Giải bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Chào mừng bạn đến với toan11.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 theo chương trình Cánh diều.

Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập Toán học.

Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(-1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; -2). a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó. b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB và AC. c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC). d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).

Đề bài

Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(-1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; -2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó.

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB và AC.

c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).

d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều 1

a) Sử dụng kiến thức về cặp vectơ chỉ phương để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \). Khi đó, vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \).

b) + Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\), trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\).

+ Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình chính tắc của đường thẳng: Nếu \(abc \ne 0\) thì hệ phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\).

c) Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng để viết phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(I\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(A\left( {x - {x_o}} \right) + B\left( {y - {y_o}} \right) + C\left( {z - {z_o}} \right) = 0\)

d) Chứng minh điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC). Suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Khoảng cách từ điểm \({M_o}\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)\) đến mặt phẳng (P): \(Ax + By + Cz + D = 0\) (\({A^2} + {B^2} + {C^2} > 0\)) được tính theo công thức: \(d\left( {{M_o},\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

Một vectơ vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 1}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {3;3;3} \right)\).

b) Đường thẳng AB đi qua điểm A(0; 1; 3) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên:

+ Phương trình tham số của đường thẳng AB: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 1 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) (t là tham số).

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng AB: \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\).

Đường thẳng AC đi qua điểm A(0; 1; 3) và nhận \(\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên:

+ Phương trình tham số của đường thẳng AC: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) (t là tham số).

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng AC: .

c) Mặt phẳng (ABC) đi qua A(0; 1; 3) và nhận \(\frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) là:

\(x + y - 1 + z - 3 = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0\)

d) Thay tọa độ điểm D(1; 1; -2) vào mặt phẳng (ABC) ta có: \(1 + 1 + \left( { - 2} \right) - 4 = - 4 \ne 0\) nên điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC). Do đó, bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Ta có: \(d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 1 - 2 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Sẵn sàng bứt phá tại Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán với chiến lược ôn luyện tối ưu! Khám phá ngay Giải bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều – nội dung trọng điểm trong chuyên mục đề toán lớp 12 trên nền tảng toán math. Bộ tài liệu toán thpt được biên soạn bài bản, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, là công cụ đắc lực giúp học sinh làm chủ mọi dạng toán trọng tâm và rèn luyện kỹ năng giải đề hiệu quả. Nhờ phương pháp học tập trực quan, logic và tính ứng dụng cao, học sinh sẽ tự tin chinh phục điểm số cao, vững vàng tiến bước vào cánh cửa đại học mơ ước. Đây chính là hành trang không thể thiếu cho bất kỳ ai muốn đạt thành tích xuất sắc trong kỳ thi quan trọng nhất cấp THPT.

Giải bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Tổng quan

Bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và kỹ năng tính đạo hàm là yếu tố then chốt để hoàn thành bài tập này một cách hiệu quả.

Nội dung bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Bài tập 5 bao gồm các câu hỏi liên quan đến việc tìm đạo hàm của hàm số, xét tính đơn điệu của hàm số và tìm cực trị của hàm số. Cụ thể, bài tập yêu cầu:

Tính đạo hàm của các hàm số cho trước.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tìm điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số.

Phương pháp giải bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Để giải quyết bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:

Sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản: Nắm vững các công thức đạo hàm của các hàm số cơ bản như hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit.
Áp dụng quy tắc đạo hàm: Sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp.
Xét dấu đạo hàm: Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định của hàm số để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
Giải phương trình đạo hàm bằng 0: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Bài 5.1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x³ - 2x² + 5x - 1.

Lời giải:

f'(x) = 3x² - 4x + 5

Bài 5.2: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x² - 4x + 3.

Lời giải:

f'(x) = 2x - 4

f'(x) = 0 ⇔ x = 2

Xét dấu f'(x):

x < 2: f'(x) < 0 ⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 2)
x > 2: f'(x) > 0 ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞)

Bài 5.3: Tìm điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số f(x) = -x³ + 3x² - 2.

Lời giải:

f'(x) = -3x² + 6x

f'(x) = 0 ⇔ -3x² + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Xét dấu f'(x):

x < 0: f'(x) < 0 ⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)
0 < x < 2: f'(x) > 0 ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)
x > 2: f'(x) < 0 ⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞)

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2 và đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = -2.

Lưu ý khi giải bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Để giải bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều một cách hiệu quả, bạn cần:

Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và quy tắc đạo hàm.
Luyện tập thường xuyên để rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm.
Hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải bài tập.

Kết luận

Bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và phương pháp giải hiệu quả trên đây, bạn sẽ tự tin giải quyết bài tập này một cách thành công. Chúc bạn học tốt!