Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ, một phần quan trọng trong chương trình SGK Toán 10 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết để hiểu rõ về đường tròn, phương trình đường tròn và các ứng dụng của nó trong giải toán.
Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những bài giảng chất lượng, dễ hiểu và nhiều bài tập thực hành để bạn có thể tự tin chinh phục môn Toán.
A. Lý thuyết 1. Phương trình đường tròn Đường tròn tâm I, bán kính R là tập hợp những điểm M thỏa mãn điều kiện IM = R. Do đó, để lập phương trình đường tròn, ta cần chuyển điều kiện hình học IM = R thành một điều kiện đại số.
A. Lý thuyết
1. Phương trình đường tròn
Đường tròn tâm I, bán kính R là tập hợp những điểm M thỏa mãn điều kiện IM = R. Do đó, để lập phương trình đường tròn, ta cần chuyển điều kiện hình học IM = R thành một điều kiện đại số.
Điểm M(x;y) thuộc đường tròn (C), tâm I(a;b), bán kính R khi và chỉ khi \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\). Phương trình trên là phương trình đường tròn (C). |
Nhận xét: Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\). Khi đó, (C) có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc đường tròn (C): \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) (tâm I(a;b), bán kính R). Khi đó, tiếp tuyến \(\Delta \) của (C) tại \(M({x_0};{y_0})\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {MI} = (a - {x_0};b - {y_0})\) và phương trình \((a - {x_0})(x - {x_0}) + (b - {y_0})(y - {y_0}) = 0\). |
B. Bài tập
Bài 1:
a) Tìm tâm và bán kính đường tròn (C) có phương trình: \({(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} = 16\).
b) Viết phương trình đường tròn (C’) tâm J(2;-1) và có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C).
Giải:
a) Ta viết phương trình của (C) ở dạng \({(x - 2)^2} + {(y - ( - 3))^2} = {4^2}\).
Vậy (C) có tâm I(2;-3) và bán kính R = 4.
b) Đường tròn (C’) có tâm J(2;-1) và bán kính R’ = 2R = 8 nên có phương trình:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 64\).
Bài 2: Phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0\) có phải là phương trình đường tròn không? Nếu có, xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Giải:
Từ phương trình, ta có \(a = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2\); \(b = \frac{2}{{ - 2}} = - 1\); c = -4.
Suy ra \({a^2} + {b^2} - c = {2^2} + {( - 1)^2} - ( - 4) = 9 > 0\).
Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0\) là phương trình đường tròn tâm I(2;-1) và bán kính \(R = \sqrt 9 = 3\).
Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-1;1), B(0;-2), C(0;2).
Giải:
Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a;b). Ta có \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\).
Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}{( - 1 - a)^2} + {(1 - b)^2} = {(0 - a)^2} + {( - 2 - b)^2}\\{(0 - a)^2} + {( - 2 - b)^2} = {(0 - a)^2} + {(2 - b)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a - 2b + 2 = {a^2} + {b^2} + 4b + 4\\{a^2} + {b^2} + 4b + 4 = {a^2} + {b^2} - 4b + 4\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 2b = 4b + 2\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\).
Đường tròn tâm I(1;0) bán kính \(R = IC = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 4b + 4} = \sqrt 5 \).
Phương trình đường tròn là \({(x - 1)^2} + {(y - 0)^2} = {(\sqrt 5 )^2}\).
Vậy phương trình đường tròn là \({(x - 1)^2} + {y^2} = 5\).
Bài 4: Cho đường tròn (C) có phương trình \({(x + 1)^2} + {(y - 3)^2} = 5\). Điểm M(0;1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).
Giải:
Do \({(0 + 1)^2} + {(1 - 3)^2} = 5\), nên điểm M thuộc (C).
Đường tròn (C) có tâm là I(-1;3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0;1) có vecto pháp tuyến \( - 1(x - 0) + 2(y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\).
Đường tròn là một trong những hình học cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học. Trong mặt phẳng tọa độ, đường tròn được biểu diễn bằng một phương trình cụ thể, cho phép chúng ta nghiên cứu và giải quyết các bài toán liên quan đến hình tròn một cách chính xác và hiệu quả.
Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính).
Phương trình tổng quát của đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R là:
(x - a)² + (y - b)² = R²
Trong đó:
Ngoài phương trình tổng quát, đường tròn còn có các dạng phương trình khác:
Phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi:
a² + b² - c > 0
Khi đó, tâm của đường tròn là I(a; b) và bán kính là R = √(a² + b² - c)
Xét điểm M(x₀; y₀) và đường tròn (x - a)² + (y - b)² = R²:
Xét đường thẳng d: Ax + By + C = 0 và đường tròn (x - a)² + (y - b)² = R²:
Trong đó, d(I, d) là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d.
Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0
Giải:
Ta có: a = 2, b = -3, c = -3
a² + b² - c = 2² + (-3)² - (-3) = 4 + 9 + 3 = 16 > 0
Vậy, đây là phương trình của một đường tròn có tâm I(2; -3) và bán kính R = √16 = 4
Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và đi qua điểm M(3; 4)
Giải:
Bán kính R = IM = √((3 - 1)² + (4 - 2)²) = √(2² + 2²) = √8 = 2√2
Phương trình đường tròn là: (x - 1)² + (y - 2)² = (2√2)² = 8
Lý thuyết đường tròn có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
