Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 16,17 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu cho từng bài tập, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập về nhà.
Toan11.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán, cung cấp tài liệu học tập chất lượng và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Tính chất của tích phân
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính \(\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) \(\left( {a < c < b} \right)\).
Lời giải chi tiết:
\(\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left| {2x - 3} \right|dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( {3 - 2x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left( {2x - 3} \right)dx} \)
\( = \left( {3x - {x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{3}{2}\\0\end{array} \right. + \left( {{x^2} - 3x} \right)\left| \begin{array}{l}3\\\frac{3}{2}\end{array} \right. = \left[ {\left( {\frac{9}{2} - \frac{9}{4}} \right) - 0} \right] + \left[ {\left( {{3^2} - 3.3} \right) - \left( {\frac{9}{4} - \frac{9}{2}} \right)} \right] = \frac{9}{2}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính và so sánh:
a) \(\int\limits_0^1 {2xdx} \) và \(2\int\limits_0^1 {xdx} \);
b) \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} \);
c) \(\int\limits_0^3 {xdx} \) và \(\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\int\limits_0^1 {2xdx} = {x^2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1\), \(2\int\limits_0^1 {xdx} = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1\) nên \(\int\limits_0^1 {2xdx} = 2\int\limits_0^1 {xdx} \)
b) Ta có: \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\)
\(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} = \frac{{{x^3}}}{3}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} - 0 + \frac{1}{2} - 0 = \frac{5}{6}\)
Do đó, \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} \)
c) Ta có: \(\int\limits_0^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - 0 = \frac{9}{2}\); \(\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{1}{2} - 0 + \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\)
Do đó, \(\int\limits_0^3 {xdx} = \int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx} \);
b) \(\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx} \);
c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:
+ \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) (k là hằng số)
+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx} = 2\int\limits_0^{2\pi } {xdx} + \int\limits_0^{2\pi } {\cos xdx} = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}2\pi \\0\end{array} \right. + \sin x\left| \begin{array}{l}2\pi \\0\end{array} \right.\)
\( = {\left( {2\pi } \right)^2} - 0 + \sin 2\pi - \sin 0 = 4{\pi ^2}\)
b) \(\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^2 {{3^x}dx} - 3\int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. - 3\ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \frac{1}{{\ln 3}}\left( {{3^2} - {3^1}} \right) - 3\ln 2 + 3\ln 1\)
\( = \frac{6}{{\ln 3}} - 3\ln 2\)
c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = \tan x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right. + \cot x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right.} \)
\( = \tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{6} + \cot \frac{\pi }{3} - \cot \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \sqrt 3 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính và so sánh:
a) \(\int\limits_0^1 {2xdx} \) và \(2\int\limits_0^1 {xdx} \);
b) \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} \);
c) \(\int\limits_0^3 {xdx} \) và \(\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\int\limits_0^1 {2xdx} = {x^2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1\), \(2\int\limits_0^1 {xdx} = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1\) nên \(\int\limits_0^1 {2xdx} = 2\int\limits_0^1 {xdx} \)
b) Ta có: \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\)
\(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} = \frac{{{x^3}}}{3}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} - 0 + \frac{1}{2} - 0 = \frac{5}{6}\)
Do đó, \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} \)
c) Ta có: \(\int\limits_0^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - 0 = \frac{9}{2}\); \(\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{1}{2} - 0 + \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\)
Do đó, \(\int\limits_0^3 {xdx} = \int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx} \);
b) \(\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx} \);
c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:
+ \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) (k là hằng số)
+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx} = 2\int\limits_0^{2\pi } {xdx} + \int\limits_0^{2\pi } {\cos xdx} = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}2\pi \\0\end{array} \right. + \sin x\left| \begin{array}{l}2\pi \\0\end{array} \right.\)
\( = {\left( {2\pi } \right)^2} - 0 + \sin 2\pi - \sin 0 = 4{\pi ^2}\)
b) \(\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^2 {{3^x}dx} - 3\int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. - 3\ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \frac{1}{{\ln 3}}\left( {{3^2} - {3^1}} \right) - 3\ln 2 + 3\ln 1\)
\( = \frac{6}{{\ln 3}} - 3\ln 2\)
c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = \tan x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right. + \cot x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right.} \)
\( = \tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{6} + \cot \frac{\pi }{3} - \cot \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \sqrt 3 = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính \(\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) \(\left( {a < c < b} \right)\).
