Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 43, 44, 45 sách giáo khoa Toán 10 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này được thiết kế để giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải các bài tập trong SGK.
toan11.edu.vn cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể, giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập và ôn luyện môn Toán.
Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó. Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H7.14)
Tìm tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 7\).
Phương pháp giải:
Đường tròn tâm I(a;b) bán kính R có phương trình là:
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
Phương trình của \(\left( C \right)\) là \({\left( {x - \left( { - 2} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {\sqrt 7 } \right)^2}\).
Vậy \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;4} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 7 \).
Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) \({x^2} - {y^2} - 2x + 4y - 1 = 0\)
b) \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 6 = 0\)
c) \({x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\)
Phương pháp giải:
Phương trình \({x^2} + {y^2} – 2ax -2by +c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\).
Lời giải chi tiết:
a) Đây không phải là dạng của phương trình đường tròn (hệ số \({y^2}\) bằng -1).
b) Vì \({a^2} + {b^2} - c = {1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - 6 < 0\) nên phương trình đã cho không là phương trình tròn.
c) Vì \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 3} \right)^2} + {2^2} - 1 = 11 > 0\) nên phương trình đã cho là phương trình tròn có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {11} \).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a;b), bán kính R (H.7.13). Khi đó, một điểm M(x;y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại số nào?
Lời giải chi tiết:
Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R\) khi và chỉ khi \(MI = R \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2}} = R\) hay \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)
Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {4; - 5} \right),N\left( {2; - 1} \right),P\left( {3; - 8} \right)\).
Phương pháp giải:
Tâm \(J\) là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác MNP và bán kính \(R = JM\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(d,\Delta \) lần lượt là đường trung trực của hai đoạn thẳng MN, NP. Đường thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn MN và vuông góc với MN.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{4 + 2}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{ - 5 - 1}}{2} = - 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;3} \right);\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 2} \right)\)
Phương trình tổng quát của \(d\) là: \(1\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 9 = 0\).
Tương tự, ta có phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(x - 7y - 34 = 0\).
Gọi \(J\) là tâm đường tròn đi qua ba điểm M, N, P. Khi đó \(J = d \cap \Delta \), do đó tọa điểm \(J\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 7y - 34 = 0\\x - 2y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 5\end{array} \right. \Rightarrow J\left( { - 1; - 5} \right)\)
Từ đó ta tìm được \(R = JM = 5\)
Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 25\).
Cách 2:
Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C):\({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\) \(\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\)
\(M\left( {4; - 5} \right),N\left( {2; - 1} \right),P\left( {3; - 8} \right)\) thuộc (C) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}16 + 25 + 8a - 10b + c = 0\\4 + 1 + 4a - 2b + c = 0\\9 + 64 + 6a - 16b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8a - 10b + c = - 41\\4a - 2b + c = - 5\\6a - 16b + c = - 73\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 5 \,\,\, \rm{(thỏa mãn)}\\c = 1\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P là: \({x^2} + {y^2} + 2x + 10y + 1 = 0\) hay \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 25\).
Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H7.14) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bề sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục đề tồng chu Vị của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy 13, 14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.
Lời giải chi tiết:
Gọi bán kính bể hình tròn và bể nủa hình tròn tương ứng là x, y (m). Khi đó, tổng chu vi ba bể là 32 m khi và chỉ khi 1,57x + 2,57y-8=0.
Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (\({m^2}\)). Khi đó \({x^2} + {y^2} = \frac{S}{{3,14}}\).
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} = \frac{S}{{3,14}}\) có tâm O(0, 0), bán kính \(R = \sqrt {\frac{S}{{3,14}}} \) và đường thẳng \(\Delta :1,57x{\rm{ }} + {\rm{ }}2,57y - 8 = 0\).
Ta có S nhỏ nhất khi R nhỏ nhất; \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \), đồng thời M thuộc đường tròn \(\left( C \right)\). Bài toán chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) có ít nhất một điểm chung. Điều đó tương đương với \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\), đồng thời M trùng với H là hình chiếu vuông góc của O trên \(\Delta \)
Ta có: \(\overrightarrow {{u_{OH}}} = \left( {1,57;2,57} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {{n_{OH}}} = \left( {2,57; - 1,57} \right)\).
Phương trình OH là \(2,57x - 1,57y = 0\)
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}1,57x + 2,57y - 8 = 0\\2,57x - 1,57y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \approx 1,38\\y \approx 2,27\end{array} \right.\)
Vậy bán kính của bể tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là 1,38m và 2,27m.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a;b), bán kính R (H.7.13). Khi đó, một điểm M(x;y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại số nào?
Lời giải chi tiết:
Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R\) khi và chỉ khi \(MI = R \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2}} = R\) hay \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)
Tìm tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 7\).
Phương pháp giải:
Đường tròn tâm I(a;b) bán kính R có phương trình là:
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
Phương trình của \(\left( C \right)\) là \({\left( {x - \left( { - 2} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {\sqrt 7 } \right)^2}\).
Vậy \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;4} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 7 \).
Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) \({x^2} - {y^2} - 2x + 4y - 1 = 0\)
b) \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 6 = 0\)
c) \({x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\)
Phương pháp giải:
Phương trình \({x^2} + {y^2} – 2ax -2by +c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\).
