Giải bài 9.1 trang 82 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Giải bài 9.1 trang 82 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 9.1 trang 82 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức thuộc chương 4: Vectơ trong mặt phẳng. Bài toán này yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về phép cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và các tính chất của các phép toán này để tìm các vectơ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Đề bài:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD. Chứng minh rằng: a) overrightarrow{BN} = 2/3overrightarrow{BD}; b) overrightarrow{AN} = 1/3overrightarrow{AB} + 1/3overrightarrow{AD}.

Lời giải:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vectơ. Đầu tiên, ta biểu diễn các vectơ overrightarrow{AM} và overrightarrow{BD} theo các vectơ overrightarrow{AB} và overrightarrow{AD}.

1. Biểu diễn overrightarrow{AM}:

Vì M là trung điểm của BC, ta có overrightarrow{BM} = 1/2overrightarrow{BC}. Mà overrightarrow{BC} =overrightarrow{AD} (do ABCD là hình bình hành). Do đó, overrightarrow{BM} = 1/2overrightarrow{AD}.

Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có:

overrightarrow{AM} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{BM} =overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{AD}

2. Biểu diễn overrightarrow{BD}:

Ta có overrightarrow{BD} =overrightarrow{AD} -overrightarrow{AB}

3. Tìm N:

Vì N là giao điểm của AM và BD, nên N thuộc AM và BD. Do đó, tồn tại số k sao cho overrightarrow{AN} = koverrightarrow{AM} và tồn tại số t sao cho overrightarrow{BN} = toverrightarrow{BD}.

Thay overrightarrow{AM} và overrightarrow{BD} vào các biểu thức trên, ta được:

overrightarrow{AN} = k(overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{AD}) và overrightarrow{BN} = t(overrightarrow{AD} -overrightarrow{AB})

4. Giải hệ phương trình:

Ta có overrightarrow{AN} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{BN}. Thay các biểu thức của overrightarrow{AN} và overrightarrow{BN} vào, ta được:

k(overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{AD}) =overrightarrow{AB} + t(overrightarrow{AD} -overrightarrow{AB})

Sắp xếp lại, ta có:

(k + t - 1)overrightarrow{AB} + (k/2 - t)overrightarrow{AD} =overrightarrow{0}

Vì overrightarrow{AB} và overrightarrow{AD} là hai vectơ không cùng phương, nên ta có hệ phương trình:

• k + t - 1 = 0
• k/2 - t = 0

Giải hệ phương trình này, ta được k = 2/3 và t = 1/3.

5. Kết luận:

a) overrightarrow{BN} = 1/3overrightarrow{BD}

b) overrightarrow{AN} = 2/3(overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{AD}) = 2/3overrightarrow{AB} + 1/3overrightarrow{AD}

Lưu ý khi giải bài tập vectơ:

• Nắm vững các quy tắc cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ.
• Sử dụng các tính chất của các phép toán vectơ để đơn giản hóa bài toán.
• Biểu diễn các vectơ theo các vectơ cơ sở để giải quyết bài toán.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về bài 9.1 trang 82 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!