vectơ \(\vec n\) là tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Lời giải chi tiết:
Theo hình vẽ, do vectơ \(\vec n\) có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), nên có thể chọn vectơ \(\vec n\) là tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {1.0 - 1.\left( { - 2} \right);1.1 - 2.0;2.\left( { - 2} \right) - 1.1} \right) = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Do đó, vectơ \(\vec n\) cần tìm là \(\vec n = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho biết hai vectơ \(\vec a = \left( {2;1;1} \right)\), \(\vec b = \left( {1; - 2;0} \right)\) có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong hình dưới đây. Tìm vectơ \(\vec n\) có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành 3 đường thẳng đôi một vuông góc).
Phương pháp giải:
Theo hình vẽ, do vectơ \(\vec n\) có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), nên có thể chọn vectơ \(\vec n\) là tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Lời giải chi tiết:
Theo hình vẽ, do vectơ \(\vec n\) có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), nên có thể chọn vectơ \(\vec n\) là tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {1.0 - 1.\left( { - 2} \right);1.1 - 2.0;2.\left( { - 2} \right) - 1.1} \right) = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Do đó, vectơ \(\vec n\) cần tìm là \(\vec n = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo thường tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số, bao gồm các quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của các hàm số cơ bản và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán 12.
Để giải các bài tập trong Mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 2 hiệu quả, các em cần nắm vững các kiến thức trọng tâm và áp dụng các phương pháp giải sau:
Dưới đây là giải chi tiết một số bài tập tiêu biểu trong Mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 2:
Giải:
f'(x) = 3x2 + 4x - 5
Giải:
y' = 3x2 - 6x
Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Xét dấu y', ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.
Giải:
y' = 2x - 4
Giải phương trình y' = 0, ta được x = 2.
Xét dấu y', ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞, 2) và đồng biến trên khoảng (2, +∞).
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em nên làm thêm các bài tập khác trong SGK và các tài liệu tham khảo. Đồng thời, các em cũng nên tham gia các diễn đàn, nhóm học tập trực tuyến để trao đổi kiến thức và kinh nghiệm với các bạn học sinh khác.
Mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 2 là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức và phương pháp giải các bài tập trong mục này sẽ giúp các em tự tin giải quyết các bài toán phức tạp hơn và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