Lời giải chi tiết:
a) Đây không phải là dạng của phương trình đường tròn (hệ số \({y^2}\) bằng -1).
b) Vì \({a^2} + {b^2} - c = {1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - 6 < 0\) nên phương trình đã cho không là phương trình tròn.
c) Vì \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 3} \right)^2} + {2^2} - 1 = 11 > 0\) nên phương trình đã cho là phương trình tròn có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {11} \).
Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {4; - 5} \right),N\left( {2; - 1} \right),P\left( {3; - 8} \right)\).
Phương pháp giải:
Tâm \(J\) là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác MNP và bán kính \(R = JM\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(d,\Delta \) lần lượt là đường trung trực của hai đoạn thẳng MN, NP. Đường thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn MN và vuông góc với MN.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{4 + 2}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{ - 5 - 1}}{2} = - 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;3} \right);\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 2} \right)\)
Phương trình tổng quát của \(d\) là: \(1\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 9 = 0\).
Tương tự, ta có phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(x - 7y - 34 = 0\).
Gọi \(J\) là tâm đường tròn đi qua ba điểm M, N, P. Khi đó \(J = d \cap \Delta \), do đó tọa điểm \(J\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 7y - 34 = 0\\x - 2y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 5\end{array} \right. \Rightarrow J\left( { - 1; - 5} \right)\)
Từ đó ta tìm được \(R = JM = 5\)
Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 25\).
Cách 2:
Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C):\({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\) \(\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\)
\(M\left( {4; - 5} \right),N\left( {2; - 1} \right),P\left( {3; - 8} \right)\) thuộc (C) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}16 + 25 + 8a - 10b + c = 0\\4 + 1 + 4a - 2b + c = 0\\9 + 64 + 6a - 16b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8a - 10b + c = - 41\\4a - 2b + c = - 5\\6a - 16b + c = - 73\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 5 \,\,\, \rm{(thỏa mãn)}\\c = 1\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P là: \({x^2} + {y^2} + 2x + 10y + 1 = 0\) hay \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 25\).
Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H7.14) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bề sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục đề tồng chu Vị của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy 13, 14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.
Lời giải chi tiết:
Gọi bán kính bể hình tròn và bể nủa hình tròn tương ứng là x, y (m). Khi đó, tổng chu vi ba bể là 32 m khi và chỉ khi 1,57x + 2,57y-8=0.
Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (\({m^2}\)). Khi đó \({x^2} + {y^2} = \frac{S}{{3,14}}\).
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} = \frac{S}{{3,14}}\) có tâm O(0, 0), bán kính \(R = \sqrt {\frac{S}{{3,14}}} \) và đường thẳng \(\Delta :1,57x{\rm{ }} + {\rm{ }}2,57y - 8 = 0\).
Ta có S nhỏ nhất khi R nhỏ nhất; \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \), đồng thời M thuộc đường tròn \(\left( C \right)\). Bài toán chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) có ít nhất một điểm chung. Điều đó tương đương với \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\), đồng thời M trùng với H là hình chiếu vuông góc của O trên \(\Delta \)
Ta có: \(\overrightarrow {{u_{OH}}} = \left( {1,57;2,57} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {{n_{OH}}} = \left( {2,57; - 1,57} \right)\).
Phương trình OH là \(2,57x - 1,57y = 0\)
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}1,57x + 2,57y - 8 = 0\\2,57x - 1,57y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \approx 1,38\\y \approx 2,27\end{array} \right.\)
Vậy bán kính của bể tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là 1,38m và 2,27m.
Mục 1 trang 43, 44, 45 SGK Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập chương 3: Hàm số bậc hai. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 10, đòi hỏi học sinh nắm vững các khái niệm cơ bản về hàm số bậc hai, đồ thị hàm số, và các phương pháp giải phương trình bậc hai.
Lời giải:
Vì đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1; 2) nên ta có: 2 = a(1)² + b(1) + c => a + b + c = 2 (1)
Trục đối xứng của parabol là x = -1, nên -b/(2a) = -1 => b = 2a (2)
Thay (2) vào (1), ta có: a + 2a + c = 2 => 3a + c = 2 => c = 2 - 3a
Để xác định a, cần thêm thông tin. Giả sử đề bài cho thêm điểm B(0; 1) thuộc đồ thị, ta có: 1 = a(0)² + b(0) + c => c = 1
Thay c = 1 vào c = 2 - 3a, ta có: 1 = 2 - 3a => 3a = 1 => a = 1/3
Vậy, a = 1/3, b = 2/3, c = 1.
Lời giải:
Xác định các yếu tố của parabol:
Vẽ parabol qua các điểm đã xác định.
Lời giải:
Tính delta: Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
Vì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = (-b + √Δ) / (2a) = (5 + 1) / (2*1) = 3
x2 = (-b - √Δ) / (2a) = (5 - 1) / (2*1) = 2
Vậy, phương trình có hai nghiệm là x1 = 3 và x2 = 2.
Việc nắm vững kiến thức và phương pháp giải các bài tập trong Mục 1 trang 43, 44, 45 SGK Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức là rất quan trọng để các em học sinh có thể đạt kết quả tốt trong môn Toán. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những thông tin hữu ích và giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