Lời giải chi tiết:
\(\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left| {2x - 3} \right|dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( {3 - 2x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left( {2x - 3} \right)dx} \)
\( = \left( {3x - {x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{3}{2}\\0\end{array} \right. + \left( {{x^2} - 3x} \right)\left| \begin{array}{l}3\\\frac{3}{2}\end{array} \right. = \left[ {\left( {\frac{9}{2} - \frac{9}{4}} \right) - 0} \right] + \left[ {\left( {{3^2} - 3.3} \right) - \left( {\frac{9}{4} - \frac{9}{2}} \right)} \right] = \frac{9}{2}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là \(\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \). Giả sử nhiệt độ (tính bằng \(^oC\)) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số \(T\left( t \right) = 20 + 1,5\left( {t - 6} \right),6 \le t \le 12\). Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
Nhiệt độ trung bình vào ngày đó từ khoảng thời gian 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là:
\(\frac{1}{{12 - 6}}\int\limits_6^{12} {\left[ {20 + 1,5\left( {t - 6} \right)} \right]dt} = \frac{1}{6}\int\limits_6^{12} {\left( {11 + 1,5t} \right)dt = \frac{1}{6}\left( {11t + \frac{3}{4}{t^2}} \right)\left| \begin{array}{l}12\\6\end{array} \right.} \)
\( = \frac{1}{6}\left[ {\left( {11.12 + \frac{3}{4}{{.12}^2}} \right) - \left( {11.6 + \frac{3}{4}{{.6}^2}} \right)} \right] = 24,{5^0}C\)
Vậy nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là \(24,{5^0}C\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là \(\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \). Giả sử nhiệt độ (tính bằng \(^oC\)) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số \(T\left( t \right) = 20 + 1,5\left( {t - 6} \right),6 \le t \le 12\). Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
Nhiệt độ trung bình vào ngày đó từ khoảng thời gian 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là:
\(\frac{1}{{12 - 6}}\int\limits_6^{12} {\left[ {20 + 1,5\left( {t - 6} \right)} \right]dt} = \frac{1}{6}\int\limits_6^{12} {\left( {11 + 1,5t} \right)dt = \frac{1}{6}\left( {11t + \frac{3}{4}{t^2}} \right)\left| \begin{array}{l}12\\6\end{array} \right.} \)
\( = \frac{1}{6}\left[ {\left( {11.12 + \frac{3}{4}{{.12}^2}} \right) - \left( {11.6 + \frac{3}{4}{{.6}^2}} \right)} \right] = 24,{5^0}C\)
Vậy nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là \(24,{5^0}C\).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số hợp và đạo hàm liên tiếp. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức và phương pháp giải bài tập liên quan.
Mục 2 bao gồm các nội dung chính sau:
a) y = sin(x^2 + 1)
Lời giải: Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có:
y' = cos(x^2 + 1) * (x^2 + 1)' = cos(x^2 + 1) * 2x = 2x * cos(x^2 + 1)
b) y = e^(cos x)
Lời giải: Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có:
y' = e^(cos x) * (cos x)' = e^(cos x) * (-sin x) = -sin x * e^(cos x)
Lời giải:
f'(x) = 3x^2 - 6x
f''(x) = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6
Lời giải:
y' = (1/(x+1)) * (x+1)' = 1/(x+1)
y'' = (1/(x+1))' = -1/(x+1)^2
Để giải tốt các bài tập về đạo hàm hàm hợp và đạo hàm liên tiếp, học sinh cần:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Để học tốt môn Toán, đặc biệt là phần đạo hàm, các em nên:
Hy vọng bài giải chi tiết mục 2 trang 16,17 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và kỹ năng giải bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
