Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Tính đơn điệu của hàm số trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Đây là một phần kiến thức quan trọng, giúp bạn hiểu rõ hơn về sự biến thiên của hàm số và ứng dụng trong giải quyết các bài toán thực tế.
Bài học này sẽ cung cấp đầy đủ các khái niệm, định lý, và ví dụ minh họa để bạn có thể nắm vững kiến thức một cách dễ dàng.
1.Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm
1.Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm
Định lý 1
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên tập \(K \subset R\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng - Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K - Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K |
Ví dụ: Hàm số y = |x| đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
Định lý 2
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên tập \(K \subset R\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Nếu f’(x) \( \ge \) 0 (hoặc f’(x) \( \le \) 0) với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K |
Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4
y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)
y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)
2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số
Khái niệm cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập \(K \subset R\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và \({x_0} \in K,{x_1} \in K\) - \({x_0}\) được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) sao cho (a;b) \( \subset \) K và \(f(x) < f({x_0})\) với mọi \(x \in (a;b)\) và \(x \ne {x_0}\). Khi đó, \(f({x_0})\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là - \({x_1}\) được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) sao cho (c;d) \( \subset \) K và \(f(x) > f({x_1})\) với mọi \(x \in (c;d)\) và \(x \ne {x_1}\). Khi đó, \(f({x_1})\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là \({f_{CT}}\) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) |
Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2
Định lý
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó: a) Nếu f’(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\) b) Nếu f’(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\) |
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).
Tập xác định của hàm số là R.
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.
BBT:
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30
Tính đơn điệu của hàm số là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt là trong chương trình Cánh Diều. Nó giúp ta hiểu được sự biến thiên của hàm số trên một khoảng xác định, từ đó có thể dự đoán được giá trị của hàm số tại các điểm khác nhau.
Một hàm số f được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≤ f(x2).
Một hàm số f được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≥ f(x2).
Hàm số được gọi là đơn điệu trên khoảng (a, b) nếu nó đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng đó.
Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thường sử dụng đạo hàm của hàm số. Cụ thể:
Dưới đây là tính đơn điệu của một số hàm số thường gặp:
| Hàm số | Tập xác định | Đạo hàm | Tính đơn điệu |
|---|---|---|---|
| y = x2 | R | y' = 2x | Đồng biến trên (0, +∞), nghịch biến trên (-∞, 0) |
| y = -x2 | R | y' = -2x | Đồng biến trên (-∞, 0), nghịch biến trên (0, +∞) |
| y = √x | [0, +∞) | y' = 1/(2√x) | Đồng biến trên [0, +∞) |
Tính đơn điệu của hàm số có nhiều ứng dụng trong toán học và thực tế, ví dụ:
Bài 1: Xét tính đơn điệu của hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Giải:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Bài 2: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = (x+1)/(x-2).
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Tính đơn điệu của hàm số Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn học tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
